Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

13.12.2018
czwartek

Cyfromrówki

13 grudnia 2018, czwartek,

Dawno nie było w Łamiblogu „japońszczyzny”, czyli zadań, które bawią główkołamaczy z ostatniego cesarstwa. Pora nadrobić tę zaległość. Zadanie nazywa się guntaiari – to japońska nazwa podrodziny koczowniczych mrówek Ecitoninae, którą można przetłumaczyć jako „mrówcze wojsko”. W zadaniu mrówkami, tworzącymi zgrupowania, są cyfry.
Na diagramie podzielonym na działki rozmieszczono żetony z cyframi od 1 do n. Niektóre z nich należy przesunąć – każdy na puste pole w tej samej działce, w której się znajduje. Efektem wszystkich przesunięć powinno być utworzenie na diagramie kilku uporządkowanych, rozłącznych grup żetonów. Grupę stanowią żetony z różnymi kolejnymi cyframi od 1 do kn, umieszczone na polach, tworzących jeden wielokąt. Uporządkowanie polega na tym, że każde dwie kolejne cyfry w grupie muszą zajmować sąsiednie pola (wspólny bok). Rozłączność oznacza, że żadne dwa wielokąty zajmowane przez grupy nie mogą stykać się fragmentami boków (rogami mogą).
Istotne są także trasy przesunięć żetonów, które po oznaczeniu na diagramie powinny przechodzić tylko przez białe pola w pionie lub poziomie (nie na ukos) i żadne dwie nie mogą gościć w tym samym polu.
Przykład:

Zadanie:

Jako rozwiązanie wystarczy podać sumę cyfr na przekątnych po zgrupowaniu żetonów, czyli po wykonaniu wszystkich przesunięć.
Uwaga: mrówki są matematyczne, więc jedna także stanowi grupę.

6.12.2018
czwartek

Na okrągło

6 grudnia 2018, czwartek,

N-cyfrowa liczba kolista jest znamienna tym, że z jej zapisu na kole można odczytać każdą jej wielokrotność od 1 do n, zaczynając za każdym razem od innej cyfry i wykonując jedną rundę zgodnie z kierunkiem zapisu. Gwoli jasności klasyczny przykład, czyli 142857.

Dwukrotność protoplastki czytamy w kółko, zaczynając od dwójki (285714), trzykrotność – zaczynając od 4 (428571) itd., aż do odósemkowej sześciokrotności, czyli 857142.

Liczbą okrężną nazwiemy krewniaczkę liczby kolistej, różniącą się od niej tym, że odczytywana wielokrotność jest jedna, ale odczytując ją wykonujemy więcej niż jedną, lecz mniej niż dwie rundy (przy dokładnie dwóch okrężną byłaby każda liczba).
O ile wiem, nikt się takimi liczbami jeszcze nie bawił, więc też ich nie szukał. Jednocyfrowe oczywiście wykluczamy, a dwucyfrowa jest chyba tylko jedna – 25 (25×21=525). Kto znajdzie choć jedną trzycyfrową? Dla zachęty czterocyfrowa (jaka?) nawinięta na kółko.

29.11.2018
czwartek

Tylko prawda

29 listopada 2018, czwartek,

W kilku językach istnieją kryptarytmy w rodzaju angielskiego:
THREE to liczba pierwsza, FOUR jest kwadratem, a EIGHT sześcianem. Liczebniki należy zastąpić liczbami tak, aby takim samym literom odpowiadały jednakowe cyfry, a różnym – różne. Oczywiście informacje o liczebnikach powinny dotyczyć przede wszystkim rozszyfrowanych liczb.

Wierne tłumaczenie tego zadania na polski wygląda obiecująco:
TRZY – liczba pierwsza, CZTERY – kwadrat, OSIEM – sześcian.
Niestety, rozwiązania brak. Byłoby – w dodatku tylko jedno – gdyby „skłamać”, informując, że OSIEM także jest kwadratem. Wówczas TRZY=5039, CZTERY=635209 (kwadrat 797), OSIEM=71824 (kwadrat 268).

Ponieważ jednak Łamiblog pisany jest pod przysięgą, więc prawda obowiązuje i musi być np. tak:
JEDEN – sześcian, TRZY – liczba pierwsza, STO – kwadrat.
Jakie liczby odpowiadają liczebnikom?

22.11.2018
czwartek

112 łebków

22 listopada 2018, czwartek,

Palaczem, podpalaczem ani nadpalaczem nie jestem, a w kuchence gazowej mam zapalnik elektryczny, więc z zapałek korzystam raz w roku – 1 listopada, zapalając znicze na cmentarzu. Gdyby nie to, sądziłbym że to towar reglamentowany albo historyczny jak hubka i krzesiwo lub lampa naftowa. Natomiast nieco częściej i chętnie trafiam tu i ówdzie na tzw. zapałczanki, czyli łamigłówki, w których patyczki z łebkami przydają się jako rekwizyty, nawet jeśli praktyczne korzystanie z nich nie jest konieczne. Przykładem poniższa układanko-zabieranka.

Ze 112 zapałek utworzono kwadrat podzielony na 49 małych jednostkowych kwadratów. Wszystkich zapałczanych kwadratów (różnej wielkości) jest tu jednak znacznie więcej. Ile?

A teraz zabieranka. Z tego układu należy usunąć jak najmniej zapałek w taki sposób, aby nie pozostał w nim żaden kwadrat. Ile zapałek wystarczy zabrać?

15.11.2018
czwartek

Piąta liczba

15 listopada 2018, czwartek,

W zbiorze A trzech liczb {2,3,4} dokładnie jedna liczba jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych, w zbiorze B {2,3,5} – co najmniej jedna, w zbiorze C {2,3,6} – żadna liczba nie jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych.
Zajmiemy się zbiorem B i spróbujemy go powiększyć, zachowując także następującą własność: żadna liczba nie może być wielokrotnością innej. Jaką czwartą liczbą należy uzupełnić ten zbiór, aby w każdym wyjętym z tego zbioru tercecie liczb co najmniej jedna liczba była dzielnikiem sumy dwu pozostałych?
Zadanie jest proste, bo daleko nie trzeba szukać. Zbiór powiększamy o siódemkę – {2,3,5,7}. W każdym tercecie znajdziemy dzielnik sumy dwóch pozostałych liczb: (2+3)|5 lub (3+5)|2,  (2+7)|3 lub (3+7)|2,  (2+5)|7 lub (5+7)|2,  (3+7)|5 lub (5+7)|3.
Czy równie łatwo poradzimy sobie z dodaniem do tego zbioru piątej liczby? W pierwszej chwili może się wydawać, że odpowiednia będzie kolejna liczba pierwsza, czyli 11. Okazuje się jednak, że nie, ponieważ w zbiorze {2,3,5,7,11} wyłamują się dwa tercety – [3,5,11] i [5,7,11]. Odpada także zbiór {2,3,5,7,13} – z podobnych powodów: „strajkuje” jeden tercet – [3,7,13].
Czy komuś z Państwa uda się uzupełnić zbiór właściwą piątą liczbą? A może ktoś poradzi sobie także z szóstą.

8.11.2018
czwartek

Koko

8 listopada 2018, czwartek,

Łamigłówki przesuwanki często są odwracalne. Gdyby tę sprzed dwóch tygodni „puścić od tyłu”, wyglądałaby tak:

Zadanie polega na wykonaniu serii ośmiu ruchów, po których wszystkie cztery figury znajdą się na czterech centralnych polach. Każdy ruch powinien być przesunięciem którejś figury w rzędzie lub kolumnie, ale zawsze na pole sąsiadujące w rzędzie lub kolumnie z polem zajętym przez jakąś inną figurę. Dwa lub więcej kolejnych przesunięć tej samej figury stanowi jeden ruch.
Ze względu na symetrię zacząć można od jednego z ośmiu „bliźniaczych” przesunięć. Jeśli wybierzemy 1. a1-c1-c4, to bliźniacze będzie – w stosunku do zadania sprzed dwóch tygodni – całe rozwiązanie, ale zapisane wspak: 2. a4-b4  3. c4-c1  4. d1-d3-b3  5. d4-c4-c3  6. c1-c2  7. b3-b2  8. b4-b3.
Zadanie z dośrodkowym ruchem figur wydaje się trudniejsze niż poprzednie z ruchem do rogów, mimo że różnica jest czysto formalna. Figury są wieżami szachowymi nie tylko dlatego, że wykonują wieżowe ruchy, ale także ze względu na bliższe koligacje szachowe.
Przed 30 laty niemiecki problemista Heinz Zander wymyślił wariację szachową zwaną koko (skrót od „kolońskie kontaktowe szachy”), która szybko zyskała sporą popularność w nieortodoksyjnej, czyli tzw. bajkowej kompozycji szachowej. Jej podstawę stanowiła niemal dokładnie taka sama zasada, jak w powyższej przesuwance: ruch można wykonać tylko na takie pole, które sąsiaduje (w tym wypadku bokiem lub rogiem) z polem zajętym przez inną bierkę dowolnego koloru. Ta reguła skutkuje kilkoma osobliwymi odstępstwami od klasycznej gry. Na przykład, nie można zbić bierki, koło której nie stoi żadna inna bierka. Dotyczy to także króla, który nie jest szachowany, jeśli nie ma obok siebie towarzystwa. Z drugiej strony jeśli król zostanie zaszachowany, a on sam albo towarzysząca mu bierka ma możliwość odejścia tylko na odosobnione pole, czyli praktycznie brak jest ruchu (i innych możliwości obrony też) – to taka pozycja stanowi mat. Ponadto dwa króle mogą stać obok siebie, jeśli obok żadnego z nich nie ma innej figury albo jeśli figura stoi tylko obok jednego z nich – wówczas jest szach królem (szachowany jest ten z sąsiednią figurą). Natomiast niedopuszczalna jest pozycja równorzędna, czyli aby oba sąsiadujące króle miały sąsiada. Takie zawiłości umożliwiają układanie ciekawych zadań.

Oto przykład koko dwuchodówki, czyli po ruchu białych i odpowiedzi czarnych białe powinny zamatować czarnego króla.

W zwykłych szachach sytuacja przed ruchem białych taka, jak na diagramie – szachowanie czarnego króla (zwłaszcza równocześnie przez dwie figury, wieżę i gońca) – byłaby niemożliwa. W koko król nie jest szachowany, bo nie ma obok siebie żadnej bierki.
Rozwiązanie zadania rozpoczyna ruch gońca: 1. Ga7-b8, po którym czarne muszą wykonać jedno z pięciu możliwych posunięć: g3-g2, Sh3-f2 lub g5, Ke4-e3 lub f5; ruch pionem b7 jest teraz niewykonalny, bo pion traciłby kontakt z inną bierką, zaś skok Sh3-f4 to „samobój” (król wpada w szach). Na każdą z podanych wyżej możliwości czarne odpowiadają matem gońcem lub wieżą. Po g3-g2 następuje 2. Gb8-f4X; po Sh3-f2 – 2. Gg6-f5X; po Sh3-g5 – 2. We2-e3X; po Ke4-e3 – 2. Gg6-e4X; po Ke4-f5 – 2. We2-e4X.
Poniższe zadanie jest trzychodówką, czyli białe matują w swoim trzecim posunięciu.

Mimo większej liczby ruchów zadanie jest prostsze, bo jednowariantowe, a ruchy czarnego króla są wymuszone. Białe także mają niewiele możliwych pierwszych ruchów – dokładnie osiem. Który pierwszy ruch jest właściwy? Całe rozwiązanie także będzie mile widziane.

1.11.2018
czwartek

Nie przez 7

1 listopada 2018, czwartek,

Z dziewięciu różnych cyfr większych od zera wybieramy cztery, których suma podzielna jest przez 7. Z tych cyfr próbujemy utworzyć 4-cyfrową liczbę (bez powtarzania cyfr) podzielną przez 7.
Na przykład, po wybraniu cyfr 5, 6, 8, 9 (suma 28|7) sprawa jest prosta, bo z 24 liczb możliwych do utworzenia aż sześć dzieli się przez 7 (5698, 6895, 6958, 8596, 8659, 9856). Celem jest znalezienie takiego kwartetu, z którego nie uda się złożyć żadnej 4-cyfrowej wielokrotności siedmiu.
Czy z tym zadaniem można się uporać „na piechotę” bez żmudnego wybierania odpowiednich czwórek cyfr i sprawdzania podzielności przez 7 składanych z nich liczb, czyli bez stosowania metody siłowej albo przynajmniej jakoś ją sprytnie ograniczając? Oto jest pytanie.

24.10.2018
środa

Cztery do kąta

24 października 2018, środa,

Jest miniplansza 4×4 i są 4 pionki ustawione na czterech centralnych polach.

Łamigłówka polega na przesuwaniu w kolejnych ruchach po jednym pionku w wierszu lub kolumnie o jedną, dwie lub trzy kratki – tak, aby na koniec wszystkie cztery znalazły się w narożnych polach. W każdym ruchu można jednak przesunąć tylko taki pionek, który ma przynajmniej jednego sąsiada, czyli jest jednym z dwu stojących na polach sąsiadujących w rzędzie lub kolumnie.
Ze względu na symetrię układu podstawowy start jest jeden. Umówmy się, że będzie nim ruch b3-b4. Co dalej?
Znalezienie rozwiązania nie jest łatwe – nawet w dowolnej liczbie przesunięć. Te z nadesłanych, w których liczba ruchów będzie większa od minimalnej, będę uwalniał niezwłocznie.

PS (dopisane o godz. 16.00, 24.10)
Wprowadzamy rozróżnienie między ruchem a przesunięciem: dwa lub więcej kolejnych przesunięć tego samego pionka uważamy za jeden ruch. Minimalna liczba ruchów – o nią chodzi – może być więc mniejsza od liczby przesunięć.

18.10.2018
czwartek

Kwadrandia

18 października 2018, czwartek,

Początkowo miało być bez fabułki, czyli krótko i treściwie. Ponieważ jednak ostatnio tłumaczyłem artykuł o tzw. gerrymanderingu (machlojki przy podziale na okręgi wyborcze w USA), więc wpadł mi do głowy pomysł pofantazjowania i powstała poniższa zapewne nieco przegięta bajeczka.

Kwadrandia dzieli się na 25 jednostek administracyjnych zwanych kwadrylami. Przed wyborami wysoka komisja dokonuje podziału kraju na 10 okręgów wyborczych (jednomandatowych), uwzględniając wyniki przedwyborczego sondażu. Przykładowe wyniki zwizualizowane są na diagramie z lewej strony: Partia SL (Szarych Ludzi) ma przewagę w szarych kwadrylach, Partia BL (Białych Ludzi) – w białych. Zasada podziału jest kuriozalna: sześć okręgów wyborczych powinno być prostokątami 3×1 (kwadryli), trzy – prostokątami 2×1, a jeden – 1×1, czyli jednokwadrylowy. Ponadto, co równie dziwaczne, rozmieszczenie szarych kwadryli w każdym okręgu tej samej wielkości powinno być inne. Właściwy podział przedstawiony jest na środkowym diagramie.

Tak było w poprzednich wyborach. W tegorocznych wyniki sondażu są inne, a obrazuje je rysunek z prawej strony. Proszę dokonać aktualnego podziału Kwadrandii na okręgi wyborcze, przestrzegając podanych wyżej zasad.
W rozwiązaniu wystarczy podać sumę liczb na przekątnych – każda oznacza wielkość okręgu, do którego należy dany kwadryl z liczbą. Jak widać w poprzednich wyborach suma ta wynosiła 22.

11.10.2018
czwartek

Na skróty

11 października 2018, czwartek,

Uczeń „skrócił” ułamek 139/695, skreślając jednakowe cyfry z licznika i mianownika i zauważył, że to działa, bo wynik był prawidłowy – 13/65=1/5. Nauczyciel skarcił ucznia i dodał, że taki błędny sposób skracania bardzo rzadko prowadzi do poprawnego wyniku.
Następnego dnia uczeń „skrócił” inny ułamek z 3-cyfrowymi licznikiem i mianownikiem w dokładnie taki sam sposób, tzn. skreślił cyfrę jednostek w liczniku i cyfrę dziesiątek w mianowniku, bo obie były jednakowe i – o dziwo – także otrzymał prawidłowy wynik.
– Jesteś niekonsekwentny – zauważył nauczyciel – bo skoro uparłeś się stosować ten sposób, to w otrzymanym wyniku cyfra jednostek licznika i dziesiątek mianownika nadal są takie same, więc je także powinieneś skreślić.
Uczeń skreślił wskazane cyfry, ale końcowy wynik z jednocyfrowymi licznikiem i mianownikiem był już błędny. Jaki?

css.php