Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

16.08.2019
piątek

Para pól

16 sierpnia 2019, piątek,

Zadania geometryczne pojawiają się w Łamiblogu rzadko; choćby dlatego, że generalnie ich udział w repertuarze łamigłówkowym jest skromny. Postanowiłem nadrobić tę zaległość z nawiązką i zaproponować od razu dwa małe i nietwarde, a raczej figlarne orzeszki geometryczne. Aby było jeszcze figlarniej, nie będzie żadnych obrazków – tylko opis. Kogo skusi rozgryzanie, tego czeka na wstępie samodzielna rekonstrukcja rysunków, choć moim zdaniem powinna wystarczyć wyobraźnia. Proponuję w związku z tym spróbować rozwiązać oba zadania w głowie, czyli bez rysowania i pisania. Dodam jeszcze, że w rozwiązaniach kryje się wyjaśnienie, dlaczego oba stanowią duet.
Zadanie 1
Dwa współśrodkowe okręgi o różnych promieniach tworzą znajdujący się między nimi pierścień kołowy. Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego ma długość równą √2. Jakie jest pole pierścienia?
Zadanie 2
Mamy tzw. trójkąt egipski, czyli prostokątny o bokach 3, 4 i 5. Dorysowujemy do niego trzy okręgi o promieniu równym 1, których środkami są wierzchołki trójkąta. Jakie jest łączne pole części kół znajdujących się wewnątrz trójkąta?

9.08.2019
piątek

Podstępnie

9 sierpnia 2019, piątek,

Łamigłówki bywają podstępne. Podstęp niejedno ma imię, a jego ofiarą może paść nie tylko rozwiązywacz, ale także układacz. Piszę to jako autor i ofiara pewnego zadania z aktualnego Omnibusa wakacyjnego, które mnie przechytrzyło w niecny sposób. Chciałem, aby było najprostszym z serii trzech tego samego rodzaju, a ono wykorzystało moje dobre intencje i złośliwie poczęstowało mnie pewną dodatkową „atrakcją”.
Przechodząc do konkretów:
W białych polach diagramu znajduje się pięć czerwonych cyfr. W pięć innych należy wpisać pięć czarnych cyfr – różnych, od 1 do 5 (w przykładzie czerwonych i czarnych są po cztery). Ich rozmieszczenie powinno spełniać następujące warunki:
– w każdym wierszu i w każdej kolumnie powinna znaleźć się dokładnie jedna czarna;
– każda czerwona musi być równa jednej czarnej lub sumie dwóch czarnych widocznej (widocznych) z pola czerwonej, patrząc w rzędzie lub/i kolumnie (inna czerwona zasłania widok – jak w przykładzie czerwona czwórka zasłania czerwonej dwójce wpisaną czarną trójkę).
Przykład


Figlem, który spłatała łamigłówka (oczywiście z moją pomocą) okazała się większa niż jedno liczba rozwiązań.
I stąd się bierze moje pytanie:
ile rozwiązań ma to zadanie?

2.08.2019
piątek

Dzielonko

2 sierpnia 2019, piątek,

Wysokie dzielenia szkieletowe już w Łamiblogu bywały, ale poniższy dryblas wzrostem bije na głowę wszystkie poprzednie. Czy stopniem trudności również?

Zapewne w pierwszej chwili rozmiary mogą działać na główkołamaczy odstraszająco. W drugiej – chyba nie.
Dla porządku przypomnę, że chodzi o rekonstrukcję zapisu dzielenia, w którym większość cyfr zastąpiono kratkami; ujawniono tylko „kaskadę” jedenastki cyfr.
W rozwiązaniu wystarczy podać dzielną i dzielnik.

26.07.2019
piątek

Kryptokuro

26 lipca 2019, piątek,

Sudoku eksplodowało przed 14 laty i trwa. Pozostaje skutecznym narzędziem do zabijania czasu dla sporej rzeszy konsumentów pisemek z diagramami 9 na 9. Kakuro dołączyło do sudokowej fali jako pierwszy epigon pod koniec 2005 roku i powoli przygasało. Dziś mało kto się nim bawi, choć tu i ówdzie się pojawia dla urozmaicenia repertuaru. Postanowiłem je odkurzyć w trudniejszej, szyfrowej formie – takiej jak w poprzednim wpisie.

Krótkie przypomnienie instrukcji obsługi.
Zamiast słów, jak w zwykłych krzyżówkach, w rzędach i kolumnach diagramu powinny pojawić się liczby – jedna cyfra w każdej kratce. „Objaśnieniem” każdej liczby jest suma jej cyfr, podana przed lub nad nią w niebieskim polu. Każda wpisywana liczba składa się z różnych cyfr, ale żadna nie jest zerem.
Dodatkowa, a właściwie podstawowa zagwozdka polega na tym, że cyfry w liczbach-objaśnieniach są zaszyfrowane, czyli zastąpione literami. Poza tym w diagramie są już wpisane dwie cyfro-litery. Takim samym literom odpowiadają jednakowe cyfry, a różnym – różne.

W rozwiązaniu wystarczy podać 9-cyfrową liczbę ABCDEFGHI (tu zero oczywiście może się pojawić).

19.07.2019
piątek

Małe zakręcone

19 lipca 2019, piątek,

Od czasu głośnej publikacji Ernsta Schumachera „Małe jest piękne” ten przewrotny tytuł stał się niemal sentencją powtarzaną przy różnych okazjach. Zwykle przypomina mi się, gdy trafiam na małe wciągające zadanie diagramowe podszyte zakręconą logiką. Niewielki format sugeruje prostą, krótką zabawę, a tymczasem…

Do kratek mini-diagramu należy wpisać dziesięć różnych cyfr tak, aby liczby znajdujące się obok wierszy i pod kolumnami równe były sumom umieszczonych w nich cyfr (wskazanych strzałkami). Szkopuł w tym, że cyfry w liczbach są zaszyfrowane, czyli zastąpione literami, a ponadto w diagramie znajdują się już dwie cyfro-litery. Oczywiście takim samym literom odpowiadają jednakowe cyfry, a różnym – różne.

12.07.2019
piątek

Dwójkowo

12 lipca 2019, piątek,

Tradycyjne domino zwane jest szóstkowym, bo na połówkach kamieni występują liczby oczek od zera do sześciu. Komplet obejmuje wszystkie różne kombinacje par tych liczb, czyli kamienie, których jest 28 (0-0, 0-1, 0-2,…, 5-5, 5-6, 6-6). Częścią szóstkowego kompletu są domina: zerowe (solista 0-0), jedynkowe (tercet 0-0, 0-1, 1-1), dwójkowe (sekstet 0-0, 0-1, 0-2, 1-1, 1-2, 2-2) itd. Pozostaniemy przy sekstecie.
Z wszystkich sześciu kamieni domina dwójkowego ułożono prostokąt 4×3, który stanowi poprawne dodawanie:

Jest tylko jedno dodawanie liczb 4-cyfrowych – złożone z czterech zer, czterech jedynek i czterech dwójek, którego nie można utworzyć z domina dwójkowego. Jakie?
PS Żaden składnik ani suma nie może zaczynać się zerem

4.07.2019
czwartek

Inna podstawa

4 lipca 2019, czwartek,

Jak wie mój 4-letni wnuczek, 3+4=7, czyli

I mamy kryptarytm, zwany też alfametykiem, a więc zadanie, które polega na zastąpieniu liter cyframi tak, aby powstałe w miejsce słów liczby tworzyły poprawne działanie. Łamigłówka wygląda na idealną, bo dodawanie ma sens oraz różnych liter jest dziesięć, czyli dokładnie tyle, co cyfr, a ponadto od razu widać, że układ liter sprzyja rozwiązywaniu na logikę. Do pełni szczęścia przydałoby się jeszcze jedno i tylko jedno rozwiązanie. Niestety, elegancka logika dość szybko prowadzi na manowce, bowiem okazuje się, że rozwiązania brak: cztery cyfry, które pozostają po przyporządkowaniu sześciu pozostałych literom DEIRTZ w żadnym przypadku nie pasują do równań C+1=S oraz 2Y=M (lub M+10).
Sposób na „uratowanie” zadania jest jeden: przenieść się do innego systemu liczbowego – oczywiście takiego, którego podstawa jest większa niż 10. Tym samym alfametyk oddali się nieco od ideału, bo liter będzie mniej niż cyfr. Ale trudno – nic za darmo.
Ponieważ mocno tkwię w systemie dziesiętnym i bardzo niechętnie go opuszczam, więc wiem z doświadczenia, że w pierwszej chwili po takich przenosinach się „głupieje”. Nowicjusz, który ma coś rozwiązać w systemie innym niż dziesiętny z reguły po prostu nie wie, jak to ugryźć. Zwykle jednak krótkie samokształcenie i odrobina praktyki pozwala przełamać opór materii. Dlatego ośmielam się zaproponować chętnym śmiałkom rozwiązanie powyższego alfametyku w systemie… jedenastkowym. Czy rozwiązanie będzie jedno, czy więcej – to także zagadka.

27.06.2019
czwartek

180 sum

27 czerwca 2019, czwartek,

Poprzedni wpis był nieco niefortunny. Położyłem nacisk na wydłużanie ciągu, co preferowało programistów i w ogóle jest sprawą drugorzędną. Uciekło mi natomiast to, co najistotniejsze: sposób szukania ciągu „na piechotę”, a ściślej – na logikę. Tak więc samo zadanie było i pozostaje ciekawe:
znaleźć ciąg rosnący złożony z kwadratów, w którym suma każdych dwu kolejnych (sąsiednich) wyrazów będzie kwadratem.
Szkopuł w tym, że końcowe pytanie nadało mu formę pasującą raczej do „Projekt Euler” niż do Łamibloga. Co prawda takie „Eulerowskie” przegięcie zdarzało mi się już nieraz, ale tym razem było przesadne. Dopowiem tylko, co zresztą wielu z Państwa zapewne zauważyło, że szukając ciągu na piechotę najwygodniej jest skorzystać z odpowiednio przekształconych wzorów na trójki pitagorejskie. W tym kontekście ciekawsze jest szukanie jak najdłuższego ciągu w minimalnym zakresie, czyli rosnącego najwolniej.

Dzisiejszy temat zacznę od trzech obrazków:

W pola kwadratu 2×2 wpisane są liczby od 1 do 4 na trzy sposoby, czyli wszystkie możliwe (z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych). Czerwone liczby oznaczają sumy czarnych w sąsiednich kratkach (wspólny bok). Ostatni obrazek, czyli trzeci sposób wpisania liczb wyróżnia się tym, że największa z czterech czerwonych sum jest najmniejsza – równa 6.
Zwiększamy format i wpisujemy liczby od 1 do 100 do stu pól kwadratu 10×10 tak, aby największa z sum par liczb w sąsiednich kratkach była najmniejszą możliwą. Jaka będzie ta suma?

20.06.2019
czwartek

Kwadratowa jazda

20 czerwca 2019, czwartek,

Z ciągu kwadratów (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…) wybieramy tercety liczb. Kryteria wyboru mogą być różne. Jeśli przyjmiemy, że dwa kwadraty powinny być równe trzeciemu, to wyciągane będą trójki pitagorejskie, a ściślej ich kwadraty, zaczynając od najmniejszej i najbardziej znanej – (3, 4, 5), czyli po ukwadratowieniu (9, 16, 25).
Zaostrzamy kryterium: suma każdej pary kwadratów w tercecie powinna być kwadratem. Obawiam się, że teraz nie uda się wyciągnąć żadnej trójki. Nawet gdyby kwadraty – tylko te wybierane – zastąpić dowolnymi liczbami naturalnymi dodatnimi, sprawa nie byłaby taka prosta, choć oczywiście realizowalna i to na bardzo wiele sposobów, np. (1, 24,120), (2, 23, 98), (3, 22, 78), (4, 21, 60),… itd. (łatwo zauważyć prawidłowość i z automatu dopisywać kolejne tercety, choć daleko tą drogą nie zajedziemy).
Wracamy do kwadratów i ostatecznie modyfikujemy kryterium: z ciągu kwadratów wybieramy liczby i tworzymy z nich ciąg rosnący taki, w którym suma każdych dwóch kolejnych wyrazów będzie kwadratem. Komu uda się najdłużej takim ciągiem jechać i najdalej zajechać?

13.06.2019
czwartek

Cyfrociąg

13 czerwca 2019, czwartek,

W angielskich książkach z zagadkami od dziesięcioleci pokutuje żarcik, polegający na uzupełnieniu poniższego ciągu liter kilkoma następnymi: O, T, T, F, F, S, S, E, N,… Przetransponowany na inne języki ciąg wygląda inaczej, a w polskiej wersji tak: J, D, T, C, P, S, S, O, D,…. Tworzą go oczywiście pierwsze litery liczebników głównych, określających kolejne liczby całkowite dodatnie.
Nowością (przynajmniej w języku polskim) jest natomiast łamigłówka oparta na podobnym pomyśle. Chodzi o uzupełnienie poniższego ciągu liczbami 0, 2, 5 wstawionymi w odpowiednie miejsca zamiast kresek.
4, _, 9, 1, 8, _, 7, 6, 3, _.
Skoro mowa o podobieństwie, to łatwo odgadnąć, że liczby powinny być ustawione w kolejności alfabetycznej odpowiadających im liczebników głównych, czyli 4, 2, 9, 1, 8, 5, 7, 6, 3, 0.
Trudniejsze zadanie polega na ustaleniu, czy można je rozmieścić inaczej lub może tak samo, ale tak, aby powstały 10-cyfrowy ciąg był utworzony zgodnie z jakąś inną zasadą – matematyczną, a nie alfabetyczną. Oczywiście, gdyby to nie było możliwe, to nie byłoby mowy o łamigłówce. Zatem można, pozostaje tylko ustalić zasadę. Niewykluczone zresztą, że zasada znajdzie się więcej niż jedna.

css.php