Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

19.09.2018
środa

Koniec końców

19 września 2018, środa,

Kończąc długą beskidzką wycieczkę, schodziłem wąską drogą, wijącą się zalesionym i gęsto zakrzaczonym zboczem koło szczawnickiego przysiółka Gabańka, gdy nagle usłyszałem odgłos łamania gałęzi w zaroślach. Przystanąłem więc i zacząłem wypatrywać jakiegoś zwierzęcia. Tymczasem okazało się, że to człowiek – pan w podeszłym wieku, który po chwili wyszedł na drogę i zaczął mnie wypytywać com za jeden i co tu robię. Potem powiedział trochę o sobie (mieszka opodal, obchodzi swoje włości, ma 80 lat) i po krótkiej wymianie uwag na temat pogody i pięknych okoliczności przyrody dowiedziałem się, że nadchodzi… koniec świata. Miało o tym świadczyć m. in. to, że zwierzęta coraz śmielej zaglądają do ludzkich siedzib – np. wilki, które przy okazji zagryzły owce jednemu z sąsiadów oraz niedźwiedź, który innemu sąsiadowi zdewastował pasiekę. Koronnym argumentem było jednak widzenie, którego mój rozmówca doświadcza regularnie od kilkunastu lat i z którego wynika, że koniec świata nastąpi najpóźniej w roku 2020.
Usiłując zachować powagę rzuciłem nieśmiało, że przepowiedni końców świata było już wiele, ale jakoś żadna się nie sprawdziła. Rozmowa się jednak nie kleiła, bo dziadek niedosłyszał, a konieczność powtarzania i mówienia podniesionym głosem jest stresująca. Dochodząc do pierwszych szczawnickich domostw, zebraliśmy trochę śliwek w zdziczałym sadzie, a zaraz potem rozstaliśmy się z niejaką ulgą. Wracając do domu starałem się przypomnieć sobie, co wiem o współczesnych przepowiedniach apokalipsy.

Najgłośniejszą w ostatnich latach, czyli związany z kalendarzem Majów tzw. fenomen roku 2012, pamiętają chyba wszyscy. Media poświęcały wówczas rzekomej prognozie sprzed wieków wyjątkowo dużo miejsca. Temat jest zresztą bardzo obszernie opisany w polskiej Wikipedii. Za oceanem niemal równie głośno bywało o wizjach nawiedzonych etatowych wróżbitów, astrologów i parapsychologów – Davida Meade, Jeane Dixon, a zwłaszcza Harolda Campinga, który na przepowiedniach dorobił się fortuny. Podobnie jak wielu innych Camping formułował swoje przewidywania w oparciu o skomplikowane obliczenia, korzystając z informacji zawartych w Biblii, czym zasłużył sobie w roku 2011 na… Antynobla z matematyki. Co ciekawe, przed wiekami od takich bałamutnych obliczeń nie stronili nawet poważni matematycy. John Napier, „ojciec” logarytmów, wyznaczył koniec świata na rok 1700, a Jacob Bernoulli, zajmujący się m. in. rachunkami prawdopodobieństwa i różniczkowym, wieszczył, że katastroficzne spotkanie Ziemi z kometą nastąpi 5 kwietnia 1719 r. Natomiast data apokalipsy wyznaczona na podstawie Biblii przez Isaaca Newtona wciąż jest przed nami – to rok 2060.

Przed nami jest także inny rok końca świata, obliczony współcześnie przez angielskiego matematyka Simona Twiga, który twierdzi, że rok ostatni będzie rokiem… pierwszym, czyli będzie wyrażał się liczbą pierwszą. Twig, także biblista amator, zaczął rachunki od pewnej biblijnej liczby złożonej z dziesięciu różnych cyfr i zastosował jakoby ukryty w jednym z wersetów algorytm iteracyjny, polegający na powtarzaniu następującego cyklu kroków: odcinamy końcową cyfrę, mnożymy ją przez 4 i dodajemy do liczby pozostałej po odcięciu. Na przykład, z liczby 2018 po odcięciu 8, pomnożeniu przez 4 i dodaniu 32 do 201 otrzymujemy 233; w następnym kroku z 233 powstaje 35 itd. (warto zauważyć, że w tym przypadku algorytm prowadzi do pętli przed dotarciem do liczby jednocyfrowej: 35→23→14→17→29→38→35→…). Po jednym z kolejnych kroków Twig uzyskał wynik 325 złożony z cyfr będących kolejnymi liczbami pierwszymi i wówczas wybrał z poprzednich wyników najmniejszy, który był liczbą pierwszą – i właśnie ten wynik, jego zdaniem, oznacza rok apokalipsy. Który to rok?

I dodatkowa zagadka: od jakiej 10-cyfrowej liczby Twig mógł zacząć obliczenia? Możliwości jest bardzo wiele, ale znaleźć choć jedną nie jest łatwo.

12.09.2018
środa

Przestawki

12 września 2018, środa,

Freeman Dyson, wybitny fizyk amerykański, jest bohaterem anegdoty, w której pojawia się następująca łamigłówka:
znajdź liczbę, która po przestawieniu ostatniej cyfry na początek zwiększa się dwukrotnie.
Zadanie zostało zaprezentowane na spotkaniu towarzyskim grona uczonych, którzy oniemieli z wrażenia, gdy Dyson po niespełna 10 sekundach stwierdził, że to proste, a najmniejsza liczba, będąca rozwiązaniem, ma 18 cyfr. I miał rację. Jednak błyskawiczne prawie rozwiązanie nie było przejawem geniuszu, jak początkowo sądzono. Okazało się bowiem, że Dyson po prostu znał tę łamigłówkę.
A jest ona rzeczywiście dość prosta. Jeśli przyjąć, ze najmniejsza szukana liczba zaczyna się jedynką, a jej dwukrotność dwójką, to rozwiązanie polega na rozszyfrowaniu poniższego mnożenia, w którym oba rzędy kropek oznaczają ten sam ciąg cyfr.

Zadanie domowe wydaje się trudniejsze, ale czy rzeczywiście takim jest?:
znajdź najmniejszą liczbę, która po przestawieniu przedostatniej cyfry na początek zwiększa się trzykrotnie.

6.09.2018
czwartek

Szyfrominy bis

6 września 2018, czwartek,

Gdy nie mam nic nowego, w miarę oryginalnego na warsztacie, wtedy zwykle bisuję. Tak właśnie jest tym razem, czyli zaszyfrowany saper pojawia się po raz wtóry. Druga odsłona jest jednak trudniejsza, choć może się wydawać, że jest odwrotnie, bo szyfr stanowią tylko dwie różne litery, zastępujące dwie różne cyfry.

Należy ustalić, jakie to cyfry, wiedząc, że powinny być one takie, aby diagram z cyframi zamiast liter tworzył zadanie zwane saperem – oczywiście z jednym rozwiązaniem. Kto nie zna tego typu łamigłówki, ten instrukcję znajdzie w poprzednim wpisie.
A zatem proszę tylko o krótką odpowiedź na pytanie: jaka cyfra ukrywa się pod literką A, a jaka pod B?

29.08.2018
środa

Szyfrominy

29 sierpnia 2018, środa,

Trzy poprzednie wpisy Łamiblogowe były wycieczką w stronę matematyki, a ściślej – teorii liczb. Pora powrócić do zwykłych, a nawet klasycznych łamigłówek. Tym razem klasyką będzie saper.

Przypominam instrukcję obsługi:
W niektórych polach diagramu ukryto miny – po jednej w każdej kratce. Należy je ujawnić, korzystając z cyfr. Cyfra w danej kratce oznacza, w ilu sąsiadujących z nią polach (stykających się bokiem lub tylko rogiem) jest mina. W kratkach z cyframi min nie ma.
Poniżej przykład z rozwiązaniem.

Sapera można nazwać (podobnie zresztą jak wiele innych zadań diagramowych) łamigłówką szyfrową, bo układ min jest w nim zaszyfrowany układem cyfr. Nie pamiętam, kto pierwszy wpadł na pomysł, że tego typu zadania można „zakręcać”, szyfrując… szyfr. Konkretnie chodzi o zastąpienie różnych cyfr różnymi literami. Po takim zabiegu powyższy przykład stanie się dwuetapowy i będzie wyglądał tak:

Czy jednak wówczas rozwiązanie pierwszego etapu (A=2, B=3, C=4, D=1), a więc także całości, będzie jedynym możliwym? Proszę sprawdzić.

Jedno rozwiązanie mają natomiast na pewno poniższe szyfrominy.

Zadanie pochodzi z łamigłówkowych mistrzostw Japonii. W rozwiązaniu wystarczy podać, jakie siedem cyfr odpowiada  poszczególnym literom (A, B, C, D, E, F, G), ale uwaga: zakres cyfr jest większy niż zwykle – obejmuje dziewięć cyfr, od ZERA do ośmiu. Zadanie nie jest – wbrew pozorom – zbyt trudne.

22.08.2018
środa

Trzy wyrazy

22 sierpnia 2018, środa,

Efektem komentarza Markoniusza do poprzedniego wpisu może być piękne zadanie:

Z dziesięciu RÓŻNYCH cyfr utworzono cztery liczby. Żadna NIE JEST liczbą pierwszą, a suma każdych trzech z nich JEST liczbą pierwszą. Jakie to liczby?

Piękne z paru powodów. Po pierwsze – lakoniczne; po drugie – dzięki równie pięknemu dowodowi podanemu przez OlęGM możliwe do rozwiązania „na piechotę” (przyda się jednak zwykły kalkulator oraz tabela lub kalkulator liczb pierwszych); po trzecie i najbardziej zaskakujące – z dokładnie jednym rozwiązaniem, w dodatku z liczbą, nie będąca ani pierwszą, ani złożoną.

Poniższe zadanie domowe jest nieco prostsze i nieco mniej urokliwe, ale należy do tej samej pandigitalnej rodzinki .

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego utworzone są z dziesięciu różnych cyfr. Najmniejszy z tych wyrazów jest największym możliwym przy założeniu, że największy jest najmniejszym możliwym. Jaką liczbą jednocyfrową zaczyna się ten ciąg?

15.08.2018
środa

Nieobecna piątka

15 sierpnia 2018, środa,

Rekreacyjna teoria liczb to mój konik numer 1, więc pozostanę przy temacie z poprzedniego wpisu, bo wydaje się rozwojowy.
Temat dotyczy zbioru czterech liczb całkowitych dodatnich złożonych (nazwiemy go zbiorem A4) – takiego, że suma każdych trzech liczb z tego zbioru (takie tercety są cztery) jest liczbą pierwszą.
Przykład: A4={9, 25, 39, 49}, bo 9+25+39=73, 9+25+49=83, 9+39+49=97 i 25+39+49=113.

Wspólnym wysiłkiem przynajmniej kilku głów i komputerów zostało ustalone, że takich zbiorów mamy multum. Pojawił się nawet konkret: zbiory A4 z liczbami co najwyżej 2-cyfrowymi są 174 – od {9, 15, 65, 77} do {65, 77, 87, 99}. Okazało się także, iż wszystkie cztery liczby mogą być kwadratami, ale takie A4 znamy póki co tylko dwa: {9, 49, 81, 121} i {9, 25, 49, 59049}; nie wątpię jednak, że przy komputerowym wsparciu znajdzie się ich znacznie więcej.

Eksplorując temat, można stawiać inne, bardziej wyszukane pytania. Na przykład: czy A4 mogą tworzyć cztery liczby składające się z dziesięciu różnych cyfr? Wówczas dwie z nich byłyby 2-cyfrowe, a dwie 3-cyfrowe. Przeglądając dotychczasowy dorobek, obfitujący w powtórki (ekstremalny przykład: {55, 57, 85, 87}), wydaje się to niemożliwe, ale pewności nie ma, podobnie jak nie ma sensu zmaganie się z tym problemem „na piechotę”.

Interesujące jest ustalanie, jakie warunki powinny spełniać liczby tworzące A4. O podstawowym już wspominałem: wszystkie muszą być nieparzyste. Inne warunki na razie pominę, bo wiążą się one z aktualnym zadaniem domowym, które dotyczy zagadkowego zbioru A5.
A5 to zbiór takich pięciu liczb całkowitych dodatnich (niekoniecznie złożonych), że suma każdych trzech z nich jest liczbą pierwszą. Nie będę zwodniczo prosił o podanie przykładu takiego zbioru, bo może ktoś z Państwa spróbuje udowodnić, że taki zbiór nie istnieje.

8.08.2018
środa

Pierwsze gorsze

8 sierpnia 2018, środa,

Zbiór liczb {1, 3, 7, 9} ma następującą własność: suma każdych trzech liczb z tego zbioru jest liczbą pierwszą. W dodatku te cztery sumy są kolejnymi liczbami pierwszymi (ale to nie jest istotne):
1+3+7=11
1+3+9=13
1+7+9=17
3+7+9=19
Zbiorów czterech różnych liczb całkowitych dodatnich o takiej własności można znaleźć sporo, np. {11, 13, 17, 43}, {7, 13, 23, 53}, {13, 47, 53, 97}. Łatwo zauważyć, że żaden nie może zawierać liczby parzystej oraz że do każdego „pchają się” liczby pierwsze.
W podanym na początku zbiorze liczb jednocyfrowych jest jedna liczba złożona (9). Znam także takie zbiory z dwiema liczbami złożonymi, np. {13, 19, 21, 27} lub {31, 33, 37, 39}. Czy liczb złożonych może być w zbiorze więcej niż dwie? A czy nieparzystymi złożonymi mogą być wszystkie cztery? A jeżeli nie jest to możliwe, to czy ktoś pokusi się o dowód?

1.08.2018
środa

Strzałkomino bis

1 sierpnia 2018, środa,

Zagadka indukcyjna z poprzedniego wpisu była bardzo trudna, więc powinienem napisać, że jedna osoba (kobert – gratulacje!) ją rozwiązała, czyli rozszyfrowała główną regułę zadania.
Całość instrukcji obsługi strzałkomina brzmi zatem tak:
Na diagramie rozmieszczono pewną liczbę kamieni domina strzałkowego. Każdy zakrywa parę pól, lecz kamienie nigdzie nie stykają się bokami (rogami mogą). Wszystkich różnych kamieni jest sześć – jak na rysunku poniżej (na żadnym strzałka nie wskazuje na strzałkę) – ale wśród ulokowanych na diagramie każdy może występować więcej niż raz lub wcale.

Granice kamieni oraz niektóre strzałki usunięto z diagramu. Mogło być nawet tak, że znikły całe kamienie. Na podstawie pozostawionych fragmentów należy odtworzyć położenie i rodzaje wszystkich kamieni, a podstawowym kluczem do rozwiązania jest następująca informacja:
z trzech możliwych zwrotów każdej strzałki właściwy jest ten, przy którym strzałka wskazuje na najdłuższy ciągły rząd pustych pól.
Gwoli jasności prosty przykład z rozwiązaniem znajduje się w poprzednim wpisie, zaś poniżej propozycja zadania trudniejszego niż poprzednio, ale oczywiście łatwiejszego niż ubiegłotygodniowa zagadka indukcyjna.

W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę strzałek wskazujących w każdym kierunku (N, E, S, W).

PS 14:06 – poprawiony diagram (strzałka w lewym górnym rogu skierowana w dół)

25.07.2018
środa

Strzałkomino

25 lipca 2018, środa,

Łamigłówkarze związani z japońskim wydawnictwem Nikoli lansują łamigłówkę kojarzącą się z dominem. Ponieważ na domino jestem chory od dziecka (byłem nim molestowany przez babcię 🙂 ), więc nie omieszkałem zainteresować się bliżej ową nowością. Aby poznać, o co w niej chodzi, musiałem przebrnąć przez japońskie pisanki, co nie było łatwe, bo zadania do sieci jeszcze nie trafiły, więc aby skorzystać z internetowego tłumacza składałem tekst „literka po literce”. W przypadku pism sylabicznych hiragany i katakany to pół biedy, ale szukanie odpowiednich znaków kanji to dla początkującego „japonisty” żmudna dłubanina i loteria. Poza tym efekty googlowych tłumaczeń w przypadku egzotycznych języków są mocno enigmatyczne. W końcu jednak udało się. Postanowiłem teraz podobną, a nawet nieco trudniejszą zabawę zaproponować Państwu. Krótko mówiąc, będzie dodatkowy twardy orzech, a więc zagadka indukcyjna, czyli zadanie bez instrukcji – tylko przykład, z którego należy wywnioskować, jakie są reguły łamigłówki, a potem rozwiązać zadanie.
W japońskim opisie o dominie mowy nie ma, ale powiązanie jest wyraźne, więc od niego zacznę. Chodzi o nietypowe domino – z kamieniami, na połówkach których zamiast oczkowych liczb są strzałki skierowane w cztery strony świata. Różnych kamieni jest sześć, bo z dziesięciu możliwych kombinacji par strzałek odpadają te, na których strzałka wskazuje na strzałkę:

Dowolne kamienie układa się na diagramie – każdy na parze pól – a następnie usuwa ich granice oraz niektóre strzałki, a czasem nawet całe kamienie. Na podstawie tego, co zostało, należy odtworzyć rodzaje i położenie początkowe wszystkich kamieni.

Przykład:

Zadanie:

W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę strzałek wskazujących w każdym kierunku (w przykładzie N-3, E-4, S-2, W-3).

18.07.2018
środa

Dwa ruchy Nabokowa

18 lipca 2018, środa,

 

Władimir Nabokow miał kilka słabości. Najbardziej znanymi, obok predylekcji do młodych nastolatek (w kontekście literackim), były motyle i szachy. Dziewczęta i motyle to nie moja broszka, ale szachy niestety tak. Napisałem „niestety”, bo to szczególny rodzaj gimnastyki szarych komórek, który wielu amatorom łamania głowy nie leży. Ale trudno, od czasu do czasu będę do niego powracał w lekkiej formie, choćby po to, by konik z logo Łamiblogu był zadowolony.

Nabokow chętnie grywał w szachy, ale ze szczególnym upodobaniem układał zadania szachowe. Większość z nich powstała w latach 60. i była zamieszczana w angielskich gazetach i czasopismach (m. in. Sunday Times, Evening News, New Statesman). Kilkanaście znalazło się w wydanej w 1969 r. książce „Poems and Problems” – osobliwej, bo zawierającej obok diagramów 53 utwory poetyckie. Z tej publikacji pochodzi poniższa dwuchodówka.

Przypominam: zaczynają białe, potem ruch wykonują czarne, a następnie białe matują czarnego króla.
Rozwiązanie jest wielowariantowe, tzn. właściwy pierwszy ruch białych jest jeden jedyny, ale czarne mają kilka możliwych odpowiedzi. Po każdej z nich białe mogą wykonać matujące posunięcie. Wskazanie wszystkich wariantów to wyższa szkoła jazdy. Na ocenę dostateczną wystarczy zrobić jak należy pierwszy ruch.

A osobom, którym łamańce szachowe nie podejdą, proponuję szkolne zadanie domowe.

Zatelefonowała do mnie znajoma pani matematyk (wykładowczyni na wyższej uczelni) z prośbą o pomoc. Chodziło o rozwiązanie zadania, z którym zjawił się u niej wnuczek, uczeń trzeciej klasy podstawówki. Zadanie było niby szkolne, ale nie dopytałem, czy z podręcznika, czy podane przez nauczyciela. Szkopuł w tym, że miało formę Mensowej łamigłówki, a w takich przypadkach wyższa matematyka bywa bezradna. Podany jest ciąg liczb ustawionych zgodnie z pewną zasadą. Jednej liczby w nim brakuje – zastąpiona jest wielokropkiem. Należy uzupełnić ten brak, odkrywając oczywiście zasadę rządzącą ciągiem:

12, 7, 9, 10, 6, 13, …, 16, 0, 19

Uporałem się z tą łamigłówką dość szybko, ale tylko dzięki temu, że pamiętałem do kogo była pierwotnie adresowana. A ile czasu zajmie to Państwu?

PS Poprawiony diagram (dodany pion na h3) 19.07, 13:00

css.php