Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

15.11.2018
czwartek

Piąta liczba

15 listopada 2018, czwartek,

W zbiorze A trzech liczb {2,3,4} dokładnie jedna liczba jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych, w zbiorze B {2,3,5} – co najmniej jedna, w zbiorze C {2,3,6} – żadna liczba nie jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych.
Zajmiemy się zbiorem B i spróbujemy go powiększyć, zachowując także następującą własność: żadna liczba nie może być wielokrotnością innej. Jaką czwartą liczbą należy uzupełnić ten zbiór, aby w każdym wyjętym z tego zbioru tercecie liczb co najmniej jedna liczba była dzielnikiem sumy dwu pozostałych?
Zadanie jest proste, bo daleko nie trzeba szukać. Zbiór powiększamy o siódemkę – {2,3,5,7}. W każdym tercecie znajdziemy dzielnik sumy dwóch pozostałych liczb: (2+3)|5 lub (3+5)|2,  (2+7)|3 lub (3+7)|2,  (2+5)|7 lub (5+7)|2,  (3+7)|5 lub (5+7)|3.
Czy równie łatwo poradzimy sobie z dodaniem do tego zbioru piątej liczby? W pierwszej chwili może się wydawać, że odpowiednia będzie kolejna liczba pierwsza, czyli 11. Okazuje się jednak, że nie, ponieważ w zbiorze {2,3,5,7,11} wyłamują się dwa tercety – [3,5,11] i [5,7,11]. Odpada także zbiór {2,3,5,7,13} – z podobnych powodów: „strajkuje” jeden tercet – [3,7,13].
Czy komuś z Państwa uda się uzupełnić zbiór właściwą piątą liczbą? A może ktoś poradzi sobie także z szóstą.

8.11.2018
czwartek

Koko

8 listopada 2018, czwartek,

Łamigłówki przesuwanki często są odwracalne. Gdyby tę sprzed dwóch tygodni „puścić od tyłu”, wyglądałaby tak:

Zadanie polega na wykonaniu serii ośmiu ruchów, po których wszystkie cztery figury znajdą się na czterech centralnych polach. Każdy ruch powinien być przesunięciem którejś figury w rzędzie lub kolumnie, ale zawsze na pole sąsiadujące w rzędzie lub kolumnie z polem zajętym przez jakąś inną figurę. Dwa lub więcej kolejnych przesunięć tej samej figury stanowi jeden ruch.
Ze względu na symetrię zacząć można od jednego z ośmiu „bliźniaczych” przesunięć. Jeśli wybierzemy 1. a1-c1-c4, to bliźniacze będzie – w stosunku do zadania sprzed dwóch tygodni – całe rozwiązanie, ale zapisane wspak: 2. a4-b4  3. c4-c1  4. d1-d3-b3  5. d4-c4-c3  6. c1-c2  7. b3-b2  8. b4-b3.
Zadanie z dośrodkowym ruchem figur wydaje się trudniejsze niż poprzednie z ruchem do rogów, mimo że różnica jest czysto formalna. Figury są wieżami szachowymi nie tylko dlatego, że wykonują wieżowe ruchy, ale także ze względu na bliższe koligacje szachowe.
Przed 30 laty niemiecki problemista Heinz Zander wymyślił wariację szachową zwaną koko (skrót od „kolońskie kontaktowe szachy”), która szybko zyskała sporą popularność w nieortodoksyjnej, czyli tzw. bajkowej kompozycji szachowej. Jej podstawę stanowiła niemal dokładnie taka sama zasada, jak w powyższej przesuwance: ruch można wykonać tylko na takie pole, które sąsiaduje (w tym wypadku bokiem lub rogiem) z polem zajętym przez inną bierkę dowolnego koloru. Ta reguła skutkuje kilkoma osobliwymi odstępstwami od klasycznej gry. Na przykład, nie można zbić bierki, koło której nie stoi żadna inna bierka. Dotyczy to także króla, który nie jest szachowany, jeśli nie ma obok siebie towarzystwa. Z drugiej strony jeśli król zostanie zaszachowany, a on sam albo towarzysząca mu bierka ma możliwość odejścia tylko na odosobnione pole, czyli praktycznie brak jest ruchu (i innych możliwości obrony też) – to taka pozycja stanowi mat. Ponadto dwa króle mogą stać obok siebie, jeśli obok żadnego z nich nie ma innej figury albo jeśli figura stoi tylko obok jednego z nich – wówczas jest szach królem (szachowany jest ten z sąsiednią figurą). Natomiast niedopuszczalna jest pozycja równorzędna, czyli aby oba sąsiadujące króle miały sąsiada. Takie zawiłości umożliwiają układanie ciekawych zadań.

Oto przykład koko dwuchodówki, czyli po ruchu białych i odpowiedzi czarnych białe powinny zamatować czarnego króla.

W zwykłych szachach sytuacja przed ruchem białych taka, jak na diagramie – szachowanie czarnego króla (zwłaszcza równocześnie przez dwie figury, wieżę i gońca) – byłaby niemożliwa. W koko król nie jest szachowany, bo nie ma obok siebie żadnej bierki.
Rozwiązanie zadania rozpoczyna ruch gońca: 1. Ga7-b8, po którym czarne muszą wykonać jedno z pięciu możliwych posunięć: g3-g2, Sh3-f2 lub g5, Ke4-e3 lub f5; ruch pionem b7 jest teraz niewykonalny, bo pion traciłby kontakt z inną bierką, zaś skok Sh3-f4 to „samobój” (król wpada w szach). Na każdą z podanych wyżej możliwości czarne odpowiadają matem gońcem lub wieżą. Po g3-g2 następuje 2. Gb8-f4X; po Sh3-f2 – 2. Gg6-f5X; po Sh3-g5 – 2. We2-e3X; po Ke4-e3 – 2. Gg6-e4X; po Ke4-f5 – 2. We2-e4X.
Poniższe zadanie jest trzychodówką, czyli białe matują w swoim trzecim posunięciu.

Mimo większej liczby ruchów zadanie jest prostsze, bo jednowariantowe, a ruchy czarnego króla są wymuszone. Białe także mają niewiele możliwych pierwszych ruchów – dokładnie osiem. Który pierwszy ruch jest właściwy? Całe rozwiązanie także będzie mile widziane.

1.11.2018
czwartek

Nie przez 7

1 listopada 2018, czwartek,

Z dziewięciu różnych cyfr większych od zera wybieramy cztery, których suma podzielna jest przez 7. Z tych cyfr próbujemy utworzyć 4-cyfrową liczbę (bez powtarzania cyfr) podzielną przez 7.
Na przykład, po wybraniu cyfr 5, 6, 8, 9 (suma 28|7) sprawa jest prosta, bo z 24 liczb możliwych do utworzenia aż sześć dzieli się przez 7 (5698, 6895, 6958, 8596, 8659, 9856). Celem jest znalezienie takiego kwartetu, z którego nie uda się złożyć żadnej 4-cyfrowej wielokrotności siedmiu.
Czy z tym zadaniem można się uporać „na piechotę” bez żmudnego wybierania odpowiednich czwórek cyfr i sprawdzania podzielności przez 7 składanych z nich liczb, czyli bez stosowania metody siłowej albo przynajmniej jakoś ją sprytnie ograniczając? Oto jest pytanie.

24.10.2018
środa

Cztery do kąta

24 października 2018, środa,

Jest miniplansza 4×4 i są 4 pionki ustawione na czterech centralnych polach.

Łamigłówka polega na przesuwaniu w kolejnych ruchach po jednym pionku w wierszu lub kolumnie o jedną, dwie lub trzy kratki – tak, aby na koniec wszystkie cztery znalazły się w narożnych polach. W każdym ruchu można jednak przesunąć tylko taki pionek, który ma przynajmniej jednego sąsiada, czyli jest jednym z dwu stojących na polach sąsiadujących w rzędzie lub kolumnie.
Ze względu na symetrię układu podstawowy start jest jeden. Umówmy się, że będzie nim ruch b3-b4. Co dalej?
Znalezienie rozwiązania nie jest łatwe – nawet w dowolnej liczbie przesunięć. Te z nadesłanych, w których liczba ruchów będzie większa od minimalnej, będę uwalniał niezwłocznie.

PS (dopisane o godz. 16.00, 24.10)
Wprowadzamy rozróżnienie między ruchem a przesunięciem: dwa lub więcej kolejnych przesunięć tego samego pionka uważamy za jeden ruch. Minimalna liczba ruchów – o nią chodzi – może być więc mniejsza od liczby przesunięć.

18.10.2018
czwartek

Kwadrandia

18 października 2018, czwartek,

Początkowo miało być bez fabułki, czyli krótko i treściwie. Ponieważ jednak ostatnio tłumaczyłem artykuł o tzw. gerrymanderingu (machlojki przy podziale na okręgi wyborcze w USA), więc wpadł mi do głowy pomysł pofantazjowania i powstała poniższa zapewne nieco przegięta bajeczka.

Kwadrandia dzieli się na 25 jednostek administracyjnych zwanych kwadrylami. Przed wyborami wysoka komisja dokonuje podziału kraju na 10 okręgów wyborczych (jednomandatowych), uwzględniając wyniki przedwyborczego sondażu. Przykładowe wyniki zwizualizowane są na diagramie z lewej strony: Partia SL (Szarych Ludzi) ma przewagę w szarych kwadrylach, Partia BL (Białych Ludzi) – w białych. Zasada podziału jest kuriozalna: sześć okręgów wyborczych powinno być prostokątami 3×1 (kwadryli), trzy – prostokątami 2×1, a jeden – 1×1, czyli jednokwadrylowy. Ponadto, co równie dziwaczne, rozmieszczenie szarych kwadryli w każdym okręgu tej samej wielkości powinno być inne. Właściwy podział przedstawiony jest na środkowym diagramie.

Tak było w poprzednich wyborach. W tegorocznych wyniki sondażu są inne, a obrazuje je rysunek z prawej strony. Proszę dokonać aktualnego podziału Kwadrandii na okręgi wyborcze, przestrzegając podanych wyżej zasad.
W rozwiązaniu wystarczy podać sumę liczb na przekątnych – każda oznacza wielkość okręgu, do którego należy dany kwadryl z liczbą. Jak widać w poprzednich wyborach suma ta wynosiła 22.

11.10.2018
czwartek

Na skróty

11 października 2018, czwartek,

Uczeń „skrócił” ułamek 139/695, skreślając jednakowe cyfry z licznika i mianownika i zauważył, że to działa, bo wynik był prawidłowy – 13/65=1/5. Nauczyciel skarcił ucznia i dodał, że taki błędny sposób skracania bardzo rzadko prowadzi do poprawnego wyniku.
Następnego dnia uczeń „skrócił” inny ułamek z 3-cyfrowymi licznikiem i mianownikiem w dokładnie taki sam sposób, tzn. skreślił cyfrę jednostek w liczniku i cyfrę dziesiątek w mianowniku, bo obie były jednakowe i – o dziwo – także otrzymał prawidłowy wynik.
– Jesteś niekonsekwentny – zauważył nauczyciel – bo skoro uparłeś się stosować ten sposób, to w otrzymanym wyniku cyfra jednostek licznika i dziesiątek mianownika nadal są takie same, więc je także powinieneś skreślić.
Uczeń skreślił wskazane cyfry, ale końcowy wynik z jednocyfrowymi licznikiem i mianownikiem był już błędny. Jaki?

3.10.2018
środa

Łaciaty bis

3 października 2018, środa,

Początkowo miało być bez bisu, ale zawczasu odkryłem, że taka łaciata kwadratołacińska łamigłówka już w Łamiblogu gościła przed ponad czterema laty. Wypada więc tylko przypomnieć, na czym polega.

W każdym rzędzie (wierszu, kolumnie) kwadratu n×n dwa pola należy zaczernić (to będą łaty) lub po prostu przekreślić, a do pozostałych kratek wpisać cyfry od 1 do n-2. Liczba przy brzegu danego wiersza (kolumny) powinna być równa sumie cyfr, które znajdą się między czarnymi polami w tym wierszu (kolumnie).

Brak cyfry jest tylko brakiem informacji, więc nie oznacza zera, czyli stykania się ze sobą czarnych pól – choć nie jest to wykluczone.

Podczas premiery tego typu zadania (02.06.2014 – tam także znajduje się przykład) nie napisałem nic o jego pochodzeniu. Nadarza się okazja, aby ten brak uzupełnić. Autorem pomysłu jest japoński mistrz łamigłówkowych kompozycji Inaba Naoki, a dziełko przyszło na świat przed 10 laty i nazywa się hasamusamu, co można przetłumaczyć jako „(cyfrowa) przekładanka”. A powyższe zadanie pochodzi z łamigłówkowych mistrzostw Holandii.
W rozwiązaniu wystarczy podać sumę cyfr oraz liczbę czarnych kratek – w obu przypadkach oczywiście tylko na przekątnych.

26.09.2018
środa

Fort for…

26 września 2018, środa,

Choć Łamiblog wykluł się i ćwierka pod skrzydłami Polityki,  to z natury jest apolityczny. Zdarza mu się jednak sporadycznie o politykę zahaczać, za co bywa z lekka karcony. Mam nadzieję, że tym razem ujdzie mu na sucho.

Prezydent Andrzej Duda zaproponował w trakcie wizyty w Białym Domu utworzenie w Polsce bazy wojsk amerykańskich o nazwie Fort Trump. Wprawdzie do ewentualnej realizacji przedsięwzięcia droga jest droga i daleka, ale znany z wysokiej samooceny prezydent USA zapewne „kupił” ofertę, co stanowiło inspirację do utworzenia następującego kryptarytmu:

Przypominam instrukcję obsługi.
Pod literami i kratkami w zapisie mnożenia ukrywają się cyfry. Takim samym literom odpowiadają jednakowe cyfry, a różnym – różne. W pustych kratkach mogą pojawić się dowolne cyfry. Należy rozszyfrować działanie, czyli podać wartości czynników i iloczynu.

Zadanie wydaje mi się warte uwagi ze względu na nieco zakręcony i logicznie ciekawy – a przy tym dość prosty – sposób rozwiązywania. Sprawnym główkołamaczom pięć minut powinno wystarczyć.

19.09.2018
środa

Koniec końców

19 września 2018, środa,

Kończąc długą beskidzką wycieczkę, schodziłem wąską drogą, wijącą się zalesionym i gęsto zakrzaczonym zboczem koło szczawnickiego przysiółka Gabańka, gdy nagle usłyszałem odgłos łamania gałęzi w zaroślach. Przystanąłem więc i zacząłem wypatrywać jakiegoś zwierzęcia. Tymczasem okazało się, że to człowiek – pan w podeszłym wieku, który po chwili wyszedł na drogę i zaczął mnie wypytywać com za jeden i co tu robię. Potem powiedział trochę o sobie (mieszka opodal, obchodzi swoje włości, ma 80 lat) i po krótkiej wymianie uwag na temat pogody i pięknych okoliczności przyrody dowiedziałem się, że nadchodzi… koniec świata. Miało o tym świadczyć m. in. to, że zwierzęta coraz śmielej zaglądają do ludzkich siedzib – np. wilki, które przy okazji zagryzły owce jednemu z sąsiadów oraz niedźwiedź, który innemu sąsiadowi zdewastował pasiekę. Koronnym argumentem było jednak widzenie, którego mój rozmówca doświadcza regularnie od kilkunastu lat i z którego wynika, że koniec świata nastąpi najpóźniej w roku 2020.
Usiłując zachować powagę rzuciłem nieśmiało, że przepowiedni końców świata było już wiele, ale jakoś żadna się nie sprawdziła. Rozmowa się jednak nie kleiła, bo dziadek niedosłyszał, a konieczność powtarzania i mówienia podniesionym głosem jest stresująca. Dochodząc do pierwszych szczawnickich domostw, zebraliśmy trochę śliwek w zdziczałym sadzie, a zaraz potem rozstaliśmy się z niejaką ulgą. Wracając do domu starałem się przypomnieć sobie, co wiem o współczesnych przepowiedniach apokalipsy.

Najgłośniejszą w ostatnich latach, czyli związany z kalendarzem Majów tzw. fenomen roku 2012, pamiętają chyba wszyscy. Media poświęcały wówczas rzekomej prognozie sprzed wieków wyjątkowo dużo miejsca. Temat jest zresztą bardzo obszernie opisany w polskiej Wikipedii. Za oceanem niemal równie głośno bywało o wizjach nawiedzonych etatowych wróżbitów, astrologów i parapsychologów – Davida Meade, Jeane Dixon, a zwłaszcza Harolda Campinga, który na przepowiedniach dorobił się fortuny. Podobnie jak wielu innych Camping formułował swoje przewidywania w oparciu o skomplikowane obliczenia, korzystając z informacji zawartych w Biblii, czym zasłużył sobie w roku 2011 na… Antynobla z matematyki. Co ciekawe, przed wiekami od takich bałamutnych obliczeń nie stronili nawet poważni matematycy. John Napier, „ojciec” logarytmów, wyznaczył koniec świata na rok 1700, a Jacob Bernoulli, zajmujący się m. in. rachunkami prawdopodobieństwa i różniczkowym, wieszczył, że katastroficzne spotkanie Ziemi z kometą nastąpi 5 kwietnia 1719 r. Natomiast data apokalipsy wyznaczona na podstawie Biblii przez Isaaca Newtona wciąż jest przed nami – to rok 2060.

Przed nami jest także inny rok końca świata, obliczony współcześnie przez angielskiego matematyka Simona Twiga, który twierdzi, że rok ostatni będzie rokiem… pierwszym, czyli będzie wyrażał się liczbą pierwszą. Twig, także biblista amator, zaczął rachunki od pewnej biblijnej liczby złożonej z dziesięciu różnych cyfr i zastosował jakoby ukryty w jednym z wersetów algorytm iteracyjny, polegający na powtarzaniu następującego cyklu kroków: odcinamy końcową cyfrę, mnożymy ją przez 4 i dodajemy do liczby pozostałej po odcięciu. Na przykład, z liczby 2018 po odcięciu 8, pomnożeniu przez 4 i dodaniu 32 do 201 otrzymujemy 233; w następnym kroku z 233 powstaje 35 itd. (warto zauważyć, że w tym przypadku algorytm prowadzi do pętli przed dotarciem do liczby jednocyfrowej: 35→23→14→17→29→38→35→…). Po jednym z kolejnych kroków Twig uzyskał wynik 325 złożony z cyfr będących kolejnymi liczbami pierwszymi i wówczas wybrał z poprzednich wyników najmniejszy, który był liczbą pierwszą – i właśnie ten wynik, jego zdaniem, oznacza rok apokalipsy. Który to rok?

I dodatkowa zagadka: od jakiej 10-cyfrowej liczby Twig mógł zacząć obliczenia? Możliwości jest bardzo wiele, ale znaleźć choć jedną nie jest łatwo.

12.09.2018
środa

Przestawki

12 września 2018, środa,

Freeman Dyson, wybitny fizyk amerykański, jest bohaterem anegdoty, w której pojawia się następująca łamigłówka:
znajdź liczbę, która po przestawieniu ostatniej cyfry na początek zwiększa się dwukrotnie.
Zadanie zostało zaprezentowane na spotkaniu towarzyskim grona uczonych, którzy oniemieli z wrażenia, gdy Dyson po niespełna 10 sekundach stwierdził, że to proste, a najmniejsza liczba, będąca rozwiązaniem, ma 18 cyfr. I miał rację. Jednak błyskawiczne prawie rozwiązanie nie było przejawem geniuszu, jak początkowo sądzono. Okazało się bowiem, że Dyson po prostu znał tę łamigłówkę.
A jest ona rzeczywiście dość prosta. Jeśli przyjąć, ze najmniejsza szukana liczba zaczyna się jedynką, a jej dwukrotność dwójką, to rozwiązanie polega na rozszyfrowaniu poniższego mnożenia, w którym oba rzędy kropek oznaczają ten sam ciąg cyfr.

Zadanie domowe wydaje się trudniejsze, ale czy rzeczywiście takim jest?:
znajdź najmniejszą liczbę, która po przestawieniu przedostatniej cyfry na początek zwiększa się trzykrotnie.

css.php