Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

17.01.2019
czwartek

Co za rok!

17 stycznia 2019, czwartek,

Jakoś nie mogę się rozstać z tegoroczną liczbą. Tym razem występuje ona w roli przykładu i pojawia się za sprawą Andrzeja111, który podał link do I etapu XVI Mistrzostw Polski w Grach Matematycznych i Logicznych, zwracając uwagę na zadania, w których gości 2019. Oto jedno z nich, trzecie od końca, czyli teoretycznie bliskie twardszym orzechom.

16. Konkatenacja
Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeżeli zapisze się kolejno cyfry tych liczb na oba możliwe sposoby : 3673 i 6733, otrzyma się znów dwie liczby pierwsze. Jaka jest najmniejsza liczba całkowita dodatnia, będąca iloczynem trzech (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych, taka, że wszystkie liczby powstałe z zapisania kolejno cyfr tych trzech czynników są pierwsze? Przypominamy, ze liczba pierwsza to taka, która ma dokładnie dwa dzielniki całkowite dodatnie.

Tekst zadania, tłumaczony z francuskiego, jest, łagodnie mówiąc, niezbyt precyzyjny, choć nietrudno się zorientować o co chodzi. Pozwolę sobie jednak zaproponować własne tłumaczenie.

Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeżeli połączymy te dwa czynniki na dwa możliwe sposoby (takie połączenie nazywamy konkatenacją), otrzymamy dwie liczby pierwsze: 3673 i 6733. Jaka jest najmniejsza liczba, będąca iloczynem takich trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których wszystkie możliwe konkatenacje także są liczbami pierwszymi?

Można też sformułować znacznie bardziej treściwą wersję.

Znajdź najmniejszy iloczyn trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których wszystkie konkatenacje są liczbami pierwszymi.

W takiej postaci łatwe zadanie staje się jeszcze prostsze, ale ponieważ termin zakończenia pierwszego etapu Mistrzostw upływa 20 stycznia, więc nie będę rozwijał tematu. Korci mnie tylko, aby dodać, że rozwiązanie można bez większego trudu znaleźć w sieci na odpowiedniej stronie. Na tejże domyślnej stronie ukryte jest rozwiązanie poniższego bliźniaczego zadania.

Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeśli dodamy do siebie te dwa czynniki otrzymamy kwadrat – 676=26^2. Jaka jest najbliższa 2019 (mniejsza lub większa) liczba, będąca iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których suma jest kwadratem?

Przy okazji: rok wyrażony liczbą, będącą iloczynem trzech liczb pierwszych, których suma jest kwadratem, był całkiem niedawno – łatwo więc do niego dotrzeć.

10.01.2019
czwartek

Jeszcze rok

10 stycznia 2019, czwartek,

Pozostanę na jeszcze jedno (za)danie wśród zabaw liczbowych noworocznych i nawiążę do klasycznej łamigłówki, która zaczyna się tak:
123456789=100
Zapewne nawet najmłodsi starzy wyjadacze wiedzą, o co chodzi: między cyframi z lewej strony równości należy rozmieścić znaki (dozwolone są cztery podstawowe działania oraz nawiasy) tak, aby powstała poprawna równość. Rozwiązań jest bez liku, ale z minimalną liczbą znaków (trzema) jedyne:
123-45-67+89=100
Miłośnikom liczbowej magii i żonglerki proponuję bieżącą wersję tej uzupełnianki:
123456789=2019
Kto rozgryzie ten orzech korzystając z najmniejszej liczby znaków (nawias to oczywiście też znak)?
Na przynętę przykład dla roku zaprzeszłego:
(12×3-4)×(56+7)–8+9=2017
Znaków jest tu niestety aż dziesięć, w tym cztery nawiasy, z których korzystać chyba nie warto, bo chadzają – jak nieszczęścia – parami.

3.01.2019
czwartek

O roku ów!

3 stycznia 2019, czwartek,

Dobra wiadomość jest taka, że 2019 to czterdziesta szósta liczba równocześnie happy i lucky, czyli – rzec by można – podwójnie szczęśliwa albo przynajmniej radosna i szczęśliwa. Podpiąłem linki do Wikipedii, bo definicje liczbowych szczęśliwości są nieco zawiłe. Dodam tylko, że na następny taki dubeltowo odlotowy rok przyjdzie nam czekać 96 lat, więc warto korzystać…

A poza tym rok jaki jest, każdy widzi albo może sprawdzić, wykonując odpowiednie obliczenia. To mianowicie zlepek dwu kolejnych liczb, a także liczba półpierwsza (podobnie jak 2018), czyli iloczyn dwu liczb pierwszych – w dodatku takich, których suma (3+673=676=26^2) jest kwadratem (to już rzadkość). Ponadto to suma czterech kolejnych liczb półpierwszych (501+502+505+511) oraz 22 początkowych potęg (1+4+8+…+216+225+243).

Jak zapisać 2019 w postaci działania, korzystając z czterech podstawowych znaków, potęgowania oraz cyfr 0, 1, 2, 9 – żadnej nie pomijając, ale ograniczając powtórki do minimum?
Sposoby mniej lub bardziej trywialne są np. takie:
2010+9; 2100–9^2; 201×10+9
Nieco ambitniejsze to:
999×2+20+1; (90/2)^2–9–2–1 (90/2)^2–9+2+1.
Zadanie domowe polega na znalezieniu takiego zapisu złożonego tylko z sześciu cyfr i nie zawierającego liczby czterocyfrowej ani trzycyfrowej.

28.12.2018
piątek

Kwadrat z kwadratami

28 grudnia 2018, piątek,

Kwadrat magiczny liczbowy i kwadrat magiczny literowy to różne magie. W tym pierwszym istotna jest suma liczb w kratkach, która powinna być jednakowa w wierszach, kolumnach i na przekątnych. W tym drugim litery powinny tworzyć wyrazy – takie same w kolejnych wierszach i w kolejnych kolumnach. Przykładem są obie magiczne wersje w formacie mini 3×3:

Magię słowno-literową można by „przetłumaczyć” na liczbową, umawiając się, że istotna jest nie suma liczb (w tym przypadku jednocyfrowych, a więc jednoznakowych, jak litery), lecz kilkucyfrowe liczby w rzędach i kolumnach. Słowa w kwadracie należałoby więc zastąpić liczbami, umieszczając odpowiednie cyfry zamiast liter – takim samym literom powinny odpowiadać jednakowe cyfry, a różnym różne. Przydałby się tylko dodatkowy warunek, aby zastępstwa nie były dowolne. Umówmy się, że ów warunek jest następujący: wszystkie liczby powinny być kwadratami. Kwadrat DOM-OSA-MAJ miałby wówczas jedno rozwiązanie:

Jednak wszystkich takich kwadratów 3×3 z kwadratami jest siedem osiem.
Proszę spróbować utworzyć kwadrat z kwadratami 4×4 – rozwiązanie jest jedno. A może ktoś da się zwieść na pokuszenie ułożenia takiego kwadratu 5×5 – tu rozwiązań jest więcej.
Uwaga: z zerami się nie bawimy.

20.12.2018
czwartek

Sumy różnic

20 grudnia 2018, czwartek,

Na Święta pozostaniemy w Japonii, czyli zapoznamy się z jeszcze jedną łamigłówką, która ma dalekowschodni rodowód. Jest przy tym kontrowersyjna i w zasadzie należy już do przeszłości. Debiutowała bowiem przed blisko dekadą i… nie przyjęła się. Należy do zadań opartych na ciekawym i oryginalnym pomyśle, nie owocującym jednak atrakcyjnym „towarem”, na który jest popyt. Rozwiązywanie okazuje się po prostu zbyt zakręcone lub raczej zaplątane, co związane jest z kluczowym dla tego pomysłu sprzężeniem zwrotnym.
Zasady są proste, choć niełatwo zwięźle je przedstawić. W puste pola należy wpisać liczby naturalne dodatnie. Wszystkie one, także te, które są już wpisane, powinny spełniać pewien warunek. Aby go przedstawić pozwolę sobie na pewną rozwlekłość.
Każda liczba X sąsiaduje przynajmniej z jedną, a co najwyżej z czterema innymi liczbami. Między liczbą X a każdą z jej sąsiadek występuje jakaś różnica – umawiamy się, że różnica ta jest zawsze liczbą nieujemną. Otóż liczba X, a więc każda liczba w diagramie, powinna być równa sumie tych różnic – jednej, dwóch, trzech lub czterech – między nią a sąsiadkami.
Mam nadzieję, że zasada jest zrozumiała; na wszelki wypadek mały przykład z rozwiązaniem.

A poniżej zadanie świąteczne.

Obawiam się, że (za)danie nie jest zbyt „lekkostrawne”, choć może niektórym Łamiblogowiczom zasmakuje. W rozwiązaniu wystarczy podać ciąg pięciu liczb wskazany czerwoną strzałką.
Spokojnych Świąt.

13.12.2018
czwartek

Cyfromrówki

13 grudnia 2018, czwartek,

Dawno nie było w Łamiblogu „japońszczyzny”, czyli zadań, które bawią główkołamaczy z ostatniego cesarstwa. Pora nadrobić tę zaległość. Zadanie nazywa się guntaiari – to japońska nazwa podrodziny koczowniczych mrówek Ecitoninae, którą można przetłumaczyć jako „mrówcze wojsko”. W zadaniu mrówkami, tworzącymi zgrupowania, są cyfry.
Na diagramie podzielonym na działki rozmieszczono żetony z cyframi od 1 do n. Niektóre z nich należy przesunąć – każdy na puste pole w tej samej działce, w której się znajduje. Efektem wszystkich przesunięć powinno być utworzenie na diagramie kilku uporządkowanych, rozłącznych grup żetonów. Grupę stanowią żetony z różnymi kolejnymi cyframi od 1 do kn, umieszczone na polach, tworzących jeden wielokąt. Uporządkowanie polega na tym, że każde dwie kolejne cyfry w grupie muszą zajmować sąsiednie pola (wspólny bok). Rozłączność oznacza, że żadne dwa wielokąty zajmowane przez grupy nie mogą stykać się fragmentami boków (rogami mogą).
Istotne są także trasy przesunięć żetonów, które po oznaczeniu na diagramie powinny przechodzić tylko przez białe pola w pionie lub poziomie (nie na ukos) i żadne dwie nie mogą gościć w tym samym polu.
Przykład:

Zadanie:

Jako rozwiązanie wystarczy podać sumę cyfr na przekątnych po zgrupowaniu żetonów, czyli po wykonaniu wszystkich przesunięć.
Uwaga: mrówki są matematyczne, więc jedna także stanowi grupę.

6.12.2018
czwartek

Na okrągło

6 grudnia 2018, czwartek,

N-cyfrowa liczba kolista jest znamienna tym, że z jej zapisu na kole można odczytać każdą jej wielokrotność od 1 do n, zaczynając za każdym razem od innej cyfry i wykonując jedną rundę zgodnie z kierunkiem zapisu. Gwoli jasności klasyczny przykład, czyli 142857.

Dwukrotność protoplastki czytamy w kółko, zaczynając od dwójki (285714), trzykrotność – zaczynając od 4 (428571) itd., aż do odósemkowej sześciokrotności, czyli 857142.

Liczbą okrężną nazwiemy krewniaczkę liczby kolistej, różniącą się od niej tym, że odczytywana wielokrotność jest jedna, ale odczytując ją wykonujemy więcej niż jedną, lecz mniej niż dwie rundy (przy dokładnie dwóch okrężną byłaby każda liczba).
O ile wiem, nikt się takimi liczbami jeszcze nie bawił, więc też ich nie szukał. Jednocyfrowe oczywiście wykluczamy, a dwucyfrowa jest chyba tylko jedna – 25 (25×21=525). Kto znajdzie choć jedną trzycyfrową? Dla zachęty czterocyfrowa (jaka?) nawinięta na kółko.

29.11.2018
czwartek

Tylko prawda

29 listopada 2018, czwartek,

W kilku językach istnieją kryptarytmy w rodzaju angielskiego:
THREE to liczba pierwsza, FOUR jest kwadratem, a EIGHT sześcianem. Liczebniki należy zastąpić liczbami tak, aby takim samym literom odpowiadały jednakowe cyfry, a różnym – różne. Oczywiście informacje o liczebnikach powinny dotyczyć przede wszystkim rozszyfrowanych liczb.

Wierne tłumaczenie tego zadania na polski wygląda obiecująco:
TRZY – liczba pierwsza, CZTERY – kwadrat, OSIEM – sześcian.
Niestety, rozwiązania brak. Byłoby – w dodatku tylko jedno – gdyby „skłamać”, informując, że OSIEM także jest kwadratem. Wówczas TRZY=5039, CZTERY=635209 (kwadrat 797), OSIEM=71824 (kwadrat 268).

Ponieważ jednak Łamiblog pisany jest pod przysięgą, więc prawda obowiązuje i musi być np. tak:
JEDEN – sześcian, TRZY – liczba pierwsza, STO – kwadrat.
Jakie liczby odpowiadają liczebnikom?

22.11.2018
czwartek

112 łebków

22 listopada 2018, czwartek,

Palaczem, podpalaczem ani nadpalaczem nie jestem, a w kuchence gazowej mam zapalnik elektryczny, więc z zapałek korzystam raz w roku – 1 listopada, zapalając znicze na cmentarzu. Gdyby nie to, sądziłbym że to towar reglamentowany albo historyczny jak hubka i krzesiwo lub lampa naftowa. Natomiast nieco częściej i chętnie trafiam tu i ówdzie na tzw. zapałczanki, czyli łamigłówki, w których patyczki z łebkami przydają się jako rekwizyty, nawet jeśli praktyczne korzystanie z nich nie jest konieczne. Przykładem poniższa układanko-zabieranka.

Ze 112 zapałek utworzono kwadrat podzielony na 49 małych jednostkowych kwadratów. Wszystkich zapałczanych kwadratów (różnej wielkości) jest tu jednak znacznie więcej. Ile?

A teraz zabieranka. Z tego układu należy usunąć jak najmniej zapałek w taki sposób, aby nie pozostał w nim żaden kwadrat. Ile zapałek wystarczy zabrać?

15.11.2018
czwartek

Piąta liczba

15 listopada 2018, czwartek,

W zbiorze A trzech liczb {2,3,4} dokładnie jedna liczba jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych, w zbiorze B {2,3,5} – co najmniej jedna, w zbiorze C {2,3,6} – żadna liczba nie jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych.
Zajmiemy się zbiorem B i spróbujemy go powiększyć, zachowując także następującą własność: żadna liczba nie może być wielokrotnością innej. Jaką czwartą liczbą należy uzupełnić ten zbiór, aby w każdym wyjętym z tego zbioru tercecie liczb co najmniej jedna liczba była dzielnikiem sumy dwu pozostałych?
Zadanie jest proste, bo daleko nie trzeba szukać. Zbiór powiększamy o siódemkę – {2,3,5,7}. W każdym tercecie znajdziemy dzielnik sumy dwóch pozostałych liczb: (2+3)|5 lub (3+5)|2,  (2+7)|3 lub (3+7)|2,  (2+5)|7 lub (5+7)|2,  (3+7)|5 lub (5+7)|3.
Czy równie łatwo poradzimy sobie z dodaniem do tego zbioru piątej liczby? W pierwszej chwili może się wydawać, że odpowiednia będzie kolejna liczba pierwsza, czyli 11. Okazuje się jednak, że nie, ponieważ w zbiorze {2,3,5,7,11} wyłamują się dwa tercety – [3,5,11] i [5,7,11]. Odpada także zbiór {2,3,5,7,13} – z podobnych powodów: „strajkuje” jeden tercet – [3,7,13].
Czy komuś z Państwa uda się uzupełnić zbiór właściwą piątą liczbą? A może ktoś poradzi sobie także z szóstą.

css.php