Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

13.06.2019
czwartek

Cyfrociąg

13 czerwca 2019, czwartek,

W angielskich książkach z zagadkami od dziesięcioleci pokutuje żarcik, polegający na uzupełnieniu poniższego ciągu liter kilkoma następnymi: O, T, T, F, F, S, S, E, N,… Przetransponowany na inne języki ciąg wygląda inaczej, a w polskiej wersji tak: J, D, T, C, P, S, S, O, D,…. Tworzą go oczywiście pierwsze litery liczebników głównych, określających kolejne liczby całkowite dodatnie.
Nowością (przynajmniej w języku polskim) jest natomiast łamigłówka oparta na podobnym pomyśle. Chodzi o uzupełnienie poniższego ciągu liczbami 0, 2, 5 wstawionymi w odpowiednie miejsca zamiast kresek.
4, _, 9, 1, 8, _, 7, 6, 3, _.
Skoro mowa o podobieństwie, to łatwo odgadnąć, że liczby powinny być ustawione w kolejności alfabetycznej odpowiadających im liczebników głównych, czyli 4, 2, 9, 1, 8, 5, 7, 6, 3, 0.
Trudniejsze zadanie polega na ustaleniu, czy można je rozmieścić inaczej lub może tak samo, ale tak, aby powstały 10-cyfrowy ciąg był utworzony zgodnie z jakąś inną zasadą – matematyczną, a nie alfabetyczną. Oczywiście, gdyby to nie było możliwe, to nie byłoby mowy o łamigłówce. Zatem można, pozostaje tylko ustalić zasadę. Niewykluczone zresztą, że zasada znajdzie się więcej niż jedna.

6.06.2019
czwartek

Inny rozbójnik

6 czerwca 2019, czwartek,

Siergiej Kariakin, jeden z czołowych szachistów rosyjskich (wcześniej ukraińskich) jest mistrzem świata w trzech różnych konkurencjach – w drużynie, w blitzu oraz w… antyszachach. W drużynie – wiadomo; blitz – można się domyślić, że chodzi o szachy błyskawiczne (każdy gracz ma 10 minut na partię); trudniej rozgryźć antyszachy, choć już kiedyś o nich wspominałem. Wyjaśnieniem mogą być ich inne określenia – wybijanka lub rozbójnik. Zatem wygrywa ten, kogo armia zostanie wcześniej wybita do nogi. Kariakin uznaje tę grę za bliższą demokracji, bo żadna figura się w niej nie wywyższa. Nie ma szacha ani mata; król może być bity jak każda inna bierka. Bicie jest obowiązkowe, a jeżeli jest więcej niż jedno, można wybrać dowolne. Nie ma roszady, ale zachowana jest promocja i pozostałe reguły gry. Kluczem do zwycięstwa jest więc umiejętność podstawiania się do bicia, co dobrze oddaje rosyjska nazwa antyszachów i paru innych „odwróconych” gier – poddawki.
Prawdę mówiąc, mistrzowski tytuł Kariakina jest mocno naciągany, bo w turnieju zwanym szumnie mistrzostwami świata w poddawki organizowanym w Moskwie od kilkunastu lat 1 kwietnia, ale nieregularnie (nie co roku) przez gazetę „Moskiewski Komsomolec”, świat ogranicza się do licznego grona stołecznych VIP-ów i paru szachistów. Mimo niezbyt poważnej daty gra traktowana jest całkiem serio. Wiadomo też, że jest bardziej podatna na rozgryzanie przez komputery, dzięki którym ustalono, że niektóre początkowe ruchy prowadzą nieuchronnie i szybko do porażki, jeśli oczywiście kolejne posunięcia będzie wskazywał komputer.
Trudniejszy do analizy jest wariant rozbójnika bliższy szachom, w którym zostaje zachowana królewska „nieśmiertelność”, szach, mat i roszada, zaś bicie nie jest obowiązkowe tylko wówczas, gdy równocześnie szachowany jest król – wtedy przede wszystkim trzeba go bronić. Wygrywa ten, kto straci wszystkie bierki oprócz króla albo jego król zostanie zamatowany.
Takiej odmiany antyszachów dotyczy poniższe zadanie. Jaki pierwszy ruch powinny wykonać białe, aby zapewnić sobie wygraną?

30.05.2019
czwartek

W galerii

30 maja 2019, czwartek,

Łamiblog ma prawie 13 lat, ale chyba dotąd nie pojawiła się w nim jedna z moich ulubionych łamigłówek pełnoletnich. A jeśli mnie pamięć oraz kwerenda zawodzi i jednak była, to pod inną nazwą, niż ta, pod którą znana jest w światku główkołamaczy. Chodzi o japońską 18-latkę akari, czyli w dosłownym tłumaczeniu „galerię sztuki”.
Nazwa akari wiąże się z fabułką, która początkowo dotyczyła rozmieszczenia w galerii strażników, zastąpionych później lampami lub kamerami, oświetlającymi albo obserwującymi obiekty w salach muzealnych. Salami są białe pola diagramu; żółte pola z czerwonym brzegiem to pomieszczenia zamknięte, np. magazyny. Zadanie polega na rozmieszczeniu w niektórych salach strażników tak, aby wszystkie sale były przez nich obserwowane. Każdy strażnik ma w zasięgu wzroku wszystkie sale w rzędach (wierszu i kolumnie), na przecięciu których się znajduje. Zasięg widzenia ograniczają czerwone brzegi żółtych pól. Ponadto żaden strażnik nie może widzieć innego strażnika.
Akari debiutowała w trzecim numerze kwartalnika Nikoli w roku 2001. Poniższy przykład z rozwiązaniem to jedno z trzech debiutanckich zadań.

Pora uzupełnić reguły zabawy: każda liczba w żółtym polu oznacza, ile sąsiednich białych pól-sal powinni obsadzić strażnicy – sąsiednich, czyli mających wspólny bok, a więc co najwyżej czterech. Jak wynika z przykładu, nie wszyscy strażnicy muszą być wskazani przez liczby.
Akari to z natury łamigłówki niezbyt trudne, więc by nie było za łatwo zadanie domowe jest wersją zaszyfrowaną: takie same cyfry zastąpione są jednakowymi literami, a różne – różnymi.

Niestety, po zakończeniu wystawy okazało się, że z jednej sali został skradziony cenny eksponat. Dopiero wtedy organizatorzy zauważyli, że była to jedyna sala nieobserwowana. Proszę wskazać tę salę.

23.05.2019
czwartek

Włącz dwa kolory

23 maja 2019, czwartek,

Jeśli narysujemy pięciokąt i poprowadzimy w nim wszystkie przekątne, to powstanie graf pełny, którego symbolem jest K5, co oznacza pięć punktów (wierzchołków), z których każdy połączony jest odcinkiem (krawędzią) z każdym innym. W takim grafie każdą krawędź można zabarwić jednym z dwu kolorów tak, że nigdzie nie powstanie jednobarwny trójkąt (trzy boki w tym samym kolorze). Uwzględniamy tylko trójkąty, których bokami są przekątne i boki wielokąta, a więc tylko całe odcinki łączące wierzchołki grafu.

Jeśli w analogiczny sposób postąpić z sześciokątem, tworząc najpierw pełny graf K6, a potem używając dwóch kolorów do oznaczenia jego 15 krawędzi, to uniknięcie jednobarwnych trójkątów nie będzie możliwe. Ile krawędzi takiego grafu trzeba usunąć, aby dwukolorowy graf nie zawierał monochromatycznych trójkątów?
A czy ktoś potrafi ustalić, ilu krawędzi trzeba pozbawić graf pełny K10, aby przy dwóch kolorach wszystkich (45) krawędzi nie było w nim trójkątów w jednym kolorze? Wbrew pozorom odpowiedź jest zaskakująco skromna i można do niej dotrzeć na logikę.

16.05.2019
czwartek

Wielodzietnie

16 maja 2019, czwartek,

– Kochane dzieci, dzisiaj byłyście grzeczne, więc możecie sobie wziąć po kilka czekoladek – rzekła mama wieczorem do gromadki swoich pociech, otwierając bombonierkę.
Niektóre dzieci uznały jednak samokrytycznie, że coś dziś przeskrobały i na nagrodę nie zasługują, więc nie sięgnęły po słodycze. Adaś wziął tyle czekoladek, ile dzieci nie wzięło żadnej czekoladki. Błażej wziął tyle, ile dzieci wzięło po jednej czekoladce. Czarek tyle, ile dzieci wzięło po dwie czekoladki… Ogólnie: każde kolejne n-te dziecko wzięło tyle czekoladek, ile dzieci wzięło po n-1 czekoladek, zaczynając od n=1 (przypadek Adasia).
Ile było wszystkich dzieci, jeśli wiadomo, że gdyby było ich o jedno mniej lub o dwoje więcej, to opisany sposób dzielenia się czekoladkami nie byłby możliwy?

9.05.2019
czwartek

Kwadratura kwadratów

9 maja 2019, czwartek,

Całkiem poważni matematycy, a ściślej teoretycy liczb, mają następujący poważny problem:
dla jakich n można utworzyć zbiór n różnych liczb całkowitych taki, w którym suma każdej pary liczb będzie kwadratem.
Jest jeszcze dodatkowy warunek: dla danego n szukamy zbioru, w którym największa liczba będzie jak najmniejsza (o ile oczywiście n-liczbowych zbiorów uda się znaleźć więcej niż jeden). I są dwie konkurencje – w pierwszej dopuszcza się liczby ujemne, w drugiej nie. W pierwszej rekordem jest od 42 lat zbiór 6-liczbowy:
{–15863902, 17798783, 21126338, 49064546, 82221218, 447422978}.
W drugiej konkurencji od prawie półwiecza króluje kwintet:
{7442, 28658, 148583, 177458, 763442}.

Nie całkiem poważni teoretycy liczb, czyli np. wyżej nadpisany, mają bliźniaczy „niepoważny” problem: dla jakich n można utworzyć zbiór n różnych liczb naturalnych taki, w którym suma każdych n-1 liczb będzie kwadratem.
Dla n=3 w drugiej konkurencji oba problemy „nakładają się”.
Proszę zatem spróbować znaleźć takie trzy liczby naturalne, że suma każdych dwu z nich będzie kwadratem, zaś suma wszystkich trzech będzie najmniejszą możliwą liczbą.
A może ktoś pokusi się o rozwiązanie „niepoważnego” problemu dla n=4.
Dla zachęty ciekawostka: zbiór trzech liczb, w którym kwadratami są wszystkie możliwe sumy – {41, 80, 320}.

2.05.2019
czwartek

Ile wart jest STEFAN?

2 maja 2019, czwartek,

O którego STEFANa chodzi? O Nie… o nie, nie o tego, tylko o BATOREGO oczywiście, który wielkim królem był, a wśród jego licznych choć pomijanych zalet jest także kryptarytmetyczna – imię plus nazwisko składa się z dziesięciu różnych liter. Jeśli więc każdą literę zastąpić inną cyfrą, to powstaną dwie 6-cyfrowe liczby, które będą miały wspólne dwie cyfry, odpowiadające literom A i T. Celem jest ustalenie wartości tych liczb, jeśli spełniają one dwa warunki.
Po pierwsze: liczba BATORY stanowi rozwiązanie poniższego masterminda, czyli kod, do rozszyfrowania którego kluczem jest pięć „strzałów” – liczb 6-cyfrowych – i ocena zgodności każdego z kodem BATORY. Oceną jest czerwona cyfra – równa liczbie takich samych cyfr w strzale i w kodzie. Ponadto nigdy trafiona cyfra nie znajduje się na tym samym kolejnym miejscu, co w kodzie.

Po drugie: Obie liczby, zastępujące wyrazy STEFAN i BATORY, są kwadratami.
W rozwiązaniu wystarczy podać wartość STEFANa, choć oczywiście BATORY też będzie mile widziany.

25.04.2019
czwartek

S… S… C…

25 kwietnia 2019, czwartek,

W książkach poświęconych matematyce rekreacyjnej przytaczana bywa anegdota, dotycząca genialnego hinduskiego matematyka samouka Srinivasy Ramanujana, który podczas pobytu w Anglii w latach 1914-19 często chorował. Jego przyjaciel i protektor angielski matematyk Godfrey Hardy odwiedzał go w szpitalu i podczas jednej z wizyt napomknął, że przyjechał taksówką o numerze bocznym 1729. Dodał też półżartem, że to raczej nieciekawy numer i ma nadzieję, że nie jest to zły omen. Ramanujan zaprotestował, uznając tę liczbę za bardzo interesującą, ponieważ jest najmniejszą naturalną, którą można przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na dwa sposoby: 1729=1^3+12^3=9^3+10^3.
Uwaga Ramanujana mogłaby też brzmieć inaczej albo można by ją uzupełnić drugą, następującą ciekawą własnością 1729:
to największa liczba równa s… s… c… pomnożonej przez s… s… c… zapisaną w….
Proszę spróbować uzupełnić ostatnie zdanie siedmioma wyrazami, z których pozostały tylko pierwsze litery.

18.04.2019
czwartek

Cyfrowanka

18 kwietnia 2019, czwartek,

Po zatytułowaniu tego wpisu zacząłem się zastanawiać, czy cyfrowanki już kiedyś nie było. Sprawdziłem i okazało się, że tak, ale dotyczyła zadania nieco innego niż poniższe. W gruncie rzeczy każdą łamigłówkę, w której do pól diagramu wpisuje się liczby jednocyfrowe można by tak nazwać, a na pierwszy ogień poszłoby kakuro – dziś już prawie zapomniane, choć czasem wskrzeszane, ostatnio np. w ramach eliminacji do tegorocznych XXIII Mistrzostw Polski w Łamigłówkach.
Nazwa cyfrowanka kojarzy się jednak z czymś małym, jakby bibelotem. Oto więc przykład takiego cacka.

W każdym polu jasnego kwadratu 4×4 powinna znaleźć się cyfra. Cztery są już na swoich miejscach. Zadanie polega na wpisaniu dwunastu pozostałych – żadna nie może być zerem. Kluczem do rozwiązania są liczby przy brzegu – każda oznacza sumę czterech cyfr w danym rzędzie lub kolumnie, zaś liczby przy rogach równe są sumom cyfr na przekątnych.
Do przemyślenia: czy bez podanych sum cyfr na przekątnych (17 i 20), albo chociaż bez jednej z nich, rozwiązanie także byłoby jedno.
A na deser żartobliwy drobiazg z całkiem innej beczki: które zwierzę po przyprawieniu mu ogonka zmienia się w wielkość fizyczną?

11.04.2019
czwartek

100 i 13

11 kwietnia 2019, czwartek,

A imię jego… sto i trzynaście. W oryginale jest oczywiście „czterdzieści i cztery”, ale oryginał pozostaje – mimo wielu hipotez, czyli prób wyjaśnienia – zagadką. Tak musi być, ponieważ – jak pisze profesor Wacław Kubacki w rozprawie Arcydramat Mickiewicza – „jednoznaczne wyjaśnienie spłyciłoby wartość literacką utworu, bowiem sens artystyczny tego symbolu wymaga, aby pozostał on nierozwiązany”.
Natomiast jeśli chodzi o „sto i trzynaście” sprawa jest jasna: na diagramie należy oznaczyć trasę (linię łamaną) przechodzącą przez 13 różnych liczb, których suma musi być równa 100. Trasa nie może odwiedzać dwukrotnie tej samej liczby, a tworzące ją odcinki powinny biec poziomo lub pionowo.
Zadanie w pierwszej chwili może się wydać żmudne. Gdy jednak uświadomimy sobie, że sumowanie liczb w trakcie rysowania trasy wcale nie jest konieczne, wszystko staje się proste.
W przykładzie oznaczona jest trasa „20 i 5”.

Przykład

Zadanie

W rozwiązaniu wystarczy podać dwie liczby na końcach łamanej, ale kolejność całej trzynastki też będzie mile widziana.

css.php