Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

22.02.2020
sobota

Same kwadraty

22 lutego 2020, sobota,

Liczbomani(acy) i autorzy zadań bawią się czasem w krzyżowanie kwadratów, czyli układanie miniaturowych krzyżówek liczbowych, w których wszystkie „wyrazy” są kwadratami. Ideałem jest, aby krzyżówka była pełnym prostokątem, no i oczywiście aby liczby były różne. Teoretycznie najmniejszą prostokątną krzyżówkę stanowi diagram 2×1 z poziomym kwadratem 49 oraz jednocyfrowymi pionowymi – 4 i 9:

Liczbowe dwa wymiary zaczynają się jednak od diagramu 2×2, ale ulokować w nim kwadratów nie sposób, bo nie ma dwu różnych dwucyfrowych kwadratów zaczynających się taką samą cyfrą.
Czy znajdą się różne kwadraty, którymi będzie można wypełnić większe prostokątne diagramy, od 3×2 poczynając? Zostawiam państwa z tym pytaniem, uzupełniając je nieprostokątną krzyżówką do wypełnienia dziewięcioma wyrazami-kwadratami – czterema poziomymi i pięcioma pionowymi, w tym jednym 4- i jednym 5-cyfrowym.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.)

15.02.2020
sobota

Łaciński kawałek

15 lutego 2020, sobota,

Kwadrat łaciński jest podstawą wielu zadań diagramowych; powiedziałbym nawet, że większości szerzej znanych – z sudoku w roli głównej. Ale podstawą może być także kawałek kwadratu łacińskiego, a efektem łamigłówka lekka, łatwa i przyjemna.

Do pustych kratek należy wpisać liczby z zakresu od 1 do 5 tak, aby:
• w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowały różne liczby;
• suma liczb w każdej kolumnie była równa liczbie podanej u dołu w szarym polu.
Jako się rzekło, zadanie jest łatwe, więc dla tęższych głów pytanie dodatkowe: czy zbiór wszystkich ujawnionych na początku liczb w tym zadaniu – a więc nie tylko trzech w kawałku kwadratu łacińskiego, ale także pięciu sum u dołu – jest zbiorem krytycznym? Inaczej mówiąc, czy którąś (któreś?) z tych liczb można usunąć, a rozwiązanie nadal będzie tylko jedno?

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.

8.02.2020
sobota

Dla dra Who

8 lutego 2020, sobota,

W jednej z początkowych scen 7 odcinka 3 serii serialu Doktor Who, zatytułowanego 42 (polski tytuł 42 minuty), pojawia się następująca ekstremalna, żeby nie powiedzieć ormiańska zagadka: aby otworzyć drzwi do maszynowni statku kosmicznego należy odgadnąć i wpisać na klawiaturze zamka szyfrowego kolejny wyraz ciągu: 313, 331, 367, …. W Encyklopedii Ciagów Liczbowych jest pięć rozwiązań, a samemu można wymyślić (z sensownym uzasadnieniem) przynajmniej drugie tyle. Tymczasem genialny Doktor Who bez wahania strzela i trafia – chodzi o fragment ciągu tzw. liczb szczęśliwych vel wesołych, w dodatku nie wszystkich, lecz tylko tych, które są pierwsze.
Ostatnio w trakcie studiowania pewnego zagadnienia matematycznego wykluła mi się zagadka bliska powyższej, także jeśli chodzi o ekstremalność. Wahałem się czy ją tu proponować, ale ponieważ goście Łamibloga zaskakiwali mnie już nieraz błyskotliwością, więc zaryzykuję.
Poniżej znajdują się cztery quasi-ciągi, w których brakuje ostatniego wyrazu oraz jeden, w którym niczego nie brakuje.
9, 306, 482, _ _ _
12, 84, 597, _ _ _
3, 54, 60, 98, _ _ _
6, 28, 37, 94, _ _ _
38, 42, 51, 60, 97
Napisałem „quasi”, bo choć liczby ustawione są w kolejności rosnącej, to w gruncie rzeczy stanowią nie tyle ciągi, co zbiory – dwa cztero- i trzy pięcioliczbowe. Wszystkie te zbiory łączy ta sama zagadkowa własność lub raczej zagadkowe własności, które należy rozszyfrować na podstawie ostatniego zbioru (jest to więc jakby zagadka indukcyjna) i wpisać cztery brakujące liczby zamiast kreseczek – ile kreseczek, tyle cyfr, a więc 3-cyfrowe. Dodam dla ułatwienia, że liczby w każdym zbiorze są ze sobą jakoś silnie skoligacone. Wystarczy wpaść na pewien pomysł i sprawdzić, czy „działa”.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.)

1.02.2020
sobota

Keres bis

1 lutego 2020, sobota,

W roku 1929 czołowy estoński szachista Vladas Mikėnas napisał w tallińskiej gazecie Päevaleht:
Paul Keres – mistrz Parnawy ma zaledwie 12 lat. Tak młody szachista stanowi chlubę miasta, zostawiając w pobitym polu swoich brodatych rywali. Jak sam mówi, jego szachowa kariera zaczęła się w wieku 4 lat i rozwijała się bez nauczyciela, tylko dzięki rubrykom szachowym w prasie. Pracuje jak dorosły: przepisał do zeszytu i przestudiował kolekcję liczącą ponad 700 partii. Jest uczniem pierwszej klasy parnawskiego gimnazjum męskiego. Mały wzrostem przy szachownicy przerasta o głowę wielu „weteranów”.
Ten tekst powstał po tym, jak estoński mistrz przegrał z 12-latkiem w symultanie szachowej z udziałem ośmiu przeciwników. Przegrał też z innym uczestnikiem, któremu Keres pomagał. Z sześcioma pozostałymi wygrał.
W tym samym roku pierwszoklasista Keres opublikował po raz pierwszy w gazecie swoje zadanie szachowe – poniższą dwuchodówkę.

Zaczynają białe i matują czarnego króla w swoim drugim ruchu. Proszę wskazać pierwszy ruch białych.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.)

25.01.2020
sobota

Jak Keres

25 stycznia 2020, sobota,

Estoński szachista Paul Keres (1916-75) jest czczony w swoim kraju – zwłaszcza po odzyskaniu niepodległości w 1991 roku – niemal jak bohater narodowy. Pomniki, wizerunki na banknotach, monetach, znaczkach pocztowych, nazwy ulic, placów, nawet dzielnica miasta, a wreszcie tytuł najlepszego estońskiego sportowca XX wieku. Nikomu nie przeszkadza, że Keres był traktowany przez niemieckich okupantów jak swój (uczestniczył w turniejach w III Rzeszy podczas wojny i udzielał lekcji żołnierzom Wehrmachtu), a później mimo antyradzieckiego nastawienia zdecydował się reprezentować ZSRR. Wprawdzie nie został mistrzem świata, ale był przez ponad 20 lat głównym pretendentem („wiecznie drugim”) i miał „na rozkładzie” dziewięciu mistrzów świata, współczesnych mu oraz byłych i przyszłych – od Capablanki po Fischera – z którymi zdarzyło mu się rywalizować w turniejach. Ceniony jest i podziwiany głównie za zróżnicowany, nieszablonowy styl gry, a także za mistrzostwo w grze końcowej.
Szachy rzadko goszczą w Łamiblogu. Zwykle w postaci prostych dwu- lub trzychodówek. Tym razem postanowiłem zaryzykować i zaproponować rozegranie końcówki partii, która miała miejsce na turnieju w Leningradzie w 1939 roku. Białymi grał przyszły rosyjski arcymistrz Aleksander Tołusz, czarnymi Keres. W sytuacji przedstawionej na diagramie białe grożą matem Hc7-g7X, ale ruch przypada na czarne.

Jak zagrał Keres, jeśli po odpowiedzi białych i następnym posunięciu Keresa białe poddały się?

18.01.2020
sobota

Raz, dwa, trzy

18 stycznia 2020, sobota,

Układamy łamigłówkę małego formatu: w trzech polach diagramu 3×3 należy rozmieścić cyfry 1, 2 i 3 tak, aby łamigłówka miała jedno rozwiązanie. Na ile sposobów można to zrobić, czyli ile różnych łamigłówek można utworzyć (z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych)?
Wypadałoby jeszcze podać, jaka łamigłówka jest na tapecie, czyli wyłożyć, a właściwie przypomnieć jej zasady. Otóż chodzi o macki (https://penszko.blog.polityka.pl/2011/03/11/moc-macek/ – proszę tu zerknąć, gdyby zechcieli Państwo pobawić się w rozwiązywanie układania).
Gwoli jasności poniżej dwa kontrprzykłady: w pierwszym cyfry rozmieszczone są tak, że rozwiązania nie ma, w drugim – rozwiązania są dwa.

11.01.2020
sobota

Jeszcze rok

11 stycznia 2020, sobota,

Jakoś ciężko mi się rozstać z nowym rokiem, a ściślej – z przypisaną mu liczbą. Była w dwu poprzednich wpisach i poniżej pojawia się po raz trzeci, chyba ostatni. I chyba nie muszę wyjaśniać, o co w poniższej „wyliczance” chodzi. Jakiego konia należy dosiąść, każdy widzi. A główny problem polega na tym, ile jest sposobów dosiadu, czyli ile rozwiązań ma to szkieletowe dzielenie.

Jest jeszcze jeden problem – językowy. Ten sam bieżący rok jest w trzech kolejnych zadaniach. Czy w liczbie mnogiej mógłbym powiedzieć, że w tych zadaniach były trzy ROKI? Wątpliwość stąd, że jeśli są LATA, to oznaczają trzy RÓŻNE lata, a tu mamy przypadek szczególny: rok, rok i rok – i wszystkie jednakowe. Trudno wyobrazić sobie inną sytuację, w której grupę tworzyłoby kilka jednakowych lat. Może więc wyjątek, a właściwie odstępstwo od poprawności byłoby uzasadnione.

4.01.2020
sobota

Magnetycznie

4 stycznia 2020, sobota,

Magnesy to bez wątpienia jeden z najciekawszych, bo z natury „zakręconych” rodzajów łamigłówek diagramowych. Debiutowały na X Mistrzostwach Świata w Brnie w 2001 roku. Autor pomysłu, Jaroslav Müller, ma do dziś w Czechach opinię „króla łamigłówek logicznych” (odszedł w tym samym roku, nie doczekawszy Mistrzostw). Koneserzy cenią magnesy za „gęstą”, zróżnicowaną logikę, choć oczywiście ich rozwiązywanie, jak zresztą wszystkich zadań podobnego typu, nie jest wolne od schematów. Nawet te małego formatu mogą solidnie rozgrzać szare komórki. Poniższe, choć małe, jest jednak raczej orzeszkiem niewielkiej twardości.
Niektóre z niebieskawych prostokątów 1×2, tworzących kwadrat 6×6, są magnesami. Na połówkach każdego magnesu należy oznaczyć symbole biegunów – plus i minus, a prostokąty, które nie są magnesami – przekreślić. Kluczem do rozwiązania są liczby obok diagramu. Każda wskazuje, ile znaków (+) lub (–) znajduje się w danym wierszu lub kolumnie. Brak liczby jest tylko brakiem informacji. Ponadto należy pamietać o istotnej własności magnesów: jednoimienne bieguny (połówki prostokątów z takim samym znakiem) nie mogą stykać się bokami.

W rozwiązaniu wystarczy podać, ile plusów i minusów lokuje się na przekątnych diagramu.

28.12.2019
sobota

Trzy po trzy – reaktywacja

28 grudnia 2019, sobota,

Rodzaj zadania, który nazywam „trzy po trzy”, kojarzy mi się z zamierzchłymi czasami, gdy w latach 70. minionego wieku raczkowałem jako główkołamacz i student, redagując w dzienniku Sztandar Młodych dwie rubryczki – jedną z rozrywkami matematycznymi, drugą ze słowno-literowymi. Wówczas „trzy po trzy” pojawiało się od czasu do czasu jako swego rodzaju „klasyka” na tych i innych łamach przy różnych okazjach, nierzadko inspirując programistów, którzy przysyłali wstęgi wydruków z rozwiązaniami, gdy chodziło o skonstruowanie układu sześciu krzyżujących się działań z dziewięciu cyfr, spełniających określone warunki. Próbowałem kiedyś ustalić, kto pierwszy wpadł na pomysł takiej 9-cyfrowej „krzyżówki”, ale bezskutecznie. Dobrym pretekstem do odkurzenia tego zadania jest przełom roku. W Łamiblogu już tak się zdarzyło przed 11 laty. Pora na przełomową reaktywację.

W puste kratki należy wpisać dziewięć różnych cyfr – wszystkie oprócz zera – tak, aby równości w trzech wierszach i trzech kolumnach były poprawne. Zwykle dodaje się, że działania w każdym rzędzie należy wykonywać kolejno, czyli bez uwzględniania pierwszeństwa mnożenia i dzielenia, ale tym razem nie jest to konieczne; bez pierwszeństwa czy z pierwszeństwem – na jedno wychodzi (to jakby podpowiedź).

21.12.2019
sobota

8 out

21 grudnia 2019, sobota,

W dziewięciu jasnozielonych małych choinkowych trójkątach zawisło dziewięć różnych cyfr – wszystkie oprócz ósemki.

Sumy liczb w każdym kwartecie tych trójkątów przy brzegach choinki są różne (12, 14 i 18). A powinny być jednakowe. W tym celu należy przewiesić jak najmniej cyfr. Ile co najmniej i które? Niewykluczone, drogie dziatki, że można to zrobić na więcej niż jeden sposób.

14.12.2019
sobota

Łaciński porządek

14 grudnia 2019, sobota,

Przed kilkunastu laty tureccy autorzy zadań diagramowych nieco inaczej niż zwykle potraktowali kwadrat łaciński. W rezultacie pojawił się nowy, dość oryginalny, choć niezbyt kuszący rodzaj łamigłówki, który zagościł kilkakrotnie tu i ówdzie po czym trafił do lamusa. Zasługuje na odkurzenie właśnie ze względu na ową łacińską nietypowość.
Gwoli przypomnienia: kwadrat łaciński to n^2 kratek (n×n), w które wpisane są cyfry od 1 do n tak, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest n różnych cyfr (dla n=9 kłania się sudoku).
Różnych kwadratów łacińskich czwartego rzędu (4×4) jest 576. Jeśli jednak uznać za jednakowe te, które są wzajemnie przekształcalne w wyniku operacji nie burzących łacińskości (obroty, odbicia, zamiana miejscami wierszy lub kolumn oraz zamiana miejscami wszystkich cyfr a z cyframi b), to okaże się, że liczba 576 zmaleje do… 4 (słownie: czterech). To jednak informacja poboczna, mało istotna dla reaktywowanego zadania. Tym, co ważniejsze, jest inne traktowanie cyfr wpisanych w kwadrat. Otóż każdy wiersz i każdą kolumnę cyfr traktujemy łącznie jako n-cyfrową liczbę. Powiem więcej: traktujemy jako dwie n-cyfrowe liczby – jedną czytaną wprost (w rzędzie od lewej do prawej, w kolumnie z góry na dół), drugą wspak (w rzędzie od prawej do lewej, w kolumnie z dołu do góry). Zatem poniższy kwadrat 4×4 zawiera 16 4-cyfrowych liczb. Wszystkie wypisane są pod kwadratem w kolejności rosnącej.

Liczby te – i tu zaczyna się clou łamigłówki – są także wskazane strzałkami obok kwadratu, a każda strzałka zawiera numer, oznaczający kolejność liczby 4-cyfrowej na liście obecności (według „wzrostu”). Teraz wystarczyłoby usunąć wszystkie liczby z kwadratu (i oczywiście spod kwadratu) oraz większość strzałek z numerkami – i łamigłówka gotowa. Mogłaby wyglądać np. tak:

W zadaniu chodzi oczywiście o rekonstrukcję kwadratu łacińskiego, w którym wskazane są numery, oznaczające pozycje kilku z 4n liczb ustawionych w kolejności rosnącej; wszystkie te 4n liczby są różne.
W poniższym zadaniu domowym kwadrat jest większy, a numerków przy brzegu tylko pięć. Obawiam się, że dla wielu osób będzie to orzech ekstremalnie twardy do zgryzienia, a nawet do nadgryzienia, bo typowa pierwsza reakcja po zapoznaniu się z tym zadaniem sprowadza się do stwierdzenia: „kompletnie nie wiem, jak się do tego zabrać”. Jako rozwiązanie końcowe wystarczy podać sumę liczb na obu przekątnych.

7.12.2019
sobota

Cc kwadrat

7 grudnia 2019, sobota,

W każdym z 9 pól szarego kwadratu 3×3 należy umieścić, jak w witrażu, czerwoną lub czarną szklaną płytkę. Ile różnych czerwono-czarnych wzorów uda się w ten sposób utworzyć w kwadracie w dwu przypadkach:

  1. gdy dwa wzory uważamy za identyczne, jeżeli w wyniku obrotu jednego powstaje drugi?
  2. gdy dwa wzory uważamy za identyczne, jeżeli w wyniku obrotu i/lub odbicia lustrzanego jednego powstaje drugi?

css.php