Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

21.03.2019
czwartek

Tercet razy-plus

21 marca 2019, czwartek,

Z trzech kamieni domina, oczywiście odpowiednio dobranych, można utworzyć mnożenie, np. 32×5=160, czyli w wersji z oczkami wygląda to tak:

Gwoli ścisłości: wybieramy z kompletu klasycznego domina, zwanego szóstkowym, w którym liczby oczek na połówkach kamieni obejmują zakres jak na kostce do gry, czyli od 0 do 6.
Z trzech kamieni można też utworzyć dodawanie, np. 36+15=51, czyli:

W obu powyższych przykładach żaden kamień nie powtarza się.
Czy może być tak, że z tych samych trzech kamieni da się ułożyć zarówno mnożenie, jak i dodawanie? Jest to możliwe, jeśli skorzystamy np. z poniższego tercetu, w którym ujawnione są dwa kamienie – 1-2 i 4-5. Jaki jest ten trzeci?

Liczby zaczynające się zerem, czyli w przypadku domina pustą połówką zwaną „mydłem” – wykluczamy.

14.03.2019
czwartek

Rok mianownik

14 marca 2019, czwartek,

Ułamek jednostkowy to taki, który ma jedynkę w liczniku. Ułamek jednostkowy może być „rokowy”, jeśli w jego mianowniku występuje rok. Takiego ułamka dotyczy zadanie, polegające na przedstawieniu go w postaci sumy i/lub różnicy kilku ułamków. Jest jednak dodatkowy warunek: suma wszystkich liczb występujących w zapisie, czyli wszystkich liczników i mianowników, powinna być jak najmniejsza.
W przypadku bieżącego roku zadanie wydaje się proste, bo 2019 ma tylko dwa dzielniki nietrywialne – 3 i 673, więc kombinowania i liczenia jest niewiele, a efekt końcowy stanowi działanie 449/673–2/3 z sumą liczb 1127.
Proponuję wybiec w najbliższą przyszłość i znaleźć rozwiązanie dla roku 2020. Teraz dzielników jest więcej, zatem zadanie wymaga nieco więcej główkowania.

7.03.2019
czwartek

Zgryz bis

7 marca 2019, czwartek,

Zgryz z poprzedniego wpisu został zaskakująco szybko rozgryziony i – jak to zwykle bywa – po rozszyfrowaniu wydaje się dziwne, że stawiał opór. Zamiast ujawnionej instrukcji postanowiłem przedstawić schemat powstawania łamigłówki. Tak będzie nieco rozwlekle, ale chyba przejrzyście i ciekawiej.

W diagramie 7×7 wybieramy dwa pola – S (start) i M (meta); wybór nie jest przypadkowy, ale określenie warunku, jaki musi spełniać, to łatwa zagadka. Pola te łączymy linią łamaną złożoną z odcinków równoległych do boków diagramu i przechodzącą przez środki wszystkich kratek – przez każdy dokładnie raz (z tego wynika, że łamana nie przecina samej siebie). Następnie dzielimy diagram na siedem działek – każda obejmuje 7 kratek – i numerujemy puste kratki w prawie każdej działce liczbami od 1 do 7 (w działce z S od 2 do 7, w działce z M sześć pól pozostaje pustych) w takiej kolejności, w jakiej są one „nawiedzane” przez łamaną. W końcu usuwamy łamaną i większość cyfr tak, aby w każdej działce (oprócz tej z M) pozostała jedna – inna z cyfr od 1 do 6. I mamy gotową łamigłówkę, w której na podstawie pozostawionych sześciu cyfr i pary liter należy odtworzyć przebieg łamanej.

W tytule wpisu pozostał zgryz, bo wydaje mi się, że poniższe zadanie jest dość twardym orzechem.

Proszę się jednak nie załamywać, a w rozwiązaniu podać chociaż liczbę załamań… łamanej.

28.02.2019
czwartek

Zgryz

28 lutego 2019, czwartek,

Jak poprzednia łamigłówka była dość łatwa, tak poniższa jest nietypowym i twardym orzechem dla wybrańców. Niby takie zagadki, zwane indukcyjnymi, goszczą od czasu do czasu w Łamiblogu, ale tym razem okoliczności są szczególne.
Od tygodnia gapię się, a raczej pogapuję jak sroka w gnat na zadanie, które wygrzebałem w starych szpargałach. Pochodzi z jakiegoś japońskiego turnieju dla główkołamaczy z przełomu wieków. Dał mi je przed blisko 20 laty Tetsuya Nishio, z którym miałem wówczas bliski kontakt. Może nawet kiedyś wiedziałem, o co w tym chodzi, ale teraz jestem bezradny. Kombinuję na różne sposoby i nic. Mam oczywiście rozwiązanie i opis – krótki, dwupunktowy, ale japoński, w dodatku pełen znaków kanji, z którymi niełatwo sobie poradzić. Diagram wygląda nawet dość swojsko – poniżej zadanie plus rozwiązanie:

Czy komuś uda się rozszyfrować instrukcję obsługi? Chodzi oczywiście o drugi punkt, bo pierwszy jaki jest, każdy widzi: linia łamana powinna biec od S (sutāto, czyli start) do G (gōru, czyli cel, meta) przez wszystkie pola – przez każde tylko raz.

21.02.2019
czwartek

Powiedzmy kujon

21 lutego 2019, czwartek,

14 lat temu eksplodowało sudoku. Od tego czasu pojawiły się krocie odmian i wariacji na temat tej łamigłówki. Nie mam pewności, które z nich gościły w Łamiblogu, bo trudno pamiętać ponad tysiąc wpisów (zwłaszcza, że pamiątka już nie ta), ale kujona na pewno nie było, więc czas na spóźniony debiut. Właściwie kujon nazywa się kojun i ma japoński rodowód, ale nazwa jest nieprzetłumaczalna i sama mi się zabawnie przekręca, więc tymczasowo pozostanę przy kujonie.
Kujon należy do zadań, które różnią się od sudoku rozparcelowaniem diagramu na działki niejednakowej wielkości. W sudoku wszystkie działki są 9-kratkowe, a w rodzinie, do której należy kujon, takiego rygoru nie ma. Działkę może tworzyć jedna kratka, dwie, trzy itd. Pozostaje jednak zasada, że w N kratkach tworzących daną działkę powinno się znaleźć N różnych cyfr – od 1 do N. Teraz trzeba dodać jakieś warunki, aby przy rozwiązywaniu wypadało pogłówkować oraz by droga do jednoznacznego rozwiązania była możliwa, optymalnie wyboista i przyjemna. Autor kujona wykoncypował następująco:
1. w kratkach stykających się bokiem muszą być różne cyfry (to raczej typowe).
2. jeśli dwie kratki w tej samej działce sąsiadują w kolumnie, to w tej, która jest wyżej, powinna znaleźć się większa cyfra (to dość oryginalne).
Niemal trywialny przykład z rozwiązaniem wygląda tak:

A to zadanie domowe:

W różowych polach powinny znaleźć się cyfry parzyste, w niebieskich – nieparzyste.
W rozwiązaniu wystarczy podać sumę 20 cyfr na przekątnych diagramu.

14.02.2019
czwartek

Łańcuch kamienny

14 lutego 2019, czwartek,

Tradycyjny sposób gry w domino polega na tworzeniu łańcucha, w którym kamienie stykają się ze sobą połówkami z taką samą liczbą oczek. Zapewne nie tylko osoby, które grywają w domino, wiedzą, że jeśli partia zakończy się remisem, czyli powstanie łańcuch ze wszystkich 28 kamieni, to na jego końcach będą połówki z jednakową liczby oczek. Inaczej mówiąc, z wszystkich kamieni można ułożyć zgodnie z regułami gry obwód zamknięty.

Modyfikujemy podstawową zasadę sąsiedztwa: kamienie dokładamy do siebie tak, aby liczby oczek na stykających się połówkach zawsze różniły się o 1. Czy teraz ułożenie zamkniętego łańcucha z wszystkich kamieni domina będzie możliwe? Odpowiedź wypada oczywiście krótko uzasadnić.

7.02.2019
czwartek

Odmieńce

7 lutego 2019, czwartek,

Początek miesiąca owocuje czasem zadaniem z ubiegłomiesięcznego konkursu w „Świecie Nauki”. Zwłaszcza gdy zadanie jest kontrowersyjne, a tak właśnie zdarzyło się w styczniu. Część rozwiązujących doszła bowiem do wniosku, że poniższa łamigłówka ma dwa rozwiązania, a sądząc z liczby różnych nadesłanych rozwiązań – nawet trzy. Czy rzeczywiście?

Zadanie jest nieregularnym sudoku 6×6 – w dodatku dubeltowym z parą odmieńców. W puste kratki każdego diagramu należy wpisać cyfry od 1 do 6 tak, aby w każdym wierszu, w każdej kolumnie oraz w każdej działce (heksominie) znalazło się sześć różnych cyfr. Ponadto w polach położonych w tym samym miejscu w obu diagramach powinny występować różne cyfry. A zasadnicze pytanie jest następujące: jaka cyfra powinna znaleźć się w różowym polu, aby było dokładnie jedno rozwiązanie?

31.01.2019
czwartek

Mnożenie z oczkami

31 stycznia 2019, czwartek,

Jak już kiedyś wspomniałem, jestem „chory” na domino (między innymi), a ściślej – na zadania z dominem w roli głównej. Poniższa łamigłówka jest przejawem tej przypadłości. O co w niej chodzi – każdy widzi: z dziewięciu kamieni należy ułożyć słupkowy zapis mnożenia, którego sylweta majaczy między kamieniami, czyli parami cyfr. Uprzedzam, że zadanie jest dość żmudne, choć do ruszenia wyłącznie na logikę. Jego ewentualną zaletę stanowi połączenie kombinacji liczbowych z niewielkim udziałem geometrycznych.

24.01.2019
czwartek

Efemeryda

24 stycznia 2019, czwartek,

Anatomia dzisiejszej łamigłówki sprzyja temu, aby przedstawić ją w formie indugadki, czyli zagadki indukcyjnej typu „dwa w jednym”. Zatem najpierw przykład z rozwiązaniem:

Z przykładu – to po pierwsze – należy odgadnąć (wywnioskować), jakie są zasady zabawy, a następnie – to po drugie – spróbować zastosować owe zasady w celu rozwiązania poniższej łamigłówki.

Podstawowe zasady są dwie – jedna łatwa do zauważenia, druga dość oryginalna, więc trudniej ją wykryć. W rozwiązaniu wystarczy podać sumę liczb na przekątnych. Nie zaszkodzi też pochwalić się rozszyfrowaną instrukcją obsługi.
Łamigłówka jest japońską efemerydą, która pojawiła się przed dekadą i żywot miała krótki, choć sporadycznie powraca.

17.01.2019
czwartek

Co za rok!

17 stycznia 2019, czwartek,

Jakoś nie mogę się rozstać z tegoroczną liczbą. Tym razem występuje ona w roli przykładu i pojawia się za sprawą Andrzeja111, który podał link do I etapu XVI Mistrzostw Polski w Grach Matematycznych i Logicznych, zwracając uwagę na zadania, w których gości 2019. Oto jedno z nich, trzecie od końca, czyli teoretycznie bliskie twardszym orzechom.

16. Konkatenacja
Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeżeli zapisze się kolejno cyfry tych liczb na oba możliwe sposoby : 3673 i 6733, otrzyma się znów dwie liczby pierwsze. Jaka jest najmniejsza liczba całkowita dodatnia, będąca iloczynem trzech (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych, taka, że wszystkie liczby powstałe z zapisania kolejno cyfr tych trzech czynników są pierwsze? Przypominamy, ze liczba pierwsza to taka, która ma dokładnie dwa dzielniki całkowite dodatnie.

Tekst zadania, tłumaczony z francuskiego, jest, łagodnie mówiąc, niezbyt precyzyjny, choć nietrudno się zorientować o co chodzi. Pozwolę sobie jednak zaproponować własne tłumaczenie.

Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeżeli połączymy te dwa czynniki na dwa możliwe sposoby (takie połączenie nazywamy konkatenacją), otrzymamy dwie liczby pierwsze: 3673 i 6733. Jaka jest najmniejsza liczba, będąca iloczynem takich trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których wszystkie możliwe konkatenacje także są liczbami pierwszymi?

Można też sformułować znacznie bardziej treściwą wersję.

Znajdź najmniejszy iloczyn trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których wszystkie konkatenacje są liczbami pierwszymi.

W takiej postaci łatwe zadanie staje się jeszcze prostsze, ale ponieważ termin zakończenia pierwszego etapu Mistrzostw upływa 20 stycznia, więc nie będę rozwijał tematu. Korci mnie tylko, aby dodać, że rozwiązanie można bez większego trudu znaleźć w sieci na odpowiedniej stronie. Na tejże domyślnej stronie ukryte jest rozwiązanie poniższego bliźniaczego zadania.

Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeśli dodamy do siebie te dwa czynniki otrzymamy kwadrat – 676=26^2. Jaka jest najbliższa 2019 (mniejsza lub większa) liczba, będąca iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których suma jest kwadratem?

Przy okazji: rok wyrażony liczbą, będącą iloczynem trzech liczb pierwszych, których suma jest kwadratem, był całkiem niedawno – łatwo więc do niego dotrzeć.

css.php