Łaciński porządek

14 grudnia 2019
Marek Penszko

Przed kilkunastu laty tureccy autorzy zadań diagramowych nieco inaczej niż zwykle potraktowali kwadrat łaciński. W rezultacie pojawił się nowy, dość oryginalny, choć niezbyt kuszący rodzaj łamigłówki, który zagościł kilkakrotnie tu i ówdzie po czym trafił do lamusa. Zasługuje na odkurzenie właśnie ze względu na ową łacińską nietypowość.
Gwoli przypomnienia: kwadrat łaciński to n^2 kratek (n×n), w które wpisane są cyfry od 1 do n tak, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest n różnych cyfr (dla n=9 kłania się sudoku).
Różnych kwadratów łacińskich czwartego rzędu (4×4) jest 576. Jeśli jednak uznać za jednakowe te, które są wzajemnie przekształcalne w wyniku operacji nie burzących łacińskości (obroty, odbicia, zamiana miejscami wierszy lub kolumn oraz zamiana miejscami wszystkich cyfr a z cyframi b), to okaże się, że liczba 576 zmaleje do… 4 (słownie: czterech). To jednak informacja poboczna, mało istotna dla reaktywowanego zadania. Tym, co ważniejsze, jest inne traktowanie cyfr wpisanych w kwadrat. Otóż każdy wiersz i każdą kolumnę cyfr traktujemy łącznie jako n-cyfrową liczbę. Powiem więcej: traktujemy jako dwie n-cyfrowe liczby – jedną czytaną wprost (w rzędzie od lewej do prawej, w kolumnie z góry na dół), drugą wspak (w rzędzie od prawej do lewej, w kolumnie z dołu do góry). Zatem poniższy kwadrat 4×4 zawiera 16 4-cyfrowych liczb. Wszystkie wypisane są pod kwadratem w kolejności rosnącej.

Liczby te – i tu zaczyna się clou łamigłówki – są także wskazane strzałkami obok kwadratu, a każda strzałka zawiera numer, oznaczający kolejność liczby 4-cyfrowej na liście obecności (według „wzrostu”). Teraz wystarczyłoby usunąć wszystkie liczby z kwadratu (i oczywiście spod kwadratu) oraz większość strzałek z numerkami – i łamigłówka gotowa. Mogłaby wyglądać np. tak:

W zadaniu chodzi oczywiście o rekonstrukcję kwadratu łacińskiego, w którym wskazane są numery, oznaczające pozycje kilku z 4n liczb ustawionych w kolejności rosnącej; wszystkie te 4n liczby są różne.
W poniższym zadaniu domowym kwadrat jest większy, a numerków przy brzegu tylko pięć. Obawiam się, że dla wielu osób będzie to orzech ekstremalnie twardy do zgryzienia, a nawet do nadgryzienia, bo typowa pierwsza reakcja po zapoznaniu się z tym zadaniem sprowadza się do stwierdzenia: „kompletnie nie wiem, jak się do tego zabrać”. Jako rozwiązanie końcowe wystarczy podać sumę liczb na obu przekątnych.