U Sowy

– Napisz jakąś cyfrę – powiedziała Sowa P.
– Ale po co? – zapytał Puchatek.
– Napisz, a ja natychmiast dopiszę do niej drugą cyfrę – taką, że powstanie liczba dwucyfrowa podzielna przez 9.
Puchatek napisał, Sowa dopisała i wszystko się zgadzało.
Puchatek nie był zdziwiony: – Eee, to bardzo łatwa sztuczka, nawet dla mojego małego rozumku – mruknął od niechcenia.
– W takim razie napisz jakąś liczbę dwucyfrową, a ja od razu dopiszę do niej dwie takie cyfry, że powstanie liczba 4-cyfrowa podzielna przez 15.
– Wydaje mi się, że to też jest proste – rzekł Puchatek. – Nawet mi się nie chce pisać. Wymyśl coś trudniejszego.
Sowa milczała dłuższą chwilę i gdy Puchatek przypomniał sobie o swoim małym Coniecu, więc postanowił się pożegnać i był już jedną nogą na zewnątrz, zawołała:
– Mam… napisz dowolną liczbę trzycyfrową, a ja po kilku, no, może po kilkunastu sekundach dopiszę do niej drugą liczbę trzycyfrową taką, że powstanie liczba sześciocyfrowa podzielna przez 37.
– O, to wydaje mi się interesujące – stwierdził Puchatek. Cofnął nogę i napisał liczbę, a Sowa szybko dopisała swoją, po czym oboje wystukali w kalkulatorze dzielenie sześciocyfrowej konkatenacji przez 37. Wszystko się zgadzało – wynik był liczbą całkowitą.
Teraz Puchatek próbuje rozszyfrować sekret sztuczki liczbowej Sowy P. Kto mu pomoże, jeśli wiadomo, że Sowa, tworząc dopisywaną liczbę, nie wykonuje dzielenia przez 37?

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.

Komentarze

[OlaGM]

Ale fajne zadanie! W sam raz na sobotni poranny rozruch. Sowa odejmowała napisaną przez Puchatka liczbę od 999 i dostawiała tę różnicę.

[bubka111]

Jeśli x to liczba Puchatka to dopisz z prawej strony 999-x, jeśli 999-x jest trzycyfrową. Wpp. dopisz 999-x+111: żeby było że dopisujemy istotnie trzycyfrową, można zerami uzupełnić z lewej.

[lukasz_m]

Wystarczy do danej liczby dopisać taką, która powstaje przez dopełnienie każdej z cyfr do 9, czyli np. do 347 dopiszemy 652. Innymi słowy, do początkowej liczby X dopisujemy liczbę 999-X. Otrzymana liczba 6-cyfrowa ma wówczas postać 1000X+(999-X), czyli 999(X+1), a liczba 999 jest podzielna przez 37.

[OlaGM]

Wyżej napisany przeze mnie sposób nie zadziała, gdy Puchatek poda liczbę większą od 900. Zatem coś bardziej uniwersalnego. Każdą z cyfr dopełniamy do 10, np. gdy mamy 136, dostawiamy 974. Wówczas suma tych dwóch 3-cyfrowych liczb wynosi 1110.
1110 jest podzielne przez 37, zatem i cała liczba jest.

[Antyp1958]

1. Liczba jest podzielna przez 37 jeżeli suma jej odcinków trzycyfrowych od prawej strony jest podzielna przez 37. (cecha podzielnośći przez 37)
2. 3*37=111

Przykład
a) Mam liczbę 534
Muszę znależć 3-cyfrową liczbę, która dopisana do 534 da liczbę podzielną przez 37.
555-534=021
534021
b) Mam wpisaną liczbę 576
576-555=21
37-21=16 (dopełnienie do 37)
576016
Przez dodanie krotności 37 do każdej z tych liczb otrzymujemy kolejne rozwiązania

[Spytko z Melsztyna]

Dla liczb z przedziału P=[100, 899] działa następująca sztuczka.
Dla każdej liczby x należącej do P można znaleźć trzycyfrową liczbę y taką, że x+y ma wszystkie cyfry jednakowe.
Taka suma dzieli się przez 111=3*37. Okazuje się że liczba x*1000+y też dzieli się przez 111. (Dla liczb większych od 899 dopisywana liczba y nie jest trzycyfrowa) Najłatwiej liczbę y poszukiwać jako dopełnienie do 999.
Pokażmy,że trick działa. Mamy liczbę x. Bierzemy y=999-x.
x*1000+y=x*1000+999-x=999*x+999=999*(x+1)

[ejsj]

Jeśli Puchatek napisze liczbę składającą się z cyfr xyz, to Sowa P. może dopisać abc spełniające warunki: x+a=y+b=z+c. Wynika to z faktu, że 37*3 = 111.

[uch_ty]

Na przykład Kubuś napisał, a Sowa mogła dopisać.
102 342
357 420
684 315
998 112

[kobert]

Najprościej chyba tak: do liczby abc należy dopisać kolejno cyfry 9-a, 9-b, 9-c.
Alternatywnie, nadal prosto obliczeniowo, można wyznaczyć d=max(a,b,c) i dopisywać cyfry d-a, d-b, d-c.
Bieglejsi pamięciowo i obliczeniowo mogą wziąć dowolną trzycyfrową wielokrotność 37 nie mniejszą niż liczba abc, odjąć od niej abc i dopisać wynik.

Wszystko to dlatego, że 111 (więc i 999) jest wielokrotnością 37 zatem w kolejnych tysiącach trzycyfrowe końcówki prawie się powtarzają (z niedoborem 1).

[aps1968]

Piszemy liczbę, na przykład 234, i dopisujemy dopełnienie do niej, skonstruowane tak oto: bierzemy liczbę jednocyfrową, na przykład 9, i odejmujemy kolejno 2, 3 i 4, dopisując 7, 6, 5, mamy liczbę 234765 podzielną przez 111, a więc i 37 (111=3*37). Nie musi być 9, na przykład 8 daje 234654, należy tylko uważać, gdy odjemnik staje się większy od odjemnej, no to 9 zawsze pasuje. Znalazłem stronę z cechami podzielności między innymi przez 111:
https://sp391.edu.pl/matematyka/zawartosc/szybkie_liczenie/podzielnosc.html
„Liczba jest podzielna przez 111 jeżeli suma jej odcinków trzycyfrowych (licząc od prawej strony) jest podzielna przez 111”.
I podobnie dla 37, no ale dla 111 zagadnienie jest przejrzystsze.
Co do podzielności przez 15, to oczywiście dopisujemy liczbę kończącą się na 0 lub 5 i tak, żeby suma cyfr była podzielna przez 3, np. 3735, 7920, itp.