Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

8.08.2018
środa

Pierwsze gorsze

8 sierpnia 2018, środa,

Zbiór liczb {1, 3, 7, 9} ma następującą własność: suma każdych trzech liczb z tego zbioru jest liczbą pierwszą. W dodatku te cztery sumy są kolejnymi liczbami pierwszymi (ale to nie jest istotne):
1+3+7=11
1+3+9=13
1+7+9=17
3+7+9=19
Zbiorów czterech różnych liczb całkowitych dodatnich o takiej własności można znaleźć sporo, np. {11, 13, 17, 43}, {7, 13, 23, 53}, {13, 47, 53, 97}. Łatwo zauważyć, że żaden nie może zawierać liczby parzystej oraz że do każdego „pchają się” liczby pierwsze.
W podanym na początku zbiorze liczb jednocyfrowych jest jedna liczba złożona (9). Znam także takie zbiory z dwiema liczbami złożonymi, np. {13, 19, 21, 27} lub {31, 33, 37, 39}. Czy liczb złożonych może być w zbiorze więcej niż dwie? A czy nieparzystymi złożonymi mogą być wszystkie cztery? A jeżeli nie jest to możliwe, to czy ktoś pokusi się o dowód?

1.08.2018
środa

Strzałkomino bis

1 sierpnia 2018, środa,

Zagadka indukcyjna z poprzedniego wpisu była bardzo trudna, więc powinienem napisać, że jedna osoba (kobert – gratulacje!) ją rozwiązała, czyli rozszyfrowała główną regułę zadania.
Całość instrukcji obsługi strzałkomina brzmi zatem tak:
Na diagramie rozmieszczono pewną liczbę kamieni domina strzałkowego. Każdy zakrywa parę pól, lecz kamienie nigdzie nie stykają się bokami (rogami mogą). Wszystkich różnych kamieni jest sześć – jak na rysunku poniżej (na żadnym strzałka nie wskazuje na strzałkę) – ale wśród ulokowanych na diagramie każdy może występować więcej niż raz lub wcale.

Granice kamieni oraz niektóre strzałki usunięto z diagramu. Mogło być nawet tak, że znikły całe kamienie. Na podstawie pozostawionych fragmentów należy odtworzyć położenie i rodzaje wszystkich kamieni, a podstawowym kluczem do rozwiązania jest następująca informacja:
z trzech możliwych zwrotów każdej strzałki właściwy jest ten, przy którym strzałka wskazuje na najdłuższy ciągły rząd pustych pól.
Gwoli jasności prosty przykład z rozwiązaniem znajduje się w poprzednim wpisie, zaś poniżej propozycja zadania trudniejszego niż poprzednio, ale oczywiście łatwiejszego niż ubiegłotygodniowa zagadka indukcyjna.

W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę strzałek wskazujących w każdym kierunku (N, E, S, W).

PS 14:06 – poprawiony diagram (strzałka w lewym górnym rogu skierowana w dół)

25.07.2018
środa

Strzałkomino

25 lipca 2018, środa,

Łamigłówkarze związani z japońskim wydawnictwem Nikoli lansują łamigłówkę kojarzącą się z dominem. Ponieważ na domino jestem chory od dziecka (byłem nim molestowany przez babcię 🙂 ), więc nie omieszkałem zainteresować się bliżej ową nowością. Aby poznać, o co w niej chodzi, musiałem przebrnąć przez japońskie pisanki, co nie było łatwe, bo zadania do sieci jeszcze nie trafiły, więc aby skorzystać z internetowego tłumacza składałem tekst „literka po literce”. W przypadku pism sylabicznych hiragany i katakany to pół biedy, ale szukanie odpowiednich znaków kanji to dla początkującego „japonisty” żmudna dłubanina i loteria. Poza tym efekty googlowych tłumaczeń w przypadku egzotycznych języków są mocno enigmatyczne. W końcu jednak udało się. Postanowiłem teraz podobną, a nawet nieco trudniejszą zabawę zaproponować Państwu. Krótko mówiąc, będzie dodatkowy twardy orzech, a więc zagadka indukcyjna, czyli zadanie bez instrukcji – tylko przykład, z którego należy wywnioskować, jakie są reguły łamigłówki, a potem rozwiązać zadanie.
W japońskim opisie o dominie mowy nie ma, ale powiązanie jest wyraźne, więc od niego zacznę. Chodzi o nietypowe domino – z kamieniami, na połówkach których zamiast oczkowych liczb są strzałki skierowane w cztery strony świata. Różnych kamieni jest sześć, bo z dziesięciu możliwych kombinacji par strzałek odpadają te, na których strzałka wskazuje na strzałkę:

Dowolne kamienie układa się na diagramie – każdy na parze pól – a następnie usuwa ich granice oraz niektóre strzałki, a czasem nawet całe kamienie. Na podstawie tego, co zostało, należy odtworzyć rodzaje i położenie początkowe wszystkich kamieni.

Przykład:

Zadanie:

W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę strzałek wskazujących w każdym kierunku (w przykładzie N-3, E-4, S-2, W-3).

18.07.2018
środa

Dwa ruchy Nabokowa

18 lipca 2018, środa,

 

Władimir Nabokow miał kilka słabości. Najbardziej znanymi, obok predylekcji do młodych nastolatek (w kontekście literackim), były motyle i szachy. Dziewczęta i motyle to nie moja broszka, ale szachy niestety tak. Napisałem „niestety”, bo to szczególny rodzaj gimnastyki szarych komórek, który wielu amatorom łamania głowy nie leży. Ale trudno, od czasu do czasu będę do niego powracał w lekkiej formie, choćby po to, by konik z logo Łamiblogu był zadowolony.

Nabokow chętnie grywał w szachy, ale ze szczególnym upodobaniem układał zadania szachowe. Większość z nich powstała w latach 60. i była zamieszczana w angielskich gazetach i czasopismach (m. in. Sunday Times, Evening News, New Statesman). Kilkanaście znalazło się w wydanej w 1969 r. książce „Poems and Problems” – osobliwej, bo zawierającej obok diagramów 53 utwory poetyckie. Z tej publikacji pochodzi poniższa dwuchodówka.

Przypominam: zaczynają białe, potem ruch wykonują czarne, a następnie białe matują czarnego króla.
Rozwiązanie jest wielowariantowe, tzn. właściwy pierwszy ruch białych jest jeden jedyny, ale czarne mają kilka możliwych odpowiedzi. Po każdej z nich białe mogą wykonać matujące posunięcie. Wskazanie wszystkich wariantów to wyższa szkoła jazdy. Na ocenę dostateczną wystarczy zrobić jak należy pierwszy ruch.

A osobom, którym łamańce szachowe nie podejdą, proponuję szkolne zadanie domowe.

Zatelefonowała do mnie znajoma pani matematyk (wykładowczyni na wyższej uczelni) z prośbą o pomoc. Chodziło o rozwiązanie zadania, z którym zjawił się u niej wnuczek, uczeń trzeciej klasy podstawówki. Zadanie było niby szkolne, ale nie dopytałem, czy z podręcznika, czy podane przez nauczyciela. Szkopuł w tym, że miało formę Mensowej łamigłówki, a w takich przypadkach wyższa matematyka bywa bezradna. Podany jest ciąg liczb ustawionych zgodnie z pewną zasadą. Jednej liczby w nim brakuje – zastąpiona jest wielokropkiem. Należy uzupełnić ten brak, odkrywając oczywiście zasadę rządzącą ciągiem:

12, 7, 9, 10, 6, 13, …, 16, 0, 19

Uporałem się z tą łamigłówką dość szybko, ale tylko dzięki temu, że pamiętałem do kogo była pierwotnie adresowana. A ile czasu zajmie to Państwu?

PS Poprawiony diagram (dodany pion na h3) 19.07, 13:00

11.07.2018
środa

Po drugie

11 lipca 2018, środa,

Rzadko się zdarza, aby poniewczasie okazywało się, że zadanie – sprawdzone przed publikacją przez kilka osób, które zgodnie uznały, że jest tylko jedno konkretne rozwiązanie – ma w rzeczywistości dwa rozwiązania. „Poniewczasie”, czyli po publikacji – oczywiście dzięki czytelnikom, a ściślej rozwiązywaczom. Wyjątkowo bywa tak, że odkrywca drugiego rozwiązania jest jeden. Dwa przykłady – poniżej.

W ubiegłorocznym Omnibusie wakacyjnym znalazła się seria zadań Yin-yang. Polegają one na wpisaniu w kratki kółek i krzyżyków (niektóre już są na swoich miejscach) tak, by pola z kółkami tworzyły jeden spójny wielokąt i pola z krzyżykami także. Ponadto cztery takie same znaki nie mogą znaleźć się w czterech kratkach tworzących kwadrat 2×2.
Przykład:

Oto diagram zadania (najtrudniejszego z serii), oraz jego rozwiązanie (jakoby jedyne) podane w Omnibusie:
     
Tymczasem Pani Kamila Waloch znalazła drugie rozwiązanie. Jakie? Rozwiązanie to różni się od podanego wyżej innymi znakami w kilku polach. Czy komuś z Państwa uda się ustalić, w których polach nastąpi zmiana i poda współrzędne tych pól?

Drugie zadanie jest z zupełnie innej beczki. Chodzi o dwuwiersz-zagadkę z tegorocznego Omnibusa wakacyjnego, który ukazał się parę tygodni temu:

Uczeni _ _ _ _ _, że _ _ _ _ _ może
prowadzić często do groźnych schorzeń.

Zagadka polega na wpisaniu zamiast kresek dwu 5-literowych słów, z których jedno różni się od drugiego tylko brakiem znaku(ów) diakrytycznego(ych). Po tym uzupełnieniu tekst powinien być oczywiście sensowny i poprawny gramatycznie. Tytuł dwuwiersza („Coś z powietrza”) sugeruje rozwiązanie firmowe – SĄDZĄ – SADZA, ale gdyby tytuł ten pominąć, to pasowałoby także inne rozwiązanie zaproponowane przez Pana Michała Karwańskiego. Jakie?

4.07.2018
środa

Taki ciąg

4 lipca 2018, środa,

Oto początek ciągu utworzonego zgodnie z pewną zasadą:
1, 3, 7, 9, 31, 63, 139, 147, 157,…
Gdybym zapytał o następny wyraz i podanie zasady rządzącej tym ciągiem, zadanie byłoby wyjątkowo nieprzyjazne. Zasada jest bowiem tak nietypowa i zakręcona, że nawet podanie wielu kolejnych wyrazów nic by nie pomogło. Bezskuteczne jest także szukanie odpowiedzi w encyklopedii ciągów.
Na takiej samej zasadzie oparty jest ciąg zaczynający się od trzech:
3, 5, 9, 29, 33, 41, 207,…
Podpowiedzią w rozwikłaniu zagadki może być spostrzeżenie, że wszystkie liczby są nieparzyste, a także to, że choć trójka występuje w obu ciągach, to wyrazy za nią są w obu przypadkach inne. Jednak to niewiele pomaga.
Zasada jest następująca:
każdy następny wyraz jest najmniejszym z możliwych – takim, że każde cztery kolejne wyrazy tworzą taki zbiór liczb, że suma każdych trzech z nich jest liczbą pierwszą.
Na przykład, trzy sumy liczb ze zbioru {7, 9, 31, 63} równe są: 47 (7+9+31), 79 (7+9+63) i 103 (9+31+63).

A zadanie domowe jest następujące:
Proszę spróbować utworzyć początek ciągu (pięć wyrazów) o bliźniaczej własności, czyli:
każdy następny wyraz powinien być najmniejszym z możliwych – takim, że każde PIĘĆ kolejnych wyrazów powinno tworzyć taki zbiór liczb, aby suma każdych trzech z nich była liczbą pierwszą.

PS chodzi o ciąg rosnący (dopisane 04.07.2018 o 12.52)

27.06.2018
środa

Kamień na kamieniu

27 czerwca 2018, środa,

Japońska łamigłówka, której nazwę (stostoon) można przetłumaczyć jako kamień na kamieniu, pojawiła się niespełna 2 lata temu, ale nietrudno zauważyć, że zainspirowana została niemal klasyczną, bo prawie 35-letnią grą komputerową tetris.
Diagram podzielony jest na wielokątne działki. W każdej należy zaczernić jedną lub więcej kratek, tworzących jeden spójny obszar. Inaczej mówiąc, w każdej działce powinien pojawić się jakiś kamień polimina, czyli wielobok złożony z kwadratów. Kamienie nie mogą stykać się bokami (rogami mogą), a ich rozmieszczenie powinno być takie, aby po oznaczeniu wszystkich i opuszczeniu ich prostopadle w dół do oporu – podobnie jak opadają kamienie w tetrisie, ale bez przesuwania na boki i obracania – wypełniły one szczelnie dolną połowę diagramu.
W niektórych działkach znajdują się cyfry. Każda oznacza, ile kratek w danej działce trzeba zaczernić. Jeśli cyfry brak, liczba kratek do zaczernienia jest zagadką.
Poniżej znajduje się mały przykład, a pod nim zadanie – nietypowe, bo bez cyfr. Ostatni diagram przykładu jest potwierdzeniem poprawności rozwiązania: kamienie opadły, wypełniając pół diagramu.

Przykład


(Uwaga: diagram poprawiony o 11.22 27.06.2018)

Jako rozwiązanie wystarczy podać, ile rozwiązań ma to zadanie, ale szczegółowe komentarze i rozwiązania, np. z wykorzystaniem współrzędnych, będą jak zwykle mile widziane.

20.06.2018
środa

Liczebniki i TUZIN

20 czerwca 2018, środa,

Tym razem jest nieco trudniej.
Liczebnikami SIEDEM i OSIEM oraz rzeczownikiem TUZIN zaszyfrowano trzy liczby. Takim samym cyfrom odpowiadają jednakowe litery, a różnym cyfrom – różne litery. SIEDEM jest wielokrotnością siedmiu, OSIEM – najmniejszą możliwą wielokrotnością ośmiu, a TUZIN jest nie tylko wielokrotnością dwunastu, ale także siedmiu i ośmiu.
Jaką liczbą jest TUZIN?

13.06.2018
środa

Liczebniki

13 czerwca 2018, środa,

Liczebnikami TRZY, CZTERY i SZEŚĆ zaszyfrowano trzy liczby. Takim samym cyfrom odpowiadają jednakowe litery, a różnym cyfrom – różne litery. Każda z tych liczb jest wielokrotnością liczby, którą określa odpowiadający jej liczebnik, czyli TRZY jest wielokrotnością trzech, CZTERY – czterech, a SZEŚĆ – wielokrotnością sześciu.
Jakie to liczby, jeśli ich suma jest najmniejszą z możliwych?

6.06.2018
środa

Parka

6 czerwca 2018, środa,

W majowym numerze „Świata nauki” w artykule dotyczącym teorii (hipotezy) Goldbacha znalazło się zadanie silnie logiczne (i jeszcze silniej obliczeniowe), które można by uznać za klasyczne, ale też trochę zapomniane. Jego związek ze wspomnianą teorią wydaje się w pierwszej chwili wątpliwy, bo pojawia się dopiero w trakcie rozwiązywania i nie jest bezpośredni.
Przypominam hipotezę Goldbacha: każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.
Na szerszym forum zadanie gości rzadko, w różnej formie i zwykle budzi kontrowersje. Podejrzewam, że teraz też tak będzie. Oto ono:

Dwaj arcymistrzowie błyskawicznego liczenia i logicznego myślenia stoją przed wyzwaniem, polegającym na odgadnięciu dwu liczb całkowitych większych od jednego. Mistrz M(nożenie) zna tylko ich iloczyn, mistrz D(odawanie) – tylko sumę, która jest mniejsza niż sto. Obaj prowadzą krótki dialog.
M: Nie wiem, jakie to liczby.
D: Ja także nie wiem i wiedziałem, że nie będziesz wiedział.
M: Skoro tak, to ja teraz już odgadłem obie liczby.
D: W takim razie ja teraz również je odgadłem.
Jakie liczby były odgadywane?

Zakładamy, że czas między wypowiedziami był na tyle długi, że obaj mogli wszystko dogłębnie przemyśleć i policzyć.
Zwięzły i jasny opis sposobu rozwiązywania tego twardego (komputerowego?) orzecha, to także wyzwanie.

css.php