Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

12.07.2019
piątek

Dwójkowo

12 lipca 2019, piątek,

Tradycyjne domino zwane jest szóstkowym, bo na połówkach kamieni występują liczby oczek od zera do sześciu. Komplet obejmuje wszystkie różne kombinacje par tych liczb, czyli kamienie, których jest 28 (0-0, 0-1, 0-2,…, 5-5, 5-6, 6-6). Częścią szóstkowego kompletu są domina: zerowe (solista 0-0), jedynkowe (tercet 0-0, 0-1, 1-1), dwójkowe (sekstet 0-0, 0-1, 0-2, 1-1, 1-2, 2-2) itd. Pozostaniemy przy sekstecie.
Z wszystkich sześciu kamieni domina dwójkowego ułożono prostokąt 4×3, który stanowi poprawne dodawanie:

Jest tylko jedno dodawanie liczb 4-cyfrowych – złożone z czterech zer, czterech jedynek i czterech dwójek, którego nie można utworzyć z domina dwójkowego. Jakie?
PS Żaden składnik ani suma nie może zaczynać się zerem

4.07.2019
czwartek

Inna podstawa

4 lipca 2019, czwartek,

Jak wie mój 4-letni wnuczek, 3+4=7, czyli

I mamy kryptarytm, zwany też alfametykiem, a więc zadanie, które polega na zastąpieniu liter cyframi tak, aby powstałe w miejsce słów liczby tworzyły poprawne działanie. Łamigłówka wygląda na idealną, bo dodawanie ma sens oraz różnych liter jest dziesięć, czyli dokładnie tyle, co cyfr, a ponadto od razu widać, że układ liter sprzyja rozwiązywaniu na logikę. Do pełni szczęścia przydałoby się jeszcze jedno i tylko jedno rozwiązanie. Niestety, elegancka logika dość szybko prowadzi na manowce, bowiem okazuje się, że rozwiązania brak: cztery cyfry, które pozostają po przyporządkowaniu sześciu pozostałych literom DEIRTZ w żadnym przypadku nie pasują do równań C+1=S oraz 2Y=M (lub M+10).
Sposób na „uratowanie” zadania jest jeden: przenieść się do innego systemu liczbowego – oczywiście takiego, którego podstawa jest większa niż 10. Tym samym alfametyk oddali się nieco od ideału, bo liter będzie mniej niż cyfr. Ale trudno – nic za darmo.
Ponieważ mocno tkwię w systemie dziesiętnym i bardzo niechętnie go opuszczam, więc wiem z doświadczenia, że w pierwszej chwili po takich przenosinach się „głupieje”. Nowicjusz, który ma coś rozwiązać w systemie innym niż dziesiętny z reguły po prostu nie wie, jak to ugryźć. Zwykle jednak krótkie samokształcenie i odrobina praktyki pozwala przełamać opór materii. Dlatego ośmielam się zaproponować chętnym śmiałkom rozwiązanie powyższego alfametyku w systemie… jedenastkowym. Czy rozwiązanie będzie jedno, czy więcej – to także zagadka.

27.06.2019
czwartek

180 sum

27 czerwca 2019, czwartek,

Poprzedni wpis był nieco niefortunny. Położyłem nacisk na wydłużanie ciągu, co preferowało programistów i w ogóle jest sprawą drugorzędną. Uciekło mi natomiast to, co najistotniejsze: sposób szukania ciągu „na piechotę”, a ściślej – na logikę. Tak więc samo zadanie było i pozostaje ciekawe:
znaleźć ciąg rosnący złożony z kwadratów, w którym suma każdych dwu kolejnych (sąsiednich) wyrazów będzie kwadratem.
Szkopuł w tym, że końcowe pytanie nadało mu formę pasującą raczej do „Projekt Euler” niż do Łamibloga. Co prawda takie „Eulerowskie” przegięcie zdarzało mi się już nieraz, ale tym razem było przesadne. Dopowiem tylko, co zresztą wielu z Państwa zapewne zauważyło, że szukając ciągu na piechotę najwygodniej jest skorzystać z odpowiednio przekształconych wzorów na trójki pitagorejskie. W tym kontekście ciekawsze jest szukanie jak najdłuższego ciągu w minimalnym zakresie, czyli rosnącego najwolniej.

Dzisiejszy temat zacznę od trzech obrazków:

W pola kwadratu 2×2 wpisane są liczby od 1 do 4 na trzy sposoby, czyli wszystkie możliwe (z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych). Czerwone liczby oznaczają sumy czarnych w sąsiednich kratkach (wspólny bok). Ostatni obrazek, czyli trzeci sposób wpisania liczb wyróżnia się tym, że największa z czterech czerwonych sum jest najmniejsza – równa 6.
Zwiększamy format i wpisujemy liczby od 1 do 100 do stu pól kwadratu 10×10 tak, aby największa z sum par liczb w sąsiednich kratkach była najmniejszą możliwą. Jaka będzie ta suma?

20.06.2019
czwartek

Kwadratowa jazda

20 czerwca 2019, czwartek,

Z ciągu kwadratów (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…) wybieramy tercety liczb. Kryteria wyboru mogą być różne. Jeśli przyjmiemy, że dwa kwadraty powinny być równe trzeciemu, to wyciągane będą trójki pitagorejskie, a ściślej ich kwadraty, zaczynając od najmniejszej i najbardziej znanej – (3, 4, 5), czyli po ukwadratowieniu (9, 16, 25).
Zaostrzamy kryterium: suma każdej pary kwadratów w tercecie powinna być kwadratem. Obawiam się, że teraz nie uda się wyciągnąć żadnej trójki. Nawet gdyby kwadraty – tylko te wybierane – zastąpić dowolnymi liczbami naturalnymi dodatnimi, sprawa nie byłaby taka prosta, choć oczywiście realizowalna i to na bardzo wiele sposobów, np. (1, 24,120), (2, 23, 98), (3, 22, 78), (4, 21, 60),… itd. (łatwo zauważyć prawidłowość i z automatu dopisywać kolejne tercety, choć daleko tą drogą nie zajedziemy).
Wracamy do kwadratów i ostatecznie modyfikujemy kryterium: z ciągu kwadratów wybieramy liczby i tworzymy z nich ciąg rosnący taki, w którym suma każdych dwóch kolejnych wyrazów będzie kwadratem. Komu uda się najdłużej takim ciągiem jechać i najdalej zajechać?

13.06.2019
czwartek

Cyfrociąg

13 czerwca 2019, czwartek,

W angielskich książkach z zagadkami od dziesięcioleci pokutuje żarcik, polegający na uzupełnieniu poniższego ciągu liter kilkoma następnymi: O, T, T, F, F, S, S, E, N,… Przetransponowany na inne języki ciąg wygląda inaczej, a w polskiej wersji tak: J, D, T, C, P, S, S, O, D,…. Tworzą go oczywiście pierwsze litery liczebników głównych, określających kolejne liczby całkowite dodatnie.
Nowością (przynajmniej w języku polskim) jest natomiast łamigłówka oparta na podobnym pomyśle. Chodzi o uzupełnienie poniższego ciągu liczbami 0, 2, 5 wstawionymi w odpowiednie miejsca zamiast kresek.
4, _, 9, 1, 8, _, 7, 6, 3, _.
Skoro mowa o podobieństwie, to łatwo odgadnąć, że liczby powinny być ustawione w kolejności alfabetycznej odpowiadających im liczebników głównych, czyli 4, 2, 9, 1, 8, 5, 7, 6, 3, 0.
Trudniejsze zadanie polega na ustaleniu, czy można je rozmieścić inaczej lub może tak samo, ale tak, aby powstały 10-cyfrowy ciąg był utworzony zgodnie z jakąś inną zasadą – matematyczną, a nie alfabetyczną. Oczywiście, gdyby to nie było możliwe, to nie byłoby mowy o łamigłówce. Zatem można, pozostaje tylko ustalić zasadę. Niewykluczone zresztą, że zasada znajdzie się więcej niż jedna.

6.06.2019
czwartek

Inny rozbójnik

6 czerwca 2019, czwartek,

Siergiej Kariakin, jeden z czołowych szachistów rosyjskich (wcześniej ukraińskich) jest mistrzem świata w trzech różnych konkurencjach – w drużynie, w blitzu oraz w… antyszachach. W drużynie – wiadomo; blitz – można się domyślić, że chodzi o szachy błyskawiczne (każdy gracz ma 10 minut na partię); trudniej rozgryźć antyszachy, choć już kiedyś o nich wspominałem. Wyjaśnieniem mogą być ich inne określenia – wybijanka lub rozbójnik. Zatem wygrywa ten, kogo armia zostanie wcześniej wybita do nogi. Kariakin uznaje tę grę za bliższą demokracji, bo żadna figura się w niej nie wywyższa. Nie ma szacha ani mata; król może być bity jak każda inna bierka. Bicie jest obowiązkowe, a jeżeli jest więcej niż jedno, można wybrać dowolne. Nie ma roszady, ale zachowana jest promocja i pozostałe reguły gry. Kluczem do zwycięstwa jest więc umiejętność podstawiania się do bicia, co dobrze oddaje rosyjska nazwa antyszachów i paru innych „odwróconych” gier – poddawki.
Prawdę mówiąc, mistrzowski tytuł Kariakina jest mocno naciągany, bo w turnieju zwanym szumnie mistrzostwami świata w poddawki organizowanym w Moskwie od kilkunastu lat 1 kwietnia, ale nieregularnie (nie co roku) przez gazetę „Moskiewski Komsomolec”, świat ogranicza się do licznego grona stołecznych VIP-ów i paru szachistów. Mimo niezbyt poważnej daty gra traktowana jest całkiem serio. Wiadomo też, że jest bardziej podatna na rozgryzanie przez komputery, dzięki którym ustalono, że niektóre początkowe ruchy prowadzą nieuchronnie i szybko do porażki, jeśli oczywiście kolejne posunięcia będzie wskazywał komputer.
Trudniejszy do analizy jest wariant rozbójnika bliższy szachom, w którym zostaje zachowana królewska „nieśmiertelność”, szach, mat i roszada, zaś bicie nie jest obowiązkowe tylko wówczas, gdy równocześnie szachowany jest król – wtedy przede wszystkim trzeba go bronić. Wygrywa ten, kto straci wszystkie bierki oprócz króla albo jego król zostanie zamatowany.
Takiej odmiany antyszachów dotyczy poniższe zadanie. Jaki pierwszy ruch powinny wykonać białe, aby zapewnić sobie wygraną?

30.05.2019
czwartek

W galerii

30 maja 2019, czwartek,

Łamiblog ma prawie 13 lat, ale chyba dotąd nie pojawiła się w nim jedna z moich ulubionych łamigłówek pełnoletnich. A jeśli mnie pamięć oraz kwerenda zawodzi i jednak była, to pod inną nazwą, niż ta, pod którą znana jest w światku główkołamaczy. Chodzi o japońską 18-latkę akari, czyli w dosłownym tłumaczeniu „galerię sztuki”.
Nazwa akari wiąże się z fabułką, która początkowo dotyczyła rozmieszczenia w galerii strażników, zastąpionych później lampami lub kamerami, oświetlającymi albo obserwującymi obiekty w salach muzealnych. Salami są białe pola diagramu; żółte pola z czerwonym brzegiem to pomieszczenia zamknięte, np. magazyny. Zadanie polega na rozmieszczeniu w niektórych salach strażników tak, aby wszystkie sale były przez nich obserwowane. Każdy strażnik ma w zasięgu wzroku wszystkie sale w rzędach (wierszu i kolumnie), na przecięciu których się znajduje. Zasięg widzenia ograniczają czerwone brzegi żółtych pól. Ponadto żaden strażnik nie może widzieć innego strażnika.
Akari debiutowała w trzecim numerze kwartalnika Nikoli w roku 2001. Poniższy przykład z rozwiązaniem to jedno z trzech debiutanckich zadań.

Pora uzupełnić reguły zabawy: każda liczba w żółtym polu oznacza, ile sąsiednich białych pól-sal powinni obsadzić strażnicy – sąsiednich, czyli mających wspólny bok, a więc co najwyżej czterech. Jak wynika z przykładu, nie wszyscy strażnicy muszą być wskazani przez liczby.
Akari to z natury łamigłówki niezbyt trudne, więc by nie było za łatwo zadanie domowe jest wersją zaszyfrowaną: takie same cyfry zastąpione są jednakowymi literami, a różne – różnymi.

Niestety, po zakończeniu wystawy okazało się, że z jednej sali został skradziony cenny eksponat. Dopiero wtedy organizatorzy zauważyli, że była to jedyna sala nieobserwowana. Proszę wskazać tę salę.

23.05.2019
czwartek

Włącz dwa kolory

23 maja 2019, czwartek,

Jeśli narysujemy pięciokąt i poprowadzimy w nim wszystkie przekątne, to powstanie graf pełny, którego symbolem jest K5, co oznacza pięć punktów (wierzchołków), z których każdy połączony jest odcinkiem (krawędzią) z każdym innym. W takim grafie każdą krawędź można zabarwić jednym z dwu kolorów tak, że nigdzie nie powstanie jednobarwny trójkąt (trzy boki w tym samym kolorze). Uwzględniamy tylko trójkąty, których bokami są przekątne i boki wielokąta, a więc tylko całe odcinki łączące wierzchołki grafu.

Jeśli w analogiczny sposób postąpić z sześciokątem, tworząc najpierw pełny graf K6, a potem używając dwóch kolorów do oznaczenia jego 15 krawędzi, to uniknięcie jednobarwnych trójkątów nie będzie możliwe. Ile krawędzi takiego grafu trzeba usunąć, aby dwukolorowy graf nie zawierał monochromatycznych trójkątów?
A czy ktoś potrafi ustalić, ilu krawędzi trzeba pozbawić graf pełny K10, aby przy dwóch kolorach wszystkich (45) krawędzi nie było w nim trójkątów w jednym kolorze? Wbrew pozorom odpowiedź jest zaskakująco skromna i można do niej dotrzeć na logikę.

16.05.2019
czwartek

Wielodzietnie

16 maja 2019, czwartek,

– Kochane dzieci, dzisiaj byłyście grzeczne, więc możecie sobie wziąć po kilka czekoladek – rzekła mama wieczorem do gromadki swoich pociech, otwierając bombonierkę.
Niektóre dzieci uznały jednak samokrytycznie, że coś dziś przeskrobały i na nagrodę nie zasługują, więc nie sięgnęły po słodycze. Adaś wziął tyle czekoladek, ile dzieci nie wzięło żadnej czekoladki. Błażej wziął tyle, ile dzieci wzięło po jednej czekoladce. Czarek tyle, ile dzieci wzięło po dwie czekoladki… Ogólnie: każde kolejne n-te dziecko wzięło tyle czekoladek, ile dzieci wzięło po n-1 czekoladek, zaczynając od n=1 (przypadek Adasia).
Ile było wszystkich dzieci, jeśli wiadomo, że gdyby było ich o jedno mniej lub o dwoje więcej, to opisany sposób dzielenia się czekoladkami nie byłby możliwy?

9.05.2019
czwartek

Kwadratura kwadratów

9 maja 2019, czwartek,

Całkiem poważni matematycy, a ściślej teoretycy liczb, mają następujący poważny problem:
dla jakich n można utworzyć zbiór n różnych liczb całkowitych taki, w którym suma każdej pary liczb będzie kwadratem.
Jest jeszcze dodatkowy warunek: dla danego n szukamy zbioru, w którym największa liczba będzie jak najmniejsza (o ile oczywiście n-liczbowych zbiorów uda się znaleźć więcej niż jeden). I są dwie konkurencje – w pierwszej dopuszcza się liczby ujemne, w drugiej nie. W pierwszej rekordem jest od 42 lat zbiór 6-liczbowy:
{–15863902, 17798783, 21126338, 49064546, 82221218, 447422978}.
W drugiej konkurencji od prawie półwiecza króluje kwintet:
{7442, 28658, 148583, 177458, 763442}.

Nie całkiem poważni teoretycy liczb, czyli np. wyżej nadpisany, mają bliźniaczy „niepoważny” problem: dla jakich n można utworzyć zbiór n różnych liczb naturalnych taki, w którym suma każdych n-1 liczb będzie kwadratem.
Dla n=3 w drugiej konkurencji oba problemy „nakładają się”.
Proszę zatem spróbować znaleźć takie trzy liczby naturalne, że suma każdych dwu z nich będzie kwadratem, zaś suma wszystkich trzech będzie najmniejszą możliwą liczbą.
A może ktoś pokusi się o rozwiązanie „niepoważnego” problemu dla n=4.
Dla zachęty ciekawostka: zbiór trzech liczb, w którym kwadratami są wszystkie możliwe sumy – {41, 80, 320}.

css.php