Pierwszyzna
Przypadek to nierzadki, gdy autor zadania (ani nikt inny) nie zna jego rozwiązania. Takie zadania zasługują na miano problemów i kojarzą się z koryfeuszem matematyki Paulem Erdősem, który za rozgryzanie podobnych orzechów zwykł był fundować nagrody od kilku do kilkuset dolarów. Na przykład 500 za uporanie się z pozornie niewyszukanym, iteracyjnym (wciąż nierozgryzionym) problemem Collatza: dowolną liczbę dzielimy przez 2, gdy jest parzysta, albo mnożymy przez 3 i dodajemy 1, jeśli jest nieparzysta; z otrzymanym wynikiem – i z każdym następnym – postępujemy tak samo dotąd, aż pojawi się jedynka; należy udowodnić, że jedynkowej końcówki nie sposób uniknąć.
Nierzadkie są także przypadki, gdy autor zadania zna jedno rozwiązanie, ale nie jest pewien (i nie tylko on), czy nie ma ich więcej. Tu problemy są rzadsze, a za prosty przykład może posłużyć pytanie: czy różnica 10 między potęgami występuje tylko raz między 2197 (13^3) a 2187 (3^7)?
Przykładem, ale nie problemowym, może też być zadanie z marcowego „Świata Nauki”, którego autor znał rozwiązanie, ale okazało się, że nie jest ono jedynym. A zadanie jest takie:
W trzycyfrowej liczbie pierwszej A oraz w trzech liczbach pierwszych X, Y, Z – jedno-, dwu- i trzycyfrowej – występują tylko trzy różne cyfry. A=X+Y+Z. B jest sumą cyfr liczby A. C jest sumą cyfr liczby B. B i C także są liczbami pierwszymi, ale B nie równa się C. Jakie są wartości liczb X, Y, Z?
Autor wciąż nie jest pewien liczby rozwiązań. A więc ile ich jest?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Nie jestem pewien, czy rozumiem zadanie, ale znalazłem 17 możliwych kombinacji A, Z, Y, X:
157 137 13 7
157 137 17 3
193 173 13 7
193 173 17 3
241 167 67 7
283 179 97 7
283 197 79 7
397 317 73 7
397 347 43 7
397 347 47 3
401 347 47 7
421 359 59 3
601 547 47 7
823 719 97 7
823 743 73 7
829 751 71 7
829 761 61 7
z których to liczby A sumują się do czterech liczb pierwszych B [5, 7, 13, 19].
Tylko dalej nie bardzo można zrobić z nich liczby C, które byłyby pierwsze i różne od B.
Program szybko znalazł 3 rozwiązania:
X = 7, Y = 17, Z = 113, wtedy A = 137, B = 11, C = 2,
X = 7, Y = 71, Z = 719, wtedy A = 797, B = 23, C = 5,
X = 3, Y = 37, Z = 937, wtedy A = 977, B = 23, C = 5.
Jak już wspomniałem w rozwiązaniach zadań marcowych ŚN 😉 są trzy rozwiazania tego zadania:
[a,b,c,x,y,z] = [977, 23, 5, 3, 37, 937]
[a,b,c,x,y,z] = [137, 11, 2, 7, 17, 113]
[a,b,c,x,y,z] = [797, 23, 5, 7, 71, 719]
Zadanie rozwiązywał program więc chyba się nie pomylił 🙂
Pamiętam, że robiłam to zadanie z pomocą Excela i wyszły mi tylko te dwa wyniki. Czyżby inni uczestnicy przysłali też inne?
A = 797, B = 23, C = 5, X = 7, Y = 71, Z = 719
lub
A = 977, B = 23, C = 5, X = 3, Y = 37, Z = 937
liczby pierwsze: (3, 13, 211) suma: 227 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 13, 337) suma: 353 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 19, 331) suma: 353 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 31, 103) suma: 137 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 31, 139) suma: 173 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 31, 193) suma: 227 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 37, 223) suma: 263 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 37, 277) suma: 317 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 37, 313) suma: 353 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 37, 757) suma: 797 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (3, 37, 937) suma: 977 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (3, 61, 163) suma: 227 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 67, 373) suma: 443 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 73, 277) suma: 353 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 73, 367) suma: 443 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 79, 379) suma: 461 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (3, 79, 739) suma: 821 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 11, 157) suma: 173 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 11, 211) suma: 227 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 17, 151) suma: 173 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 17, 577) suma: 599 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (5, 29, 229) suma: 263 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 37, 557) suma: 599 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (5, 47, 547) suma: 599 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (5, 53, 223) suma: 281 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 53, 853) suma: 911 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 59, 199) suma: 263 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 59, 577) suma: 641 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 59, 757) suma: 821 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 71, 151) suma: 227 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (5, 79, 557) suma: 641 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 11, 173) suma: 191 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 17, 113) suma: 137 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 17, 167) suma: 191 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 17, 617) suma: 641 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 17, 773) suma: 797 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (7, 17, 797) suma: 821 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 17, 887) suma: 911 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 23, 233) suma: 263 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 29, 227) suma: 263 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 47, 227) suma: 281 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 47, 743) suma: 797 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (7, 71, 113) suma: 191 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 71, 719) suma: 797 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (7, 83, 887) suma: 977 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
Na piechotę, znajduję tylko dwa rozwiązania:
X= 1, Y=33, Z=137
X= – 9, Y=99, Z=887
Ojjj nie dodałem warunku, że we wszystkich liczbach mają być użyte tylko 3 cyfry (A, X, Y, Z)
(rozważałem tylko X,Y,Z – trzy różne cyfry)
Tak powinno być:
liczby pierwsze: (3, 37, 937) suma: 977 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
liczby pierwsze: (7, 17, 113) suma: 137 suma cyfr sumy: 11 suma cyfr sumy cyfr: 2
liczby pierwsze: (7, 71, 719) suma: 797 suma cyfr sumy: 23 suma cyfr sumy cyfr: 5
Takie samo pytanie, jak w przypadku marcowego zadania, można postawić w zadaniu pierwszym (chodziło o znalezienie liczby, która posiada dwa generatory addytywne) z lutowego „Świata Nauki”.
Wprawdzie odpowiedź na to pytanie pojawiła się w kwietniowym ŚN, ale jest ona niepełna.
A więc, ile jest rozwiązań?
A=977, X=3, Y=37, Z=937 lub A=797, X=7, Y=71, Z=719
@Andrzej
Jest jeszcze trzecia liczba 8109 z generatorami 8091 i 8100.
@Adaś
są jeszcze inne kombinacje, których nie ma na Twojej liście
Z włoszczyzny zabrałem kapuścianą głowę.
797=7+71+719
977=3+37+937