Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

23.05.2019
czwartek

Włącz dwa kolory

23 maja 2019, czwartek,

Jeśli narysujemy pięciokąt i poprowadzimy w nim wszystkie przekątne, to powstanie graf pełny, którego symbolem jest K5, co oznacza pięć punktów (wierzchołków), z których każdy połączony jest odcinkiem (krawędzią) z każdym innym. W takim grafie każdą krawędź można zabarwić jednym z dwu kolorów tak, że nigdzie nie powstanie jednobarwny trójkąt (trzy boki w tym samym kolorze). Uwzględniamy tylko trójkąty, których bokami są przekątne i boki wielokąta, a więc tylko całe odcinki łączące wierzchołki grafu.

Jeśli w analogiczny sposób postąpić z sześciokątem, tworząc najpierw pełny graf K6, a potem używając dwóch kolorów do oznaczenia jego 15 krawędzi, to uniknięcie jednobarwnych trójkątów nie będzie możliwe. Ile krawędzi takiego grafu trzeba usunąć, aby dwukolorowy graf nie zawierał monochromatycznych trójkątów?
A czy ktoś potrafi ustalić, ilu krawędzi trzeba pozbawić graf pełny K10, aby przy dwóch kolorach wszystkich (45) krawędzi nie było w nim trójkątów w jednym kolorze? Wbrew pozorom odpowiedź jest zaskakująco skromna i można do niej dotrzeć na logikę.

16.05.2019
czwartek

Wielodzietnie

16 maja 2019, czwartek,

– Kochane dzieci, dzisiaj byłyście grzeczne, więc możecie sobie wziąć po kilka czekoladek – rzekła mama wieczorem do gromadki swoich pociech, otwierając bombonierkę.
Niektóre dzieci uznały jednak samokrytycznie, że coś dziś przeskrobały i na nagrodę nie zasługują, więc nie sięgnęły po słodycze. Adaś wziął tyle czekoladek, ile dzieci nie wzięło żadnej czekoladki. Błażej wziął tyle, ile dzieci wzięło po jednej czekoladce. Czarek tyle, ile dzieci wzięło po dwie czekoladki… Ogólnie: każde kolejne n-te dziecko wzięło tyle czekoladek, ile dzieci wzięło po n-1 czekoladek, zaczynając od n=1 (przypadek Adasia).
Ile było wszystkich dzieci, jeśli wiadomo, że gdyby było ich o jedno mniej lub o dwoje więcej, to opisany sposób dzielenia się czekoladkami nie byłby możliwy?

9.05.2019
czwartek

Kwadratura kwadratów

9 maja 2019, czwartek,

Całkiem poważni matematycy, a ściślej teoretycy liczb, mają następujący poważny problem:
dla jakich n można utworzyć zbiór n różnych liczb całkowitych taki, w którym suma każdej pary liczb będzie kwadratem.
Jest jeszcze dodatkowy warunek: dla danego n szukamy zbioru, w którym największa liczba będzie jak najmniejsza (o ile oczywiście n-liczbowych zbiorów uda się znaleźć więcej niż jeden). I są dwie konkurencje – w pierwszej dopuszcza się liczby ujemne, w drugiej nie. W pierwszej rekordem jest od 42 lat zbiór 6-liczbowy:
{–15863902, 17798783, 21126338, 49064546, 82221218, 447422978}.
W drugiej konkurencji od prawie półwiecza króluje kwintet:
{7442, 28658, 148583, 177458, 763442}.

Nie całkiem poważni teoretycy liczb, czyli np. wyżej nadpisany, mają bliźniaczy „niepoważny” problem: dla jakich n można utworzyć zbiór n różnych liczb naturalnych taki, w którym suma każdych n-1 liczb będzie kwadratem.
Dla n=3 w drugiej konkurencji oba problemy „nakładają się”.
Proszę zatem spróbować znaleźć takie trzy liczby naturalne, że suma każdych dwu z nich będzie kwadratem, zaś suma wszystkich trzech będzie najmniejszą możliwą liczbą.
A może ktoś pokusi się o rozwiązanie „niepoważnego” problemu dla n=4.
Dla zachęty ciekawostka: zbiór trzech liczb, w którym kwadratami są wszystkie możliwe sumy – {41, 80, 320}.

2.05.2019
czwartek

Ile wart jest STEFAN?

2 maja 2019, czwartek,

O którego STEFANa chodzi? O Nie… o nie, nie o tego, tylko o BATOREGO oczywiście, który wielkim królem był, a wśród jego licznych choć pomijanych zalet jest także kryptarytmetyczna – imię plus nazwisko składa się z dziesięciu różnych liter. Jeśli więc każdą literę zastąpić inną cyfrą, to powstaną dwie 6-cyfrowe liczby, które będą miały wspólne dwie cyfry, odpowiadające literom A i T. Celem jest ustalenie wartości tych liczb, jeśli spełniają one dwa warunki.
Po pierwsze: liczba BATORY stanowi rozwiązanie poniższego masterminda, czyli kod, do rozszyfrowania którego kluczem jest pięć „strzałów” – liczb 6-cyfrowych – i ocena zgodności każdego z kodem BATORY. Oceną jest czerwona cyfra – równa liczbie takich samych cyfr w strzale i w kodzie. Ponadto nigdy trafiona cyfra nie znajduje się na tym samym kolejnym miejscu, co w kodzie.

Po drugie: Obie liczby, zastępujące wyrazy STEFAN i BATORY, są kwadratami.
W rozwiązaniu wystarczy podać wartość STEFANa, choć oczywiście BATORY też będzie mile widziany.

25.04.2019
czwartek

S… S… C…

25 kwietnia 2019, czwartek,

W książkach poświęconych matematyce rekreacyjnej przytaczana bywa anegdota, dotycząca genialnego hinduskiego matematyka samouka Srinivasy Ramanujana, który podczas pobytu w Anglii w latach 1914-19 często chorował. Jego przyjaciel i protektor angielski matematyk Godfrey Hardy odwiedzał go w szpitalu i podczas jednej z wizyt napomknął, że przyjechał taksówką o numerze bocznym 1729. Dodał też półżartem, że to raczej nieciekawy numer i ma nadzieję, że nie jest to zły omen. Ramanujan zaprotestował, uznając tę liczbę za bardzo interesującą, ponieważ jest najmniejszą naturalną, którą można przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na dwa sposoby: 1729=1^3+12^3=9^3+10^3.
Uwaga Ramanujana mogłaby też brzmieć inaczej albo można by ją uzupełnić drugą, następującą ciekawą własnością 1729:
to największa liczba równa s… s… c… pomnożonej przez s… s… c… zapisaną w….
Proszę spróbować uzupełnić ostatnie zdanie siedmioma wyrazami, z których pozostały tylko pierwsze litery.

18.04.2019
czwartek

Cyfrowanka

18 kwietnia 2019, czwartek,

Po zatytułowaniu tego wpisu zacząłem się zastanawiać, czy cyfrowanki już kiedyś nie było. Sprawdziłem i okazało się, że tak, ale dotyczyła zadania nieco innego niż poniższe. W gruncie rzeczy każdą łamigłówkę, w której do pól diagramu wpisuje się liczby jednocyfrowe można by tak nazwać, a na pierwszy ogień poszłoby kakuro – dziś już prawie zapomniane, choć czasem wskrzeszane, ostatnio np. w ramach eliminacji do tegorocznych XXIII Mistrzostw Polski w Łamigłówkach.
Nazwa cyfrowanka kojarzy się jednak z czymś małym, jakby bibelotem. Oto więc przykład takiego cacka.

W każdym polu jasnego kwadratu 4×4 powinna znaleźć się cyfra. Cztery są już na swoich miejscach. Zadanie polega na wpisaniu dwunastu pozostałych – żadna nie może być zerem. Kluczem do rozwiązania są liczby przy brzegu – każda oznacza sumę czterech cyfr w danym rzędzie lub kolumnie, zaś liczby przy rogach równe są sumom cyfr na przekątnych.
Do przemyślenia: czy bez podanych sum cyfr na przekątnych (17 i 20), albo chociaż bez jednej z nich, rozwiązanie także byłoby jedno.
A na deser żartobliwy drobiazg z całkiem innej beczki: które zwierzę po przyprawieniu mu ogonka zmienia się w wielkość fizyczną?

11.04.2019
czwartek

100 i 13

11 kwietnia 2019, czwartek,

A imię jego… sto i trzynaście. W oryginale jest oczywiście „czterdzieści i cztery”, ale oryginał pozostaje – mimo wielu hipotez, czyli prób wyjaśnienia – zagadką. Tak musi być, ponieważ – jak pisze profesor Wacław Kubacki w rozprawie Arcydramat Mickiewicza – „jednoznaczne wyjaśnienie spłyciłoby wartość literacką utworu, bowiem sens artystyczny tego symbolu wymaga, aby pozostał on nierozwiązany”.
Natomiast jeśli chodzi o „sto i trzynaście” sprawa jest jasna: na diagramie należy oznaczyć trasę (linię łamaną) przechodzącą przez 13 różnych liczb, których suma musi być równa 100. Trasa nie może odwiedzać dwukrotnie tej samej liczby, a tworzące ją odcinki powinny biec poziomo lub pionowo.
Zadanie w pierwszej chwili może się wydać żmudne. Gdy jednak uświadomimy sobie, że sumowanie liczb w trakcie rysowania trasy wcale nie jest konieczne, wszystko staje się proste.
W przykładzie oznaczona jest trasa „20 i 5”.

Przykład

Zadanie

W rozwiązaniu wystarczy podać dwie liczby na końcach łamanej, ale kolejność całej trzynastki też będzie mile widziana.

4.04.2019
czwartek

Fuzuli 100

4 kwietnia 2019, czwartek,

„Dziękuję za katorżnicze zadanie; masochiści i komputery będą w siódmym niebie” – tak odpowiedziałem na propozycję twardego orzecha do Łamibloga, nadesłaną przez kolegę główkołamacza, którego zadania już tu kilkakrotnie gościły i zawsze były dziełkami z górnej półki, także jeśli chodzi o stopień trudności. Tym razem doszedłem do wniosku, że granice ekstremalnego sportu umysłowego zostały przekroczone. Ponieważ jednak nie wykluczam, że to ja jestem za cienki albo po prostu czegoś nie dostrzegam, więc zdecydowałem się podrzucić tego ładnego „widokowo” orzecha zaglądającym tu wiewiórkom w nadziei, że którejś uda się go rozgryźć bez wspomagania się elektroniką.
Rodzaj zadania zapewne niektórym z Państwa jest znany. Fuzuli ma turecki rodowód i w zamierzchłych czasach gościło w Łamiblogu, a ostatnio pojawiło się na Mistrzostwach Polski w Łamigłówkach. Diagram fuzuli dotąd nigdy nie bywał większy niż 8×8, co zdopingowało kolegę do przekroczenia tych wymiarów.
Zasady zabawy są pomysłową i formalnie prostą wariacją na temat kwadratu łacińskiego.
Do niektórych pól kwadratowego diagramu n×n należy wpisać cyfry od 1 do N (N<n) tak, aby:
– w każdym wierszu i w każdej kolumnie znalazło się N różnych cyfr;
– żadne cztery kratki, tworzące kwadrat 2×2, nie były wypełnione cyframi.
W przykładzie (5×5) N=3

W zadaniu (10×10) N=7

W rozwiązaniu wystarczy podać dziesięć cyfr w polach na przekątnej, łączącej lewy górny róg z prawym dolnym (zera w pustych polach).
Co ciekawe: po usunięciu sześciu cyfr z obszarów narożnych [3, 2, 3-5, 4-4] rozwiązanie także jest jedno.

28.03.2019
czwartek

Nie mniejsza oto

28 marca 2019, czwartek,

Dziś będzie krótko i zwięźle. Oto słupkowe mnożenie szkieletowe, czyli z ujawnionymi wszystkimi kwadracikami – miejscami dla cyfr.

Celem jest oczywiście rekonstrukcja działania, a kluczem do celu jedna informacja: w trzech kolumnach cyfr wskazanych strzałką każda cyfra leżąca wyżej jest nie większa od położonej niżej albo, jeśli ktoś woli: każda leżąca niżej jest nie mniejsza od położonej wyżej.
Wiem, że jest jedno rozwiązanie, ale nie jestem pewien, czy tylko jedno, bo wymyśliłem ten drobiazg i bawiłem się nim, jedząc pierogi ruskie w schronisku na Przehybie, więc mogłem coś przeoczyć.

21.03.2019
czwartek

Tercet razy-plus

21 marca 2019, czwartek,

Z trzech kamieni domina, oczywiście odpowiednio dobranych, można utworzyć mnożenie, np. 32×5=160, czyli w wersji z oczkami wygląda to tak:

Gwoli ścisłości: wybieramy z kompletu klasycznego domina, zwanego szóstkowym, w którym liczby oczek na połówkach kamieni obejmują zakres jak na kostce do gry, czyli od 0 do 6.
Z trzech kamieni można też utworzyć dodawanie, np. 36+15=51, czyli:

W obu powyższych przykładach żaden kamień nie powtarza się.
Czy może być tak, że z tych samych trzech kamieni da się ułożyć zarówno mnożenie, jak i dodawanie? Jest to możliwe, jeśli skorzystamy np. z poniższego tercetu, w którym ujawnione są dwa kamienie – 1-2 i 4-5. Jaki jest ten trzeci?

Liczby zaczynające się zerem, czyli w przypadku domina pustą połówką zwaną „mydłem” – wykluczamy.

css.php