Ciągi „puchnące”
Ciąg 1, 10, 100, 1000, 10000,…, w którym każdy następny wyraz ma za wiodącą jedynką o jedno zero więcej niż poprzedni, jest z reguły definiowany jako ciąg kolejnych potęg dziesiątki. Ale można też określić go inaczej. Na przykład jako ciąg w którym każdy n-ty wyraz jest najmniejszą (dodatnią) liczbą n-cyfrową. Gdyby zaś ten ciąg zamiast jedynką zaczynał się dwójką, wówczas każdy n-ty wyraz byłby najmniejszą n-cyfrową wielokrotnością dwójki. Z trójką jako dzielnikiem byłoby już nieco mniej monotonnie: 3, 12, 102, 1002, 10002…, ale jednak nadal dość schematycznie. Właściwie ciekawiej robi się dopiero przy siódemce (7, 14, 105, 1001, 10003, 100002,…) lub większych liczbach pierwszych, np. przy trzynastce (13, 104, 1001, 10010, 100009,…). Żadnego z tych ciągów – poza pierwszym, najbogatszym w zera – nie ma w encyklopedii OEIS, choć są tam ciągi pokrewne. Stopień pokrewieństwa bywa różny, a za podstawowy można uznać to, że każdy następny wyraz (poza pierwszym) ma o jedną cyfrę więcej niż poprzedni, czyli kolejne wyrazy jakby równomiernie „puchną”. Drugi stopień pokrewieństwa jest taki, że każdy wyraz jest najmniejszym z możliwych w ramach głównej ciągowej reguły. Oba te stopnie dotyczą poniższego ciągu, który także zaczyna się „pechowo”:
13, 208, 1456, 32032, 416416, ?
Ciąg oparty na takiej samej regule może zaczynać się od dowolnej liczby, ale zawsze jest krótki. Zaczynający się od liczby jednocyfrowej ma najwyżej cztery wyrazy (p. niżej). Ten ze startową trzynastką jest nieco dłuższy, bowiem jego szósty wyraz jest ostatnim. Jaka to liczba, oczywiście 7-cyfrowa?
Pytanie dodatkowe do komputerowców, którzy uporają się z tym zadaniem: czy istnieje oparty na takiej samej zasadzie ciąg dłuższy niż 7-wyrazowy ze startową liczbą dwucyfrową?; 7-wyrazowy jest np. ciąg zaczynający się od 21 (p. niżej).
PS. Poprawki popołudniowe: 1) nie wszystkie ciągi zaczynające się od liczby jednocyfrowej są najwyżej 4-wyrazowe; 2) ciąg zaczynający się od 21 jest krótszy niż 7-wyrazowy. Pytanie dodatkowe pozostaje bez zmian?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Pasowałaby mi tu następująca reguła: każdy kolejny wyraz jest najmniejszym możliwym (o ile istnieje) takim, że:
– ma o jedną cyfrę więcej niż poprzedni,
– jest podzielny przez poprzedni,
– nie ma wspólnych cyfr z poprzednim.
Wówczas po 416416 byłoby 2082080 i dalej już nic.
Tylko że wtedy ciąg zaczynający się od 21 nie ma siedmiu wyrazów, a zaczynający się od 8 ma więcej niż cztery…
No nic, myślę dalej 😉
Proszę nie myśleć :), bo zasada jest dobra tylko zapewne ja coś pokręciłem. Zaraz posprawdzam.
mp
Ok, czyli jednak moja pierwsza próba była udana 🙂
Istnieje tylko jeden ciąg długości większej niż 7 startujący od liczby dwucyfrowej:
78, 156, 2028, 14196, 255528, 3066336, 52127712, 364893984.
Długość 8 ciągu wydaje mi się największą możliwą, choć 78 nie jest jedyną możliwą liczbą startową. Ciągi zaczynające się od 264, 643, 726, 2121, 8484 lub 64831 również mają długości 8. Podam ciąg dla tej ostatniej, bo uważam go za dość niezwykły, głównie ze względu na dużą liczbę cyfr:
64831, 777972, 3111888, 40454544, 121363632, 5704090704, 22816362816, 570409070400.
Istotnie, zrobiło się ciekawie. Jeszcze ciekawiej byłoby, gdyby udało się jakoś dowieść, że 8 to max. Wtedy byłaby „prawdziwa” matematyka, a nie tylko zabawa liczbowa.
mp
2082080
78 156 2028 14196 255528 3066336 52127712 364893984Ciągi zaczynające się od 264, 726, 2904, 3872, 5808 i 11616 kończą się na 1290909312. Jest to najprawdopodobniej największa liczba kończąca.
Z tą największą liczbą kończącą nieco się pomyliłem. Chyba można postawić hipotezę, że coraz dłuższych ciągów jest nieskończenie wiele. Może ktoś to udowodni…
Tymczasem program znalazł dla liczb do 50M takie przykłady:
Dalej czas obliczeń był już zbyt długi. Poza tym nie wiem po co to liczyłem, nie ma to przecież związku z zadaniem, ani niczym innym…
1041040.
SC(a(2k)) = 10
SC(a(2k+1)) = a(2k)/a(2k-1)
gdzie: SC(x) – suma cyfr, a(n) – n-ty wyraz ciągu.
Czy 1041040 byłby ostatnim wyrazem?
mp
Czy 1041040 byłby ostatnim wyrazem?
mp
Tak, ponieważ
1041040/416416 = 2,5
czyli zgodnie z regułą kolejny wyraz musiałby mieć sumę cyfr 2,5.
Co jest niemożliwe więc ciąg się kończy.
Ciekawe. A na jakiej zasadzie kolejne parzyste wyrazy uznawane są za najmniejsze z sumą cyfr = 10?
mp
1. Najmniejsza całkowita wielokrotność poprzedniego wyrazu o odpowiedniej liczbie cyfr i SC=10, jeżeli istnieje, wpp.
2. Najmniejsza całkowita wielokrotność wyrazu pierwszego z warunkami jw., jeżeli istnieje (wpp. ciąg skończył się).
@kobert
To nie do końca się zgadza, bo 128128 jest wielokrotnością liczby 32032 o takiej samej sumie cyfr co 416416, a mimo tego to 416416 jest wyrazem tego ciągu.
@kobert, @mp
Ze wzoru: SC(a(2k+1)) = a(2k)/a(2k-1) SC(a5) = a(4)/a(3) = 32032/1456 = 22 Stąd najmniejsze "kobertowe" a5=128128 mp kobert 1: 13 13 2: 208 208 3: 1456 1456 4: 32032 32032 5: 416416 128128 <==@xswedc, @lukasz_m
Dziękuję za wyłapanie błędu. Półręczny brute-force excelowy to przeoczył.
Kolejnym (ostatnim) wyrazem mojego ciągu jest zatem 3203200.
Z oryginalnym zadaniem ma to jednak coraz mniej wspólnego.
@kobert
Wyobraź sobie, że twój pomysł był jednak tym właściwym. Ilu ludzi na Ziemi w sześć dni znalazłoby wtedy prawidłową odpowiedź? Perelman, Wiles, Penrose? Nie, nie oni. To byłby Ockham (wiecznie żywy).