S, D, P & Q

13 lutego 2021
Marek Penszko

Programiści dopisali (dziękuję), zaskakując mnie obszernymi listami par liczb – rozwiązań zadania z poprzedniego wpisu, które teraz sformułowałbym odrobinę inaczej:
Suma dwóch liczb x i y (całkowitych, dodatnich) równa jest S, a iloczyn tych liczb równy jest P. Liczby S i P składają się łącznie z n różnych, kolejnych cyfr. Jakimi liczbami są x i y dla różnych wartości 2≤n≤9?
Na listach można doszukać się kilku rodzajów interesujących par albo po prostu ciekawostek – na niektóre zwracają uwagę lukasz_m i apartado – ale najbardziej osobliwy wydaje mi się kontrast między jedną parą dla n=6 [4, 130], a 561 parami dla n=10. Ani samotnej szóstkowej pary, ani tak dużej liczby par dziesiątkowych zupełnie się nie spodziewałem. Nie podjąłbym się też wyjaśniać przyczyn tych ekstremalnych wartości, bo zadanie jest zbyt zakręcone i „wymyślne”. Kusi, aby je uogólnić, nie ograniczając się do dwóch wybranych działań i do różnych liczb kolejnych liczb. Proponuję więc jeszcze programistom zmierzenie się z następującym orzeszkiem:
Czy istnieje taka para liczb całkowitych dodatnich x i y, których suma (S), różnica (D), iloczyn (P) i iloraz (Q) składają się łącznie z dziesięciu różnych cyfr?
Mówiąc inaczej i nieco kolokwialnie: czy jeden komplet cyfr układu dziesiętnego może „obsłużyć” wyniki czterech podstawowych działań na danej parze liczb naturalnych?
Właściwie dzięki nadesłanym listom, które dokładnie przejrzałem, mogę od razu udzielić odpowiedzi: istnieje przynajmniej jedna para o takiej własności, ale szczególna i osobliwa – x=y=287 – ponieważ:
287+287=574; 287–287=0; 287*287=82369; 287/287=1; cyfry – [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9].
Czy jednak są inne takie pary albo ile jest takich par – bardziej „naturalnych”, czyli takich, dla których rozkład cyfr w wynikach nie jest w żaden sposób uporządkowany lub uwarunkowany? Oto jest pytanie.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.