Summa summarum
Jedno z zadań zamieszczonych w czerwcowym Świecie Nauki polegało na znalezieniu wartości x spełniającej równanie:
x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 2023
S(n) oznacza w równaniu sumę cyfr liczby n, a więc w tym przypadku n przyjmuje wartości x, S(x) i S(S(x)).
Sporo osób uporało się z tym zadaniem, ale tylko nieliczni nadesłali wszystkie rozwiązania. Jakimi liczbami może być x?
I dodatkowo dwie wariacje na temat. Pierwsza wydaje się prostsza, ale jest nieco podstępna:
a) x + S(x) + S(S(x)) = 2023
Druga to dość twardy orzech, zagrażający oczopląsem i zapętleniem neurytów:
b) x + S(x) + S(x+S(x)) + S(x+S(x)+S(x+S(x))) = 2023.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Zadanie główne ma dwa rozwiązania, 1993 i 2011.
Wariacje:
a) Nie ma rozwiązań – wyrażenie x + S(x) + S(S(x)) zawsze daje liczbę podzielną przez 3.
b) Trzy rozwiązania: 1955, 1973 i 1991.
Zadanie ze „Świata Nauki”: 1993 i 2011.
Zadanie podstępne: przypuszczam, że trzeba wejść w inne systemy niż dziesiętny. Nie znam się na tym, więc zaproponuję coś mniej poważnego:
-2036 + 11 + 2 = -2023
Zadanie zagrażające oczopląsem (o tak!): 1955, 1973 i 1991.
Jeśli chodzi o główne zadanie, x to może być 1993 lub 2011. Pamiętam, że to zadanie robiliśmy w głowach i mnie zajęło ono zaskakująco dużo czasu i ciągle się myliłem:)
Nad wariacją a) jeszcze pomyślę, ale na razie mam z nią taki problem, że uważam, że nie ma ona rozwiązania. Możemy osiągnąć wartość 2022 dla x = 1994, 2006, 2009, 2012, ale nie widzę rozwiązania dla 2023.
Ten wykres (mam nadzieję) ilustruje ten problem:
http://ersonasolidna.pl/lamiblog/20230715_Summa_summarum/20230715_summa_summarum.png
Wariację b) zostawiam sobie na później.
Zacznę może od środka, czyli od zadania 2. (a)): znana jest cecha podzielności przez 3, że liczba jest podzielna przez 3, jeśli jej suma cyfr dzieli się przez 3. Nieco rozszerzając, jeśli reszta z dzielenia przez 3 jest 1(2), to i reszta z dzielenia sumy cyfr przez 3 wynosi odpowiednio 1(2). Łatwo sprawdzić, że w związku z tym podana suma 3 liczb musi być podzielna przez 3, a więc nie może być 2023. 2022 jak najbardziej, w wielu przypadkach. Cdn.
Pierwsze zadanie ma 2 rozwiązania
1993
2011
W takiej postaci drugie nie ma żadnego. Chyba, że ukryte są dwa kolejne człony
x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x)))+ S(S(S(S(x)))) = 2023
1985
2003
Trzecie
1955
1973
1991
Nie jestem pewny, czy dobrze dobrze rozumiem ‚sumę cyfr liczby n’; jeżeli S(2023) rozumiemy jako 7, to wtedy 1955, 1973, 1991 rozwiązują punkt b.
Przykładowo, dla 1955 składniki summy to 1955 + 20 + 22 + 26.
W takim zjadaniu własnego ogona (uroboros) C lub Java są niezastąpione (niezapętlone).
x = 2011 lub x = 1993 (2011+4+4+4=2023 i 1993+22+4+4=2023)
b) 1991 (1991+20+4+8=2023)
Zadanie podstawowe (ze ŚN):
x=1993 lub x=2011
Wariacja pierwsza:
Takiego x nie ma.
Rachunkiem modulo 3 pokazujemy, że [x mod 3] = [S(x) mod 3], skąd wynika, że również [S(x) mod 3] = [S(S(x)) mod 3].
A zatem x + S(x) + S(S(x)) = (3*a+r) + (3*b+r)+ (3*c+r) = 3*(a+b+c+r).
Więc 2023 musiałoby być podzielne przez 3 a nie jest.
Wariacja druga:
x=1955 lub x=1973 lub x=1991
Rozwiązanie pierwszego zadanie to : 1993 i 2011.
Rozwiązań drugiego zadania nie znalazłem, wydaje mi się że nie ma takich liczb..
Na trzecie zabrakło sił 😉
@najnowszy Omnibus
Miałem początkową trudność względem „Kreskówek” – moja pamięć z prawniczą bezwzględnością podpowiadała mi, że trzy odcinki leżące na jednej prostej SĄ równoległe.
Istotnie, sformułowanie w instrukcji jest nieścisłe. Ale z przykladu wynika, że chodzi o równoległość niewspóliniową.
mp
Zadanie podstawowe:
1993,2011
Wariacja 1:
(Podstęp polega na tym, że w układzie dziesiętnym nie ma rozwiązań.)
Przykładowe wartości X dla innych systemów liczbowych (system,X):
3,2013
5,2009
6,2006
6,2016
8,2002
9,1997
Wariacja 2:
Jeśli mnie oczopląs nie myli, to są trzy rozwiązania w systemie dziesiętnym:
1955,1973,1991
Dla x + S(x) + S(x+S(x)) + S(x+S(x)+S(x+S(x))) = 2023 x=1955
Napisany na kolanie program wykazał:
– w zadaniu podstawowym x=1993 lub x=2011
– w wariacji a) brak rozwiązań
– w wariacji b) x=1955, x=1973 lub x=1991.
Wszystko przy założeniu że mówimy o liczbach naturalnych zapisanych w systemie dziesiętnym.
Zadanie 2-kropki. To z fioletowym tłem ma dwa rozwiązania.
XXXOOOXXXO
OOOOXOOXXO
XOOOXXXXOO
XXXOXOXOOO
XOOOOOOOXX
OOXOOOXXXX
OXXXOOXOXO
OXOOOXXOOO
OXXOOOXOOO
OOXOXOOOXO
XXXOOOXXXO
OOOOXOOXXO
XOOOXXXXOO
XXXOOXOOOO
XOOOOOOXXX
OOXOOOXXXX
OXXXOOXOXO
OXOOOXXOOO
OXXOOOXOOO
OOXOXOOOXO
Proszę zwrócić uwagę na czwarty i piąty wiersz od góry.
Zobaczyć linię można po zamalowaniu pól z „X” albo z „O „.
Wypada dodać, że uwaga dotyczy zadania w „Omnibusie”. Istotnie, różnica subtelna, ale jest.
mp
2-kropki z „Omnibusa”. Zadanie potwór (pomarańczowe tło) ma więcej niż jedno rozwiązanie. Poniżej inne rozwiązanie niż zamieszczone w Omnibusie.
XXXOXXXOOXXXXXXXXXOXXXOOX
OXOOOOXXOXXXXXXXXOOXOXOXX
OOOOXXXOOXOOOXOXXXOOOOOOX
OOOXXXXXOOOOOOOXOOOOXOXOO
XOXXXOXXXOOOOXOXXOOXXOXXX
OOOOOOOXOOOXXXXXXXXXOOOXO
XXOOOOOXXOXXXXXXXOOOOOOOO
OOOOOOOXXOOXXXXOOOOOOOOOX
XXXOOOXXXXOXXXXOOOOOOOOXX
OOOOOOXOXOOXXXOOOXXXOOOOO
XOXXXXXOOOOOXXXOOOXXOXXOX
OOOXOOOOOOXXXXXXXOOXXXXXX
OOOOOXXXXOOOOOXOOOOXXOXOX
OXOOXXXOXOXOXOOOOXOOOOOOO
XXOOOXOOOOXXXXOOOXXXXOXOX
Jedno z początkowych zadań „Elki” też ma dwa rozwiązania – nie mam w tej chwili przy sobie egzemplarza.
W jakimś sensie dodaje to wartości , bo akurat w elkach polubiłem to, że niektóre z kształtów są „ukryte” / nieoznaczone itp
Wariant b: 1955, 1973 lub 1991
Zastanawiam się, które rozwiązanie można tu przeoczyć, nie ma ich aż tak wielu, mnie wychodzi, że dwa: 1993 i 2011. Jak już pisałem, zadanie z trzema składnikami rozwiązań nie ma. Zadanie ostatnie: 1955, 1973, 1991, jak coś nie tak, to się chętnie usprawiedliwię oczopląsem.
W ramach uzupełnienia wariacji a, poniżej dowód znaleziony na ławeczce podczas spaceru po parku. Sądząc po charakterze pisma, to ktoś z Mokotowa przechadzał się po Kabatach i wywód na karteczce wypadł z kieszeni.
Niech r = reszta z dzielenia x przez 3 (x modulo 3 albo mod(x,3))
r = x modulo 3 = S(x) modulo 3 (dowód na to, że tak jest, zmieściłem tu, bo trudno posługiwać się indeksami w komentarzu: http://ersonasolidna.pl/lamiblog/20230715_Summa_summarum/20230715_dowod_modulo.pdf)
Sumę trzech liczb x + S(x) + S(S(x)) można więc przedstawić tak:
3k + mod(x,3) + 3m + mod(S(x),3) + 3n + mod(S(S(x)),3) = 3k + r + 3m + r + 3n + r = 3 * (k + m + n + r)
k, m i n to części liczb x, S(x) i S(S(x)) podzielne przez 3.
Suma k + m + n + r to oczywiście liczba naturalna.
2023 nie jest podzielna przez 3, więc nie może być wyrażona jak jako 3 (k + m + n + r).
@ ersonasolidna
Historia z karteczką podobna do tej sprzed 100 lat co się wydarzyła na krakowskich plantach 😉
@Spytko
Ha ha, cóż za skojarzenie! Gdyby tylko móc dorównać Steinhausowi i Banachowi 🙂 Choć w sumie koleżanka od dowodów wcale nie jest taka odległa, a przynajmniej czasami mam takie wrażenie…
Mimo rzutu na taśmę nie zdążyłam, ale chociaż podzielę się rozwiązaniem b.
a) Tak samo jak wszyscy: 1993, 2011
c) 1955, 1973, 1991
b)
2012 + 10 + 1 = 2023
1767 + 25 + 7 = 2023
2005 + 7 + 7 = 2023
Bazy łatwe do odgadnięcia.
It’s worth noticing that ChatGPT, after specifying the task, takes a few seconds to write Perl code to find the solution:
# A Perl program to solve the equation x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 2023
# where S(n) is the sum of digits of n
# A subroutine to calculate the sum of digits of a positive integer
sub sum_of_digits {
my $n = shift; # get the argument
my $sum = 0; # initialize the sum
while ($n > 0) { # loop until n is zero
$sum += $n % 10; # add the last digit to the sum
$n /= 10; # remove the last digit from n
}
return $sum; # return the sum
}
# A subroutine to check if a positive integer satisfies the equation
sub check_equation {
my $x = shift; # get the argument
my $s1 = sum_of_digits($x); # calculate S(x)
my $s2 = sum_of_digits($s1); # calculate S(S(x))
my $s3 = sum_of_digits($s2); # calculate S(S(S(x)))
return ($x + $s1 + $s2 + $s3 == 2023); # return true if the equation holds, false otherwise
}
# A loop to find all possible solutions in the range [1, 2023]
for (my $x = 1; $x <= 2023; $x++) {
if (check_equation($x)) { # if x satisfies the equation
print "$x\n"; # print x
}
}
Na dole komentarza Andrew_W szukałem gwiazdek z dopiskiem: „This comment was written by ChatGPT”.
Nie znalazłem.
Hmm.