Składniki pierwsze
Iloczyn liczb pierwszych liczbą pierwszą oczywiście być nie może, ale suma i owszem. Jeśli składniki mają być dwa, to jednym z nich musi być dwa (np. 2+3=5). Ogólnie: jeśli liczba składników będzie parzysta, to aby suma mogła być liczbą pierwszą (warunek konieczny), wśród składników powinna być nieparzysta liczba liczb 2.
Jedna dwójka występuje, jeśli suma pierwsza ma być wynikiem dodawania n różnych kolejnych początkowych liczb pierwszych. Tak jest dla n=2, 4, 6, 12 i 14:
2+3=5
2+3+5+7=17
2+3+5+7+11+13=41
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37=197
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43=281
Następna suma, która jest liczbą pierwszą, wymaga wielkiego skoku – trzeba dodać jeszcze 46 kolejnych liczb pierwszych (n=60), aby sięgnąć pierwszości równej 7699.
Ciekawy problem pojawia się, jeśli pominąć dwa warunki:
– składniki nie muszą być liczbami pierwszymi kolejnymi (ale pierwszymi być muszą),
– suma nie musi być liczbą pierwszą.
Zamiast tego należy przyjąć warunek następujący:
– składniki muszą składać się z różnych cyfr, np. dziewięciu – od 1 do 9. Jaka będzie wówczas najmniejsza suma? Okazuje się, że dodawanie wygląda tak: 2+5+7+43+61+89=207.
Zadanie domowe: jak będzie wyglądać analogiczne działanie (najmniejsza suma) ze składnikami zawierającymi dziesięć różnych cyfr?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Na szybkiego wydedukowałem, że 503 lub 509 musi być liczbą trzycyfrową. Wtedy są cztery rozwiązania z sumą 702:
2+41+67+89+503
2+47+61+89+503
2+47+61+83+509
2+41+67+83+509
To zadanie brzmiało mi jakoś dziwnie znajomo, więc musiałem coś sprawdzić – i faktycznie, zadanie to już pojawiło się wcześniej na Łamiblogu, a konkretnie we wpisie „Zbiory dwa” z 15 lutego 2018 roku 😉
Cóż, przy blisko 1200 wpisach to się może zdarzyć. Gratuluję pamięci – zwłaszcza długotrwałej.
mp
No to podniosę stawkę.
Mam trzy szóstki więc zablefuję tak:
2+5+83+109+467=666
Rozwiązanie powinno być takie, że mamy jak najwięcej liczb pierwszych jednocyfrowych, jedną trzycyfrową, bo tego wymaga obecność zera (koniecznie na pozycji dziesiątek w takiej liczbie), i z tego co zostanie należy utworzyć liczby dwucyfrowe xy, gdzie y jest liczbą oczywiście nieparzystą, a x parzystą, bo nie można marnować liczb nieparzystych na cyfrę dziesiątek. No to mamy: 401, 2, 3, 5, 67, 89, w sumie 567. Inną liczbą pierwszą 40x jest 409 i tu może być taka roszada, że 7 wskakuje jako jednocyfrowa pierwsza, poza tym mamy 61 i 83, wychodzi tyle samo. Żadna liczba postaci 20x nie jest liczbą pierwszą, a co do 10x (i 30x), to zabiera za dużo nieparzystych, jest problem z 5, która musi być wtedy solo, i mamy za dużo „wolnych parzystych”.
Myślę, że najmniejszą sumą jest
2+3+5+67+89+401=567
Pierwszy wynik xswedc’a mogę poprawić ale nie badałem czy to ‚minimum globalne’
2 + 3 + 5 + 67 + 89 + 401 = 567
Mój komputer dedukował lepiej, niż ja:
401+89+67+5+3+2=567
409+83+61+7+5+2=567
Dwa rozwiązania z sumą 567:
A jeśli dodać do zbioru prime 1, to i tak można
409 + 83 + 61 + 7 + 5 + 2 = 567
401 + 89 + 67 + 5 + 3 + 2 = 567
Przebijam: 5 + 41 + 67 + 83 + 209 = 405
No comment. Be the first to find the bug.
mp
209 nie ma na mojej czekliście.
Oj tam, oj tam, przecież 209 trudno podejrzewać o to, że nie jest pierwsza, a jednak 🙂
209
2+5+7+61+83+409=567
lub
w innej (połowicznej) konkurencji
4+9+10+26+38+57=144
Uwolnione jako dodatkowa zagadka: co oznacza „połowicznej”?
mp
2+3+5+67+89+401=567
W ramach wymyślonej przez @Spytko z Melsztyna kategorii „Oj tam, oj tam”:
89+3+5+7+2+461=567
Połowicznej oznacza, że wykorzystano liczby półpierwsze, czyli będące iloczynem dokładnie dwóch liczb pierwszych. Artykuł ze „Świata Nauki” się kłania 🙂
Co oznacza „połowicznej”?
Warunki zadania są takie same jak te w zadaniu domowym, ale z jedną różnicą. Zamiast liczb pierwszych składnikami są liczby półpierwsze.
A analogiczne zadanie dla dwóch składników ?
Zadanie Andrzeja111 ma drobną ułomność. Liczby pierwsze tworzące składniki powtarzają się. Jakie będzie rozwiązanie dla różnych primów? Bez użycia komputera dość szybko znalazłem sumę 891. Istnieją mniejsze? Ile?
W zadaniu z przykładu mamy małego byczka, liczby sumują się do 207 ( a nie 209):
2+5+7+43+61+89=207. Ale są jeszcze dwa rozwiązania o tej sumie:
2+3+5+41+67+89=207
2+3+5+47+61+89=207
Byczek poprawiony.
mp
Zadanie domowe ma dwa rozwiązania:
2, 3, 5, 67, 89, 401
2, 5, 7, 61, 83, 409
Oba sumują sie do 567.
Zadanie domowe dla dwóch składników (liczb pierwszych):
23687 + 10459 = 34146
Zabawiłem się w rozwiązywanie zadania dla (kolejno) cyfr od 1 do 8:
1 – nie może być
2 – nie może być
3 – 2, 13
4 – 2, 431
5 – 2, 3, 5, 41
6 – 2, 5, 43, 61
7 – 2, 5, 7, 43, 61 (lub 2, 3, 5, 47, 61, lub 2, 3, 5, 41, 67)
8 – 2, 5, 47, 61, 83 (lub 2, 5, 41, 67, 83)
I od 0 do 8:
0, 1, 2 – nie może być
3 – 2, 103
4 – 2, 3, 401
5 – 2, 3, 5, 401
6 – 2, 5, 43, 601
7 – 2, 3, 5, 67, 401
8 – 2, 5, 67, 83, 401
A czy ktoś poda największą sumę liczb pierwszych, zawierających niepowtarzające się cyfry 0-9?
@aps1968
987654103+2
@apartado
Mnie też tak wyszło 🙂
@aps1968
Bardzo fajne wyjaśnienie toku rozumowania! Zwłaszcza niemarnowanie liczb nieparzystych na cyfrę dziesiątek mi się podoba.
@ersonasolidna
Dzięki. Oczywiście i tak trzeba sprawdzić dokładnie, bo nieraz zdarzają się niespodziewane wyjątki 🙂