Talary
Tegoroczny Omnibus wakacyjny otwiera nietypowy wstępniak. Jest nim zadanie matematyczne z janosikową fabułką – nielekkie, niełatwe i… przyjemne (przynajmniej w lekturze). Ściśle rzecz biorąc, to orzeszek dość żmudny obliczeniowo, choć wzór ostateczny, dający rozwiązanie, jest zaskakująco prosty. Wśród posiadaczy Omnibusa, są zapewne osoby, które już się z tym zadaniem zmierzyły z powodzeniem. Tym zaś z Państwa, którzy jeszcze Omnibusem nie dysponują, proponuję zapoznanie się z poniższym duplikatem. W Omnibusie rozwiązania nie ma, ale spodziewam się, że nie zabraknie go w komentarzach. Mile widziane będą także zwięzłe prezentacje toku rozwiązywania.
Pięciu zbójników z bandy Janosika – Kwiczoł, Pyzdra, Gąsior, Kuśmider i Wróblik – napadło na karetę hrabiego Horvatha. W karecie znaleźli worek pełen talarów (wyłącznie monety o wartości jednego talara), które hrabia wiózł do banku. Hrabiego puścili wolno, a worek zabrali i dogadali się, że harnasiowi i innym zbójom nic o tym nie powiedzą, tylko w sekrecie podzielą łup równo między siebie. Było już późno, więc ukryli worek w pobliskiej jaskini z zamiarem dokonania podziału następnego dnia rano.
Kwiczoł obudził się o północy i postanowił, że nie będzie czekał do rana, tylko już teraz weźmie sobie swoją działkę. Poszedł do jaskini, wysypał wszystkie talary i podzielił je na pięć stosów – w każdym było tyle samo monet, ale jeden talar został poza stosami, więc wziął go z zamiarem wrzucenia jako datku do kościelnej skarbony. Potem zabrał jeden stos, a cztery pozostałe wsypał z powrotem do worka. O pierwszej w nocy obudził się Pyzdra i postąpił dokładnie tak samo jak Kwiczoł – z dokładnością do jednego talara pozostałego z podziału i zabranego na zbożny cel. O drugiej w nocy obudził się Gąsior, o trzeciej Kuśmider, a o czwartej Wróblik – i każdy z nich wykonywał czynności identyczne jak poprzednicy, uwzględniając pozostającą zawsze jednotalarową resztę. Wprawdzie Gąsior, a zwłaszcza Kuśmider i Wróblik byli nieco zdziwieni zbyt małą – jak im się wydawało – zawartością worka, ale nie mieli pewności, czy istotnie początkowo był on cięższy, bo żaden z nich nie niósł zdobyczy do jaskini.
Ile talarów wiózł hrabia do banku, jeśli była to liczba 4-cyfrowa, zaś po wizycie w jaskini Wróblika w worku pozostała kwota będąca dokładnie wielokrotnością pięciu?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
3121 monet. Po kolejnych podziałach zostaje 2496, 1996, 1596 , 1276 i ostatecznie 1020.
Hrabia wiózł 3121 talarów.
3121
Żmudność obliczeniową powierzyłem arkuszowi.
3121
‚Kontrybucja’ od Jaśnie Oskubanego mogła wynosić 2496, 5621 lub 8746 talarów.
Po wizycie W. w worku zostaje 1020, 2300 lub 3580 talarów.
Rozwiązanie polega na czterokrotnym odjęciu jedności od pozostałej kwoty (zaczynając od ‚kontrybucji’, która musi być w przedziale od 1000 do 9999) i pomnożeniu jej przez 0.8 (bo każdy zabiera swoją piątą część łupu), a na koniec sprawdzeniu, która finalnie pozostała kwota dzieli się przez 5 bez reszty.
Wynik: 3121 talarów
Brali kolejno wliczając talara „na ofiarę”: 625, 500, 400, 320, 256, zostało 1020
Pewnie da się to wydedukować, ale ja rozpisałam długie równanie uproszczone do:
gdzie 4*x oznacza 1/5 reszty (bo reszta musi się dzielić przez 4).
I ponieważ musi to być liczbą naturalną, to z uwagi na to, że 5 jest liczbą pierwszą
oznacza że (5x+1) musi być wielokrotnością 4^4=256, a więc już pierwsza wartość to x=255/5=51
(kolejna wielokrotność jest dla x=307, a to już oznacza 18746 talarów czyli powyżej 4 cyfr).
@Adaś
IMHO to raczej „redystrybucja” definiowana w necie jako:
Redystrybucja – ponowny transfer dochodu, majątku lub nieruchomości od jednego podmiotu do drugiego spowodowane przez odpowiedni mechanizm społeczny mający niwelować nierówności społeczne.
Idealnie pasuje do treści zadania.
W worku zostało 1020 talarów z 3121 początkowych.
Hrabia wiózł 3121 talarów
3121
Rozwiązuje się od tyłu: piąty zbójnik zostawia po sobie liczbę podzielną przez 5, czyli 5k talarów.
Czwarty zbójnik zostawił to, co piąty, razy 5/4, plus 1. Gdyby przykładowo zostawił 26 talarów, to piąty odłożyłby 1, zgarnął 5, i zostałoby 20, czyli liczba podzielna przez 5. Ale był wcześniej trzeci, który zostawił to, co czwarty, razy 5/4 plus 1. Tu już się nie zgadza, bo musiałoby to być 33,5 talara. Liczbę całkowitą talarów musiał zostawić także drugi i pierwszy.
Dla kolejnych k (w przykładzie powyżej k było równe 4) sprawdza się, czy 5k*1,25+1, (5k*1,25+1)*1,25+1, etc, tak 5 razy, czy więc wszystkie te liczby są całkowite. Można to zrobić na przykład w excelu. Jedyną pasującą liczbą wyjściową czterocyfrową jest 3121 talarów.
Pierwszy zbójnik wziął 3120/5 = 624, zostało 2496.
Drugi wziął 2495/5 = 499, zostało 1996.
Trzeci wziął 1995/5 = 399, zostało 1596.
Czwarty wziął 1595/5 = 319, zostało 1276.
Piąty wziął 1275/5 = 255, zostało 1020 – liczba podzielna przez 5, k = 204.
Liczba 3121 = 5^5 – 4. Przy 3125 talarach każdy po prostu wziąłby 1/5 i jeden talar reszty by nie zostawał.
Talarów było 3121.
Nie zgadza mi się część fabularna zagadki. Waga talara to około 27,2 g. Więc cały worek ważył około 85 kg.
Ponieważ zbójnicy puścili wolno hrabiego, z niesienia worka zostali wyłączeni Gąsior, Kuśmider i Wróblik (wynika to z treści zagadki) a Pyzdra był słabeusz, to nieść go mógł tylko Kwiczoł. Ale Kwiczoł był zastępcą harnasia, więc z racji stanowiska nie mógł dźwigać takiego ciężaru. To kto przydźwigał worek do jaskini?
Rozwiązanie tego zadania można znaleźć m.in. na stronie https://en.wikipedia.org/wiki/The_monkey_and_the_coconuts
To proste: worek sam przyszedł do jaskini, bo go zbójowie piknie poprosili:)
mp
Hrabia wiózł 3121 talary, a po Wróbliku zostało 1020 talarów.
Zacząłem najpierw od wyjściowej liczby talarów (x), ale obliczenia były nieeleganckie i raczej męczące, więc odwróciłem kolejność i zacząłem od tego, co zostaje po splądrowaniu (y). I tu wychodzi ładny rekurencyjny wzór:
x = (5/4*(5/4*(5/4*(5/4*(5/4*y+1)+1)+1)+1)+1)
Po przekształceniu dostajemy
3125y+8404=1024x
Teraz trzeba poszukać rozwiązań całkowitych tego równania. Są trzy pary, (3121, 1020), (6246,2044) oraz (9371,3068), z których tylko pierwsza daje y podzielne przez 5 i to jest jedyne rozwiązanie.
Oczywiście powstaje pytanie, jak się w ogóle zabrać do szukania tych rozwiązań – przecież to nie układ równań, tylko jedno równanie i jakieś poszlaki dotyczące podzielności y oraz zakresu wartości x i y, które wynikają z treści zadania. Przez wypowiedź Adasia trafiłem (po prostu mając szczęście) szybko na tę właściwą parę 3121, 1020, którą przyszło mi do głowy sprawdzić dlatego, że współczynnik przy x (1024) był bliski tej liczbie i pomyślałem, że to jakiś celowy zabieg. Ale mimo poszukiwań nie znalazłem fajnego i systematycznego sposobu na wyłuskanie wszystkich rozwiązań w elegancki sposób, więc na koniec zrobiłem jeszcze excelowe sprawdzenie, czy coś mi nie umknęło.
3121
y – stan po, x – stan przed
1024* x – 3125 * y = 8404
Odjemna i odjemnik to duże liczby, a różnica w porównaniu do nich – mała.
Mogłaby być równa zeru.
1024* 3125 – 3125 * 1024 = 0
Przypuszczam, że poszukiwane x i y będą tylko nieznacznie różne od x=3125 i y=1024.
Przywróćmy różnicy wartość 8404 modyfikując x=3125 i y=1024.
Zmiana „x” o jeden wywoła zmianę w różnicy o 1024, a zmiana „y” o jeden – zmianę o 3125.
„Trzy kroki do przodu(?) i jeden do tyłu” (3125-1024 = 2101) zwielokrotnione do czterech razy (2101*4 = 8404) zapewnią oczekiwany wynik odejmowania.
1024* (3125-4) – 3125 * (1024-4) = 8404
x=3121, y=1020
Hrabia wiózł 3121 talarów.
Robimy równanie
(((((t-1)*0.8-1)*0.8-1)*0.8-1)*0.8-1)*0.8=5*c
gdzie:
t – ilość szukanych talarów
c – jakaś liczba całkowita
Po przekształceniu i wyprowadzeniu t otrzymujemy
t=(15625*c+8404)/1024
Możemy licznik i mianownik podzielić przez 4
t=(15625*c/4+2101)/256
15625 to inaczej 5^6 (5 do potęgi 6) i nie jest podzielne przez 4 ani nie ma wspólnych dzielników z liczbą 4. Skoro t, 256, 2101, 15625 i c są liczbami całkowitymi to również wyrażenie c/4 musi być liczbą całkowitą i przez to zamieniamy ją na inną liczbę całkowitą d i otrzymujemy
t=(15625*d+2101)/256
Reszta z dzielenia liczby 15625 przez 256 to 9, a z liczby 2101 to 53 przez co powstaje nowe równanie
256*k=9*d+53
gdzie:
k – to wielokrotność liczby 256 też wyrażona jako liczba całkowita
Po podstawieniu za k wartości 1 otrzymujemy d równe 203/9 co nie jest liczbą całkowitą i jest błędnym rozwiązaniem.
Po podstawieniu za k wartości 2 otrzymujemy d równe 51 co już jest właściwym rozwiązaniem.
Podstawiając d=51 pod równanie
t=(15625*d+2101)/256
otrzymujemy ilość talarów t=3121
Odpowiedź to: 3121 talarów.
Dla większej radości z rozwiązywania najpierw rozwiązałam ogólny problem z n zbójnikami postępującymi jak w zadaniu i z warunkiem, że zostająca na końcu liczba talarów jest podzielna przez n. Doszłam do wzoru:
[n^(n+1)]*w+[(-1)^(n+1)]*(n^n)-(n-1),
gdzie w>=2 dla n=2; w>=0 dla n nieparzystych; w>=1 dla n parzystych.
Następnie wstawiłam n=5 i w=0 i dostałam odpowiedź do zadania.
Zwięzły tok rozumowania:
-końcowa liczba talarów musi być wielokrotnością n (treść zadania) i n-1 (bo zbój zabiera 1/n, czyli zostawia (n-1)/n),
-każda zostawiana przez poprzednich zbójów liczba musi być wielokrotnością n-1,
-wykorzystujemy dwa powyższe warunki oraz fakt, że poprzednie liczby powstają przez podzielenie aktualnej przez n-1, pomnożenie przez n i dodanie 1 i jeśli znamy szkolny wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego, to po chwili rachunków mamy wzór na końcową liczbę talarów przy n zbójach,
-mając wzór na końcową liczbę talarów dość łatwo dostajemy wzór na początkową liczbę.
Dla zainteresowanych wrzucam wyprowadzenie wzoru od @ejsj na ogólnione rozwiązanie n zbójów (ja tylko użyczam miejsca na serwerze):
https://ersonasolidna.pl/lamiblog/20230701_Talary/Talary_ejsj.pdf
Błąd w linku, powinno być bez https:
http://ersonasolidna.pl/lamiblog/20230701_Talary/Talary_ejsj.pdf
Prosty wzór idzie na skróty.
5000