Skąd błąd?

W roku 1738 Euler wykazał, że istnieje tylko jedna para kolejnych liczb naturalnych dodatnich takich, że jedna z nich jest kwadratem, a druga sześcianem. Inaczej mówiąc, udowodnił, że równanie
y2 = x3 ± 1
będące szczególnym przypadkiem późniejszej hipotezy Catalana (od roku 2002 twierdzenia Mihăilescu) dla liczb całkowitych x>0 i y>0 ma tylko jedno rozwiązanie.
Właściwie dowody były dwa – każdy dotyczył „połowy” powyższego równania. Uporanie się z wariantem y2 = x3 + 1 jest dość proste, choć nieelementarne. Natomiast w przypadku równania y2 = x3 – 1 dowód Eulera był bardziej skomplikowany i nieefektywny, bo prowadził do wniosku: rozwiązania brak (x=1, y=0 pomijamy). W następnych latach, a właściwie wiekach, niektórzy teoretycy liczb uznali, że warto szukać dowodu bardziej eleganckiego, korzystającego z metod matematyki elementarnej. Przed niespełna półwieczem pojawił się zaskakująco prosty i sprytny dowód dotyczący efektywnego wariantu y2 = x3 + 1, ale – jak się poniewczasie okazało – nieco ułomny. Oto on.
Przekształcamy prawą stronę równania:
y2 = x3 + 1 = (x +1)(x2 – x + 1) = (x + 1)2[x – 2 + 3/(x+1)]
Skoro x i y mają być liczbami całkowitymi dodatnimi, to taką liczbą musi być także wyrażenie 3/(x+1), a to jest możliwe tylko dla x=2. Wówczas lewa strona równania będzie równa 9, a więc tyle wynosi y2, czyli y=3.
Wynik (x=2, y=3) jest oczywiście poprawny, ale egzamin polegający na przeprowadzeniu dowodu nie został zaliczony. Wskazanie błędu w dowodzie nie jest łatwe, ale może ktoś z Państwa trafi w sedno.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.