Sposób na k

Liczbomania lub cyfromania to przypadłość dość typowa i mająca niejedno imię. W matematyce rekreacyjnej obejmuje ciekawostki arytmetyczne powielane od dziesięcioleci w popularnych publikacjach. Postanowiłem dorzucić coś do tego panopticum.
Po podniesieniu liczby naturalnej dodatniej n do kwadratu otrzymujemy liczbę n2=k. Oznaczmy przez Sk sumę cyfr liczby k a przez Ik iloczyn cyfr tej liczby. Pytanie jest następujące: czy Sk lub Ik może być równe n?
Z sumą sprawa jest prosta. Sk=n tylko dla n=1 lub 9, a dla każdego n>17 suma Sk<n, czego nietrudno dowieść.
Problem z iloczynem jest trudniejszy i ciekawszy. W grę wchodzą tylko liczby n złożone oraz tylko takie liczby k= n2, które nie zawierają zera. Prawdopodobnie nie ma takiej liczby n>1, która byłaby równa iloczynowi cyfr jej kwadratu. Czy ktoś potrafi dowieść tej hipotezy (albo znajdzie przykład, który ją obali)?
I jeszcze eksponat do gabinetu osobliwości:
n=861 → n2=k=8612=741321 → Ik=nwspak=168

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.