Jeszcze 99
Postanowiłem pobuszować trochę wśród osobliwości 99. Nie ma ich wiele, więc zacznę od trywialnej i oczywistej: 99 jest największą liczbą 2-cyfrową w systemie dziesiętnym. Nie tak oczywistą, ale bardzo słabą osobliwość stanowi fakt, że 99 jest o 1 większe od podwojonego kwadratu, bo takich liczb do miliona mamy mnóstwo – tyle co kwadratów, czyli 1000. Za rodzynki w cieście można by natomiast uznać liczby, których do miliona jest 68, a do nich należy 99 jako suma sześcianów trzech kolejnych liczb (99=2^3+3^3+4^3). Jeszcze trochę większym rarytasem (54 liczby do miliona) jest 99 jako tzw. liczba Kaprekara, czyli takie x, którego kwadrat (a ściślej: zapis kwadratu) można „rozbić” na dwie liczby (dwa kawałki) dające w sumie liczbę x (99^2=9801, a 98+01=99).
Pora na ekstremalne kuriozum: 9+9=18, a 9*9=81. Zauważmy, że iloczyn jest „odwrotką” sumy. Proszę znaleźć inną, ale najmniejszą liczbę o takiej odwrotkowej własności sumy i iloczynu cyfr.
I jeszcze jedno zadanie domowe, ale moim zdaniem karkołomne, więc nadobowiązkowe:
Oto ciąg malejący zaczynający się od 99:
99, 57, 23, 1, 0.
Właściwie jest to końcówka ciągu, bo przed 99 „ukrywa się” jeszcze przynajmniej jedna liczba. Jaka, jeśli jest ona najmniejszą z możliwych?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
To pierwsze zadanie to chyba żart.
2+2=4
2*2=4
Chodzi oczywiście o odwrotkę, która różni się od „wprostki”.
mp
Zadanie z „odwrotką”: jeśli pominiemy trywialne przykłady, w których suma i iloczyn cyfr są jednocyfrowe (np. dla liczby 123), to najmniejszą kolejną będzie 1137: suma 12, iloczyn 21.
Zadanie z ciągiem: każda kolejna liczba jest sumą dzielników poprzedniej, nie wliczając jej samej. Przykładowo, dla 99 mamy dzielniki 1, 3, 9, 11, 33 i 99, których suma, z pominięciem 99, wynosi 57. Najmniejszą liczbą, której suma dzielników właściwych wynosi 99 jest 1501 (1 + 19 + 79 = 99).
Oczywiście rozwiązania znalezione z pomocą odpowiednich programów 😉
Pierwsze zadanie jest dość łatwe do ruszenia bez programu, ale drugie rzeczywiście – ani rusz.
mp
Czy takie liczby, jak 2403 i 4702, spełniają warunki zadania?
24 x 03 = 72; 24 + 03 = 27
47 x 02 = 94; 47 + 02 = 49
A może 0 jest niedopuszczalne?
Ciekawe, ale z zerem to jakby inna „konkurencja”.
mp
1137
Opracowałem przepis na takie liczby: na początek jedynki, a na końcu dwie cyfry, zapewniające różnocyfrowy dwucyfrowy iloczyn. Jedynek bierze się tyle, żeby suma była odpowiednia, na przykład 1111111111111134 – suma cyfr 21, iloczyn 12. Oczywiście można cyfry dowolnie przestawiać, ale chodzi o liczbę najmniejszą, więc jedynki muszą na początek. Zero naturalnie odpada. Podana wyżej liczba nie jest najmniejsza z możliwych, wystarczy wziąć 1137 i mamy znów 12 i 21, ale zamienione rolami, gdy chodzi o sumę i iloczyn. Sprawdziłem, że mniej się nie da.
243
472
odp. na karkołom to 1501
https://en.wikipedia.org/wiki/Aliquot_sum
Ola otrzymała dobre rozwiązanie. Niepotrzebnie wstawiła zero.
Są dwie pary rozwiązań (oprócz 99);
24,3
3,24
2,47
47,2
@Antyp
Wstawiłam 0, bo mi się wydawało, że liczbę trzeba rozdzielić na dwie równe części. Równe w sensie: mające po tyle samo cyfr. Nie wiem, skąd taka sugestia mi się wzięła.
Gratulacje dla wszystkich, którzy rozwiązali karkołoma (łukasz_m i bubka111). Wiele spacerów z psem spędziłem myśląc o regule, jaka tam występuje, ale nie byłem w stanie na to wpaść.
Tak się zniechęciłem, że porzuciłem nawet zadanie odwrotkowe:)