Obstawa 44
44 jest jak para goryli – stanowi dobry duet na obstawę lub eskortę. Wystarczy, że obie czwórki wezmą jak w kleszcze jakąś liczbę, np. 13 i powstanie liczba-konwój:
4134
Obstawę może tworzyć każda para jednakowych cyfr, natomiast konwój jest idealny, jeśli chroniona liczba jest jego dzielnikiem. Powyższy takim właśnie jest, ponieważ
4134/13=318
Nietrudno zauważyć, że:
– każdy konwój chroniący 13 jest idealny;
– w przypadku większości chronionych liczb konwój nie będzie idealny niezależnie od rodzaju obstawy, np. żadna para takich samych cyfr nie ochroni idealnie 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23,… itd., o zerze (zerach) nie wspominając.
44 jest dobrą obstawą, bo może konwojować idealnie stosunkowo dużo różnych liczb – konkretnie 18 nie dłuższych niż trzycyfrowe. Lepsze pod tym względem są tylko 66 (19 24) i 88 (22).
W ciągu liczb naturalnych takich, które nadają się do idealnego eskortowania przez jakąś parę, jest jednak bardzo mało – ciąg ten bardzo szybko rośnie i już np. 4-cyfrowa liczba jest tylko jedna – 9091 (każda para może ją konwojować idealnie).
(1) Jaka jest największa liczba 3-cyfrowa tworząca idealny konwój z obstawą 44?
(2) Jaka jest w ogóle największa liczba 3-cyfrowa, która może się znaleźć w idealnym konwoju?
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.
Komentarze
„żadna para takich samych cyfr nie ochroni idealnie 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23,? itd., o zerze (zerach) nie wspominając.”
Kłóci mi się tu potoczne rozumienie zwrotu „o tym (nawet) nie wspominając” z logiką, gdzie dla dowolnej liczby zera są idealnym konwojem dającym iloraz równy 10:) Pomijam fakt, że jeszcze trzeba znaleźć tu podmiot tego zdania:) Czy zera są konwojentem, czy konwojowane:)
Wiązie, mnie się nic nie kłóci, nie wspominając o tym, że w ogóle jestem mało konfliktowy 🙂
Wymieniam liczby, których nie sposób idealnie ochronić (konwojować) i dodaję, że nie wspominam o zerze (zerach) – pewnie trochę na wyrost, bo wiadomo, że przez zero nie dzielimy.
mp
548 w pierwszym pytaniu i 959 („obstawiane” przez 7) w drugim.
Dla 44 będzie to 548, a największa to 959 konwojowana przez 77.
Zdziwiłem się jak łatwo można policzyć to bez kalkulatora.
Wystarczyło rozbić 10001 na czynniki pierwsze, które w tym wypadku są tylko 2 73 i 137.
Piotr
Otóż właśnie. A w pierwszej chwili może się wydawać, że to zadanie dla programisty.
mp
Dla 137 każdy konwój jest idealny.
Odpowiedzi na pytania zadane we wpisie
1) 548 45484
2) 959 79597
Większe liczby, które można idealnie konwojować
19802 2198022
19802 4198024
19802 6198026
19802 8198028
29703 3297033
29703 6297036
29703 9297039
39604 4396044
39604 8396048
49505 5495055
59406 6594066
69307 7693077
79208 8792088
89109 9891099
Wydaje mi się, że 24 liczby mogą być obstawione przez szóstki. 😉 Odpowiedzi to: 548 i 959. Poniżej rozwiązanie – https://gist.github.com/3512891
Racja (mój błąd rachunkowy – zabrakło palców 🙂 ).
m
(1) 548: 45484 / 548 = 83
(2) 959: 79597 / 959 = 83
z pomocą przyszedł excel i kilka formuł
1) największa liczba trzycyfrowa konwojowana idealnie przez 44 to 548
2) największa liczba trzycyfrowa mogąca być idealnie konwojowana to 959 – obstawa 77
(1) 548
45484:548=83
(1) 548
(2) 959
45484/548 = 79597/959 = 83
a
c – cyfra obstawy (czyli 1,2,3,4,5,6,7,8 lub 9)
l – trzycyfrowa liczba chroniona
Idealny konwój można zapisać jako:
10000c+10l+c=kl
10001c=l(k-10)
Problem (1) i (2) sprowadza się więc do znalezienia (np. rozkładem na czynniki pierwsze) największego trzycyfrowego dzielnika liczby 10001c (w pierwszym zadaniu ta liczba to 40004). W drugim zadaniu szukany dzielnik pomoże znaleźć przekształcenie 10001c=73*137*c.
PS Wygląda na to, że powyższe rozumowanie ma zastosowanie dla dowolnych n-cyfrowych liczb chronionych np. w idealnym konwoju 2abcdefghij2 największa dziesięciocyfrowa liczba chroniona abcdefghij jest największym dziesięciocyfrowym dzielnikiem liczby 200000000002 (290909090912/32=9090909091).
A tutaj to samo rozwiązanie co wcześniej mieszczące się w treści komentarza: 😉
ideal o n = 0 == flip mod n ((read $ concat $ map show [o,n,o]) :: Integer)
answ01 = maximum $ filter (ideal 4) [1..999]
answ02 = maximum $ flip filter [100..999] $ \n -> or $ map (flip ideal n) [1..9]