Własne bis
Przypomnę: liczba własna to taka, która nie może powstać z mniejszej liczby wzbogaconej o sumę jej cyfr. Na przykład, 13 nie jest liczbą własną, bo 11+1+1=13, ale 31 – i owszem, własną jest.
2314 i 7115 są liczbami własnymi, które mają cechę „A”: tworzące je cyfry można podzielić na dwie spójne grupy tak, że suma cyfr w każdej grupie będzie taka sama (2+3=1+4; 7=1+1+5).
2503 i 4125 są liczbami własnymi, które mają cechę „B”: tworzące je cyfry można podzielić na dwie grupy, z których przynajmniej jedna nie będzie spójna – tak, że suma cyfr w każdej grupie będzie taka sama (2+3=5+0; 4+2=1+5).
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Diabeł i raj Katarzyny Gärtner
83-letnia dziś Katarzyna Gärtner, słynna kompozytorka „Małgośki” i wielu innych przebojów, tuła się po domach przyjaciół i stara odzyskać dom, studio oraz swój dorobek artystyczny.
Dwa (a właściwie cztery) koszmarne (b. trudne do rozgryzienia na piechotę) pytania:
1. Jaka jest najmniejsza liczba własna typu „A”, która jest o jeden mniejsza od liczby, która:
a) ma cechę „A”?
b) ma cechę „B”?
2. Jaka jest najmniejsza liczba własna typu „B”, która jest o jeden mniejsza od liczby, która:
a) ma cechę „A”?
b) ma cechę „B”?
Komentarze
1.
a) 6419
b) 4619
2.
a) 1559
b) 1649
Ad 1a: 6419
Ad 1b: 4619
Ad 2a: 1559
Ad 2b: 1559
1560 ma podział typu A (15)(60) i B (150)(6)
Bez komputera, to nawet nie mam pomysłu jak się za to zabrać
A komputer znalazł następujące rozwiązania (program pisałem na szybko i mam nadzieję, że nie zrobiłem błędów):
1a. 6419
1b. 4619
2a. 1559
2b. 1559
Liczby własne od paru dni uczą mnie pokory, ale spróbuję. Zaczynając od A-liczby własnej n, której n+1 spełnia warunek A.
Przeważnie dodając 1 do liczby otrzymujemy liczbę, której suma cyfr większa jest od wyjściowej o 1. Liczba typu A musi mieć sumę cyfr parzystą, tak więc te przypadki odpadają. Ale jeśli liczba własna kończy się cyfrą 9, to liczba większa o 1 ma sumę cyfr mniejszą o 8. Co daje bingo, bo w przypadku liczby czterocyfrowej zakończonej na 9 i mającej jako trzecią cyfrę od końca 4, mamy o co chodzi, np. 5409+1 = 5410 – jak widać warunki są spełnione, ale 5409 nie jest liczbą własną. Jest nią natomiast 6419, i takie moje rozwiązanie przypadku A/A. Ciąg dalszy powinien nastąpić.
Super! Obawiam się jednak, że dla wszystkich czterech przypadków na piechotę tak łatwo nie pójdzie.
mp
W poprzedniej odpowiedzi trochę mi się upiekło, bo później spostrzegłem, że mogą być przypadki typu 5229, a nawet jeden 3-cyfrowy, czyli 549, gdzie sama dziewiątka tworzy grupę. Na szczęście żadna z tych pominiętych liczb nie okazała się liczbą własną.
Co do cechy B, to zauważmy, że 3-cyfrowe liczby tutaj odpadają. Nadal obowiązuje reguła ostatniej cyfry 9, a jedyna możliwość to suma pierwszej i trzeciej cyfry, dająca drugą cyfrę. Pierwsza cyfra musiałaby być zerem, np. 099, a jak wiadomo, jest to bez sensu. Nawet i tutaj byłaby to jednak liczba właściwie o cesze A, a jak rozumiem liczba B to taka, która nie ma cechy A, a więc np. 4444 potraktowalibyśmy jako liczbę A, a nie B.
Taki ciekawy ciąg mi się znalazł liczb własnych, mianowicie 1199, 1289, 1379, 1469, 1559… nie wiem na razie, kiedy się kończy, bo poprzestaję na 1559. Wszystkie liczby mają cechę B, ale 1560 ma cechę A, tak więc 1559 jest rozwiązaniem punktu 2a. Cdn.
Już następna z mojego ciągu liczb w poprzednim wpisie spełnia nasze życzenie: 1649. To przypadek 2b, czyli B/B. Cdn.
Czwarty wynik to permutacja dwóch poprzednich: 4619. Ciekawe, że jeden wynik, czyli 1559, wyłamał się. A też ciekawe, że wszystkie permutacje 1, 6 i 4, jeśli 9 jest na końcu, dają liczbę własną.
A ciekawe, czy da się udowodnić, że jeśli liczba n jest własna, to liczba n+1 (a tym samym n-1) na pewno własną nie jest. Wydaje się to prawdziwe, i oczywiste (alternatywnym zadaniem byłoby znalezienie kontrprzykładu), ale od strony formalnej zapewne nie jest łatwe, przynajmniej dla mnie.
@aps> Na 95% mogę to udowodnić
Otóż w każdej dziesiątce liczb n0, n1, … , n9 jest albo 5 nieparzystych, które na pewno nie są własnymi, albo 5 parzystych, o ktrych tez wiadomo, że własnymi nie są. Przykładowo (liczba w nawiasie oznacza generator):
21(15), 23(16), 25(17), 27(18), 29(19)
30(24), 32(25), 34(26), 36(27), 38(28)
41(34), 43(35), 45(36), 47(37), 49(38)
itd.
Gdy suma cyfr n osiągnie 12 (a potem 22, 32 itd.) trzeba zrobic przeskok:
391(380), 393(381), 395(382), 397(383), 399(384)
401(385), 403(386), 405(387), 407(388), 409(389)
410(394), 412(395), 414(396), 416(397), 418(398)
itd.
Dowód jest „na 95%”, bo pomija pary 19-20, 39-40, 59-60 itd.
@Michał
Dzięki, ja też doszedłem do tego, że trzeba wyjść od pojedynczych dziesiątek, w których zawsze co najmniej co druga liczba daje się wygenerować przez kolejne liczby mniejsze. Ale przy sformalizowaniu to właśnie dochodzi się do tych circa 95%
@wszyscy
Pojawiła się jednak mała kontrowersja, czy 2b to 1559, czy 1649. Jak napisałem, rozpatrywałem cechę B jako coś co jest „mniej od A”, czyli jeśli była cecha A, to jak dla mnie „już nie B”. Być może niezgodnie z zamysłem Autora.