Milion bliżej
Załóżmy, że jakiś ciąg liczbowy zaczyna się od dwóch wyrazów: 1 i 8, a jednym z kolejnych jest milion, czyli:
1, 8,…, 1000000,…
Czy na tej podstawie można zrekonstruować cały ciąg, czyli ustalić zasadę, zgodnie z którą jest zbudowany? Oczywiście tak, a w tym konkretnym przypadku – i w każdym innym, gdy danych jest niewiele – na przynajmniej kilka sposobów.
Ciąg może być arytmetyczny: każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego o 7; wzór ogólny – a(n) = 1 + 7(n-1):
1, 8, 15, 22, 29, 36, 43,…, 1000000…? (A016993)
Milion będzie w tym ciągu 142857-ym wyrazem. Warto przy okazji zauważyć, że 142857 jest najmniejszą liczbą kolistą, czyli taką n-cyfrową, której mnożenie przez każdą liczbę od 2 do n jest równoznaczne z przestawieniem iluś tam początkowych cyfr z początku na koniec (n dla n = 2, 4 lub 5), np.
142857*4 = 571428
Wracając do ciągu, dodajmy jeden warunek związany z rekonstrukcją: milion powinien być jak najbliżej początku ciągu.
Ciąg geometryczny odpada, ale pasuje prosty ciąg potęgowy: każdy wyraz jest trzecią potęgą kolejnej liczby naturalnej; wzór ogólny – a(n) = n^3:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343,…, 1000000,… (A000578)
W ten sposób milion znacznie się zbliżył do ósemki – jest teraz setnym wyrazem. Dalsze „podchody” wymagają już uciekania się do ciągów, które nazywam naciąganymi. W OEIS jest kilka takich, które przybliżają milion. Najmniej naciągany jest następujący:
1, 8, 125, 1000, 1331, 8000, 19683,…, 1000000,… (A053058)
Jego zasadę niełatwo odgadnąć – tworzą go sześciany, których sumy cyfr także są sześcianami. W ten sposób milion znalazł się na 32 25 pozycji. Może jednak zajść jeszcze dalej, do miejsca pechowego, czyli trzynastego:
1, 8, 64, 216, 1000, 8000, 9261, 15625, 64000, 85184, 262144, 729000, 1000000,… (A074102)
Zasada tego ciągu jest już mocno naciągana i zdecydowanie zabawowa: sześciany, które po usunięciu jednej cyfry stają się kwadratami.
Proszę spróbować jeszcze bardziej zbliżyć milion do ósemki, tworząc odpowiedni ciąg – naciągany oczywiście, bo inaczej się nie da (chodzi o zasadę jego budowy), ale bez przesady, czyli bez przeciągania.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.
Komentarze
Panie Marku.. moim zdaniem to wcale nie jest jakoś wielce przekombinowane, wręcz przeciwnie, zupełnie zgodne z zasadami matematyki. Znaczek ^ oznacza potęgowanie
Ogólny wzór ciągu: a(n) = [2^n+2*(-1)^(n+1)] ^ [n*3-3]
a(1)=4 ^ 0 = 1
a(2)=2 ^ 3 = 8
a(3)=10 ^ 6 = 1000000
i milion mamy już w trzecim elemencie ciągu 🙂
pozdrawiam i dziękuję za super łamigłówkę na sobotę.
Oczywiście, że wszystko jest tip-top.
mp
Tak naprawdę, z matematycznego punktu widzenia, niemożliwym jest zrekonstruowanie przebiegu ciągu liczbowego na podstawie niepełnej ilości jego elementów. Wynika to z tego, że ciąg liczbowy wcale nie musi posiadać zasady z jaką jest tworzony, ciągiem liczbowym równie dobrze można nazwać ciąg 1, 8, 1000000 i wtedy milion jest najbardziej zbliżony do ósemki. Żeby móc „odgadnąć” przebieg ciągu musimy mieć jakieś o nim dane, a jego elementy na pewno nie są wystarczające, bo na przykład skąd mamy wiedzieć, że ciąg jest tylko i wyłącznie w liczbach naturalnych, a nie na przykład w całkowitych, albo rzeczywistych?
Jeśli 1, 8, 1000000,… jest ciągiem, to proszę podać sposób w jaki został utworzony (wzór na wyraz ogólny, rekurencyjnie lub opisowo).
Jeśli „ciąg liczbowy wcale nie musi posiadać zasady z jaką jest tworzony”, to po prostu nie ma zabawy, bo nie ma ciągu tylko zbiór. W OEIS nie ma ciągów „dowolnych”
mp
Wydaje mi się, że w niektórych ciągach z wpisu, numeracja pozycji, na których znajduje się 1000000 (milion), jest przestawiona.
Niech N będzie ciągiem zaczynającym się od 1, 2, 10 (z encyklopedii ciągów możemy wybrać sobie któryś z tak zaczynających się postępów).
Następnie kładziemy
a(n)=N^3(n-1)
i otrzymujemy ciąg zaczynający się od: 1, 8, 1000000, …,
Sprytne, ale – moim zdaniem – przegięte. Gdyby wzór miał „szkolną” postać, czyli po prawej stronie byłoby tylko n, byłoby OK.
mp
1,8,1000,8000,100000
Sześciany, w których występują wyłącznie cyfry 0, 1 i 8
A060690
a(n) = (C(2^n + n – 1, n))
Ten ciąg daje kolejno liczby 1,2,10,120 itd
Jeżeli podniesiemy je do potęgi 3*(n-1)
otrzymamy 1^0,2^3,10^6 czyli ,1,8,1 000 000
a(n) = (C(2^n + n – 1, n))^(3*(n-1)).
Coś tu nie gra, bo korzystając z wzoru ogólnego otrzymamy ciąg 1, 1, 1000,… A to dlatego, że ciąg A060690 zaczyna się od a(n) dla n=0, a wykładnik potęgi dotyczy ciągu zaczynającego się od a(n) dla n=1. Czyli wykładnik lub ciąg wyjściowy do poprawki.
mp
1, 8, 125, 1000, 8000, 125000, 1000000,
Szesciany nominalow banknotow dolarowych 🙂
a
Właściwie, to nie sprawiło mi zbytniej trudności znalezienie reguły, według której milion znalazłby się na trzecim miejscu w ciągu. Nie wiem tylko, czy te reguły nie zostaną uznane za zbyt „naciągnięte”? 🙂
Rozwiązanie rekurencyjne.
Dla prostszego wzoru, przyjmijmy indeks pierwszego wyrazu równy 0.
a(0)=1; Dla n=1,2,3… a(n)=(a(n-1)+n)^(3n)
Daje to bardzo szybko rosnący ciąg:
1,8,1000000,1000027000324002268010206030618061236078732059049019683,…
Tu zaświtał mi bardziej szczegółowy problem: Jaki wzór da ciąg rosnący jak najwolniej?
Znalazłem trzy przykładowe rozwiązania z wzorem ogólnym (każde lepsze od poprzedniego 🙂 )
1. Dla n=1,2,3… a(n)=(n^(n-1)+(n mod 2))^(3n-3)
co daje:
1,8,1000000,18014398509481984,3621529260912667230872398707429376,…
2. Dla n=0,1,2… a(n)=(10^ent(n/2)+(n mod 2))^(3n)
otrzymujemy:
1,8,1000000,2357947691,1000000000000000000000000,…
3.Dla n=1,2,3… a(n)=125^(n mod 2)*8*10^(3n-6)
lub po przekształceniu:
dla n=0,1,2,… a(n)=1000^n/125^(n mod 2)
mamy bardzo „regularny”, niezbyt szybko (?) rosnący ciąg:
1,8,1000000,8000000,1000000000000,8000000000000,…
Nie udało mi się znaleźć wzoru ogólnego, w którym nie występowałaby operacja wyznaczania reszty z dzielenia.
Swoją drogą, ciekawe czy taki wzór da się znaleźć?
Wykładnik powinien być po prostu 3*n.
„Nagiąłem” ostatni wzór trochę bardziej:
Dla n=0,1,2,… a(n)=1000^(n mod 3)/125^((n mod 3) mod 2)
i mamy:
1,8,1000000,1,8,1000000,1,8,1000000,1,8,1000000,… 🙂
Zgadzam się z komentarzem Sudeta. Przykładowy wzór ogólny:
a(n)=500000(n-1)(n-2)+0,5(n-2)(n-3)-8(n-1)(n-3).
Łatwo sprawdzamy, że a(1)=1, a(2)=8, a(3)=1000000.
Ogólnie, jeżeli a(n)=0,5c(n-1)(n-2)+0,5a(n-2)(n-3)-b(n-1)(n-3),
to a(1)=a, a(2)=b, a(3)=c.
Wzór na ciąg, który podał Sudet najprościej może być wyrażony:
a(n) = { 1 dla n=1, 8 dla n=2, 1000000 dla n=3, (i np. n+1000000 dla n pozostałych) 😉
albo (bez uciekania się do „dla”)
a(n) = 1*(n-2)*(n-3)*(1/2) + 8*(n-3)*(n-1)*(-1) + 1000000*(n-2)*(n-1)*(1/2) 😉
Też myślę, że przydałyby się dodatkowe kryteria co do ustalenia zasady tworzącej ciąg. Choćby estetyczne. 😉
Pozwoliłem sobie uwolnić komentarze jotklisa i Michała Gajzlera, bo podane w nich zasady ciągów są jakby z innej bajki – nazwałbym ją bajką Tribonacciego.
Matematycznie wszystko jest oczywiście OK, i bardzo sprytnie, i też się zgadzam z komentarzem Sudeta, tylko że w cenie jest rozplątywanie węzła gordyjskiego, a nie rozcinanie go.
PS kryterium estetyczne brzmiało: „nie przeciągać” , czyli nie przeginać.
mp
😀 Też chciałem dopisać takie ciągi, np.
a_n = 999985/2* n^2 – 2999941/2 * n + 999979
albo jeśli zaczniemy liczyć od zera:
b_n = -7(n-2)*2^n + (n-1)*1000^n + 6(n-2)
Ale zgadzam się z autorem, że przecież nie o to chodzi. Proponuję wprowadzenie zasady, że do opisu używamy nie więcej niż np. 15 słów i nie więcej niż 2/3 liczb.
Esteonie, jestem pod wrażeniem – zwłaszcza pierwszego wzoru – bo to jednak trochę inna bajka niż Tribonacci. Składniki we wzorze przy obliczaniu kolejnych a(n) nie zerują się tylko sumują, czyli wzór nie jest „kopią” ciągu. Dla mnie to nie jest przegięcie, a jeżeli już, to do przyjęcia.
mp
Spróbuję naciągnąć nieco inaczej:
dla a(n) = a(n-1) + 3; a(0) = 0 (czyli: 0, 3, 6, 9,…)
oraz b(n) = b(n-1) + 8; b(0) = -6 (czyli: -6, 2, 10, 18,…)
utwórzmy c(n) = b(n)^a(n)
(czyli: 1, 8, 1000000, 198359290368,…)
b(n) można łatwo zastąpić innym ciągiem, np. naprzemiennym 10, 2, 10, 2,…
Uwalniam wcześniej nie tylko dlatego, że „naciągnięte”, ale przede wszystkim dlatego że naciągnięte CIEKAWIE (podobnie jak w przypadku Lagrange’a esteona), więc warto się z tym wcześniej zapoznać.
mp
Wzory esteona – kapitalne! (szczególnie podoba mi się ten drugi)
Dzięki nim odpowiedziałem sobie na swoje wcześniejsze pytanie: „Czy istnieje wzór bez operacji modulo?”.
Oczywiście, że tak! Wystarczy zastosować interpolację Lagrange’a, co właśnie zrobił esteon.
Na stronie http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/interpolation.php można to zrobić on-line.
Dla punktów (1,1),(2,8),(3,1000000) dostajemy pierwszy wzór esteona.
Dla punktów (0,1),(1,8),(2,1000000) wychodzi jeszcze krócej:
a(n)=999985/2*n^2-999971/2*n+1
i mamy ciąg:
1,8,1000000,2999977,5999939,9999886,14999818
Pierwszy wzór esteona (chwalony przez mp) to jest dokładnie mój wzór i drugi wzór Michała Gajzlera po wykonaniu mnożeń i redukcji – z tej postaci nie można odczytać, jak uzyskać taki wzór.
Gapa ze mnie. Chwalę więc jotklisa i Michała Gajzlera (z umiarem), odchwalam esteona (też z umiarem) i czekam na ewentualne efekty powściągnięcia naciągania (zgodnie z warunkami podanymi przez esteona).
mp
Przedstawiam takiego oto „połamańca”:
a(n)=((((a(n-1)/(n-1))*a(n-1)+(a(n-1)-a(n-2)))*a(n-1)+(n-1)*n)*a(n-1)+(a(n-1)-a(n-2)))*a(n-1)*((a(n-1)-a(n-2))^(n-1))+a(n-1)
a(1)=1; a(2)=8; – to do „połamańca”.
Może jeszcze dwa wzory (dla n=0,1,2,…)
a(n)=(3,5*n^2-2,5*n+1)^(3n)
1,8,1000000,3814697265625,…
a(n)=((985*n^2-971*n+2)/2)^n
1,8,1000000,26383748833,…
Przykład „trójkowego” mariażu:
T(n)=M^N,
gdzie
M – liczby w zapisie trójkowego systemu liczbowego;
N – liczby trójkątne.
Może ciąg jest naciągnięty, ale przynajmniej brzmi łamigłówkowo.
Kurczę.. ale wzory pojechane..
Nie lepiej ugryźć to w o wiele prostszy sposób?
Wystarczy zrobić dwa ciągi:
a(n) = (x, 2, 10, …), gdzie x może być dowolne różne od zera oraz
b(n) = (0, 3, 6, …)
no i ostateczny ciąg c(n)=a(n)^b(n), tak rozczłonkowane zadanie staje się o wiele prostsze.
Spośród wzorów, które udało mi się znaleźć – oto rozwiązanie, którego estetyka budzi we mnie najmniej wątpliwości:
a(n) = ( 2^( 3*(n-1) ) ) * ( 5^( 3*(n-1)*(n-2) ) )
Ładniej wygląda na papierze.
Do esteona:
Co oznacza zasada: „nie wiecej niz 2/3 liczb”, czyli o jakie „2/3” chodzi i o jakie „liczby”?
a
Poszukując zwięzłości zapisu można tak:
a(0) = 1
a(n) = (a(n-1) + n)^3n
Do andy’ego:
„nie więcej niż 2 lub maksymalnie 3 liczby w opisie ciągu”, a chodzi mi o to, żeby nie tworzyć sztucznych ciągów z masą parametrów->takich jak te moje.
Mi się najbardziej podoba ciąg koberta – tylko dwa ciągi arytmetyczne!
Śledząc powyższą dyskusję, dochodzę do wniosku, że chodzi Panu o coś w tym stylu:
Ciąg sześcianów liczb naturalnych takich, że pomnożeniu przez odwrotność 1 000 000, otrzymamy liczbę naturalną.
W takim ciągu 1 000 000 „awansuje” na 9 pozycję, ale jestem przekonany, że można wymyślić coś lepszego.
Niekoniecznie, ale oczywiście też pasuje.
mp
Dla odmiany coś nierekurencyjnego:
a(n) = (n^3 + n!)^3n
!!!
mp
O rany, ostatni wzor koberta splendid! A czwarty wyraz to prawie Kosmos 🙂 .
a
@kobert: mistrzostwo!
Ja jeszcze jedna propozycja, trochę spóźniona, bo dopiero teraz przeczytałem wpis 🙂
((2^n-1)^2+1)^(3n)
I jeszcze:
(Tn^2+1)^(3n) – gdzie Tn jest n-ta liczba trojkatna.
Wzór na ciąg Michała S.:
a1 = 1
an+1 = ( an*( (2+3n) % 6 ) )^3