Milion bliżej

Załóżmy, że jakiś ciąg liczbowy zaczyna się od dwóch wyrazów: 1 i 8, a jednym z kolejnych jest milion, czyli:
1, 8,…, 1000000,…
Czy na tej podstawie można zrekonstruować cały ciąg, czyli ustalić zasadę, zgodnie z którą jest zbudowany? Oczywiście tak, a w tym konkretnym przypadku – i w każdym innym, gdy danych jest niewiele – na przynajmniej kilka sposobów.

Ciąg może być arytmetyczny: każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego o 7; wzór ogólny – a(n) = 1 + 7(n-1):
1,  8, 15, 22, 29, 36, 43,…, 1000000…? (A016993)
Milion będzie w tym ciągu 142857-ym wyrazem. Warto przy okazji zauważyć, że 142857 jest najmniejszą liczbą kolistą, czyli taką n-cyfrową, której mnożenie przez każdą liczbę od 2 do n jest równoznaczne z przestawieniem iluś tam początkowych cyfr z początku na koniec (n dla n = 2, 4 lub 5), np.
142857*4 = 571428

Wracając do ciągu, dodajmy jeden warunek związany z rekonstrukcją: milion powinien być jak najbliżej początku ciągu.
Ciąg geometryczny odpada, ale pasuje prosty ciąg potęgowy: każdy wyraz jest trzecią potęgą kolejnej liczby naturalnej; wzór ogólny – a(n) = n^3:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343,…, 1000000,… (A000578)
W ten sposób milion znacznie się zbliżył do ósemki – jest teraz setnym wyrazem. Dalsze „podchody” wymagają już uciekania się do ciągów, które nazywam naciąganymi. W OEIS jest kilka takich, które przybliżają milion. Najmniej naciągany jest następujący:
1, 8, 125, 1000, 1331, 8000, 19683,…, 1000000,… (A053058)
Jego zasadę niełatwo odgadnąć – tworzą go sześciany, których sumy cyfr także są sześcianami. W ten sposób milion znalazł się na 32 25 pozycji. Może jednak zajść jeszcze dalej, do miejsca pechowego, czyli trzynastego:
1, 8, 64, 216, 1000, 8000, 9261, 15625, 64000, 85184, 262144, 729000, 1000000,… (A074102)
Zasada tego ciągu jest już mocno naciągana i zdecydowanie zabawowa: sześciany, które po usunięciu jednej cyfry stają się kwadratami.

Proszę spróbować jeszcze bardziej zbliżyć milion do ósemki, tworząc odpowiedni ciąg – naciągany oczywiście, bo inaczej się nie da (chodzi o zasadę jego budowy), ale bez przesady, czyli bez przeciągania.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.