Milion dalej
Pociągnę temat ciągu z poprzedniego wpisu, który zaczyna się od 1, 8,…, a dalej trafia – jeśli szczęście dopisze – w milion. Dziękuję za liczne komentarze z wzorami na ciąg, który zalicza milion już trzecim lub niewiele dalszym wyrazem (przyznam, że mam kłopot z wyróżnieniem któregoś wzoru, bo mają urok i te silnie matematyczne i te zabawne, ale gdybym musiał wskazać jeden, to wybrałbym rekurencyjny koberta), a tymczasem powrócę do takich, które miliona nie zaliczają.
Załóżmy, że byłby to ciąg Fibonacciego, czyli zaczynając od trzeciego wyrazu każdy następny stanowiłby sumę dwu poprzednich:
1, 8, 9,17, 26, 43, 69,…
Ten ciąg, co łatwo sprawdzić w OEIS (A022098), omija milion.
Spróbujmy inaczej. Suma dwóch pierwszych wyrazów jest kwadratem, a równocześnie między tymi wyrazami jest dokładnie jeden kwadrat. Rozciągnijmy tę własność na każdą parę kolejnych wyrazów rosnącego ciągu. Otrzymamy:
1, 8, 17, 32, 49, 72, 97,… (A077221)
W tym ciągu także nie ma miliona.
Jeszcze nieco inaczej: ciąg jest rosnący, każdy jego wyraz jest sześcianem, a suma każdej pary kolejnych wyrazów jest kwadratem. Niełatwo znaleźć trzeci wyraz takiego ciągu:
1, 8, 97336,
a czwartego szukać nie warto. I tu zagadka: proszę uzasadnić – wskazać odpowiednie twierdzenie lub wzór, teorię itp. – że trzeci wyraz tego ciągu jest ostatnim.
Wracając do miliona, istnieje ciąg kryptarytmetyczny, zaczynający się od:
JEDEN, OSIEM, MILION,…
Inaczej mówiąc, litery należy zastąpić cyframi tak, aby powstałe liczby tworzyły ciąg arytmetyczny. Zadanie sprowadza się do rozwiązania nietypowego, ze względu na różne znaki działań, kryptarytmu:
OSIEM + OSIEM – JEDEN = MILION
Można to rozwiązać na piechotę, choć jest trochę żmudne. Natomiast do programistów adresuję znacznie twardszy orzech:
W zaczynającym się od JEDEN, OSIEM,… ciągu arytmetyczno-kryptarytmetycznym MILION może być na odległej pozycji. Na przykład na sto szóstej – wówczas JEDEN = 64043, OSIEM = 72149, czyli różnica ciągu wynosi 8106, zaś MILION jest sto szóstym wyrazem równym 915173.
Na jakiej najdalszej pozycji może znaleźć się MILION i jaka liczba będzie mu wówczas odpowiadać?
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.
Komentarze
Dlaczego wyraz 97336 jest wyrazem ostatnim ciągu 1, 8, 97336 to jak na razie dość twardy orzech.
Chcemy wykazać, że nie istnieje liczba x, która dla pewnego y spełniałaby następujące równanie:
y^2 = x^3 + 97336.
Znalazłem ciąg: http://oeis.org/A054504, który zawiera wszystkie n, że równanie:
y^2 = x^3 + n
nie ma rozwiązań w liczba całkowitych. Wystarczy sprawdzić, że liczba 97336 jest wyrazem tego ciągu, ale niestety encyklopedia podaje tylko wartości do 10000.
Trochę inaczej: powyższe równanie spełniają x=2 i y=312 (to wynika z ciągu), natomiast zagadką pozostaje, czy jest druga para (x,y) spełniająca to równanie z x^3>97336. Szczerze mówiąc, zaczynam wątpić, czy zagadka nie jest za trudna, a nawet czy jednak nie uda się znaleźć czwartego wyrazu – jeśli tak, to na pewno będzie większy od 10 miliardów.
mp
Znalazłem ciąg o różnicy 397, w którym MILION jest oddalony od OSIEM o 1218 wyrazów. JEDEN=29798, OSIEM=30195, MILION=514138
Hurra! Ale czy to jest najdalej?
mp
PS Z wzoru [(a(n) – a(1) +r)/r] wynika że MILION jest 1221 wyrazem
Chyba mogę potwierdzić, że jest to największa odległość. Zgadzam się z tym co jest dopisane w ps. Ja napisałem, że między OSIEM a MILIONem jest 1218 wyrazów, czyli MILION jest faktycznie 1221 wyrazem. Pozdrowienia na koniec tygodnia.
12.21 -the world ends :O
mp
ps uwolniłem nie dlatego, że jest źle, tylko że nie mam pewności, czy jest dobrze (może ktoś jeszcze potwierdzi)
Potwierdzam rozwiązanie Antypa. Milion może być najdalej na 1221 miejscu.
Nie umiem udowodnić, że ciąg 1,8,97336 ma czwarty wyraz. Mogę jednak potwierdzić, że jeśli istnieje, to jest większy niż kwadrylion 🙁
50206, 943011, 138396,… (roznica – 44095).
Jedyne rozwiazanie.
a
Odnalazłem tutaj: http://www-users.mat.umk.pl/~anow/imperium/szb07.pdf twierdzenie 7.2.7 (s.6) oraz tutaj: http://www-users.mat.umk.pl/~anow/imperium/szb02.pdf twierdzenie 2.4.3 (s.6).
„Dla każdego n > 1 równanie x^n + y^n = z^(n-1) ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych.
x = (1 + k^n)^(n-2),
y = k*(1 + k^n)^(n-2),
z = (1 + k^n)^(n-1),
gdzie k > 1.”
(Uwaga! W źródle popełniono błąd redakcyjny w równaniu dla x. Założyłem, że chodziło o podniesienie (n-2) do potęgi.)
Ponieważ szukamy takich liczb y i z aby: 46^3 + y^3 = z^2, to otrzymamy je jeśli znajdziemy k dla:
46 = ( 1 + k^3 ) albo 46 = k*(1 + k^3) .
Nie ma takich naturalnych k, by któryś z tych warunków został spełniony (co łatwo sprawdzić). Zatem jeśli ww. twierdzenia są prawdziwe, a przedstawione postaci wzorów na x, y, z są jedynymi możliwymi, to ów ciąg ma tylko trzy wyrazy.
A jednak przedstawione postaci wzorów na x, y, z nie są jedynymi możliwymi. Wszak 2^3 + 46^3 = 312^2 . Czyli dowodu na nic nie ma.
kurcze.. na chwilę zwątpiłem po zobaczeniu wpisu Michała Gajzlera.. Już myślałem, że na blogu padł przykład dla Wielkiego Twierdzenia Fermata 🙂
Choć nie uzyskałem oczekiwanego rezultatu w postaci czwartego wyrazu albo dowodu, że nie istnieje, to chcę podzielić się dotychczasowymi osiągnięciami ubocznymi.
Mianowicie, wychodzi na to, że warunek
x^3 + y^3 = z^2
jest spełniony gdy:
x = ( L^(1/3) ) * ( k^p )* ( L + k^c )
y = ( k^( p+(c/3) ) ) * ( L + k^c )
z = ( k^(3p/2) ) * ( L + k^c )^2
przy czym:
k – jest naturalne,
p – jest parzyste albo jest zerem,
c – jest podzielne przez 3,
L – jest sześcianem liczby naturalnej.
Pierwotną wersję z wpisu z 18 listopada 2012 otrzymać można podstawiając: p=0, c=3, L=1.
Michale, czy do powyższych wzorów doszedłeś sam, czy gdzieś je znalazłeś?
Rozumiem, że „warunek jest spełniony” oznacza, że „równanie ma rozwiązania w liczbach całkowitych”?
mp
Tak. Szukałem wyłącznie rozwiązań całkowitych i dla takich rozwiązań są te wszystkie założenia (k naturalne, p parzyste, c podzielne przez 3 itd.). Nie analizowałem które z tych założeń należałoby ‚poluzować’ by można orzec z całą pewnością, że rozwiązanie znajdzie się zawsze dla liczb niecałkowitych. Natomiast istnieją rozwiązania całkowite też gdy wymienione przeze mnie założenia nie są spełnione, np. dla p nieparzystego (np. dla k=1, p=3, c=3, L=1, f=1), z tym, że trudno powiedzieć ile ich jest.
Sam doszedłem do tych wzorów szukając takiego przypadku by x=2*23 lub y=2*23, jednak nie widzę na to sposobu. Podejrzewam, że należałoby odnaleźć fundamentalnie inną postać na x, y i z wyrażone przez k niż podana w twierdzeniu, ale taką by x lub y mogło być równe 46. Nie daje to pewności na odnalezienie 4. wyrazu, ale daje na to nadzieję. 😉
Poniżej podaję ciut rozszerzoną postać wzorów (o zmienną f).
Warunek
x^3 + y^3 = z^2
jest spełniony gdy:
x = ( L^(1/3) ) * ( k^p ) * ( L + k^c )^f
y = ( k^( p+(c/3) ) ) * ( L + k^c )^f
z = ( k^(3p/2) ) * ( L + k^c )^( ( 3*f+1 )/2 )
przy czym:
k – jest naturalne,
p – jest parzyste albo jest zerem,
c – jest podzielne przez 3,
L – jest sześcianem liczby naturalnej,
f – jest naturalne i (3*f+1)/2 też jest naturalne.
Michale, jakie powinny być wartości k, p, c, L, f, aby korzystając z Twoich wzorów, uzyskać rozwiązanie:
x = 1, y = 2, z = 3?
mp
Nie ma takiego zestawu wartości. Podobnie jak nie ma takiego k dla wzoru z twierdzenia 2.4.3 z http://www-users.mat.umk.pl/~anow/imperium/szb02.pdf ze strony 6 (uwaga na błąd redakcyjny!). Na stronie 6 w podpunktach 2.4.1 i 2.4.2 wymieniono, jak rozumiem, właśnie znane przykłady których ów wzór nie obejmuje (mój zapewne też). Są wśród nich 1^3+2^3=3^2 oraz 2^3+46^3=312^2.
Rozbudowałem wzór o B
Warunek
x^3 + y^3 = z^2
jest spełniony gdy:
x = ( ( L^(1/3) ) * ( k^p ) * ( L + k^c )^f ) / B^(2/3)
y = ( ( k^( p+(c/3) ) ) * ( L + k^c )^f ) / B^(2/3)
z = ( ( k^(3p/2) ) * ( L + k^c )^( ( 3*f+1 )/2 ) ) / B
przy czym:
k – jest naturalne,
p – jest parzyste albo jest zerem,
c – jest podzielne przez 3,
L – jest sześcianem liczby naturalnej,
f – jest naturalne i (3*f+1)/2 też jest naturalne.
Wzór wraz z B obejmuje już nie tylko rozwiązania w ramach liczb całkowitych. Natomiast pozwala znaleźć rozwiązania całkowite, których przy B=1 i spełnieniu powyższych warunków nie udałoby się znaleźć. Wymienię przykłady z http://www-users.mat.umk.pl/~anow/imperium/szb02.pdf ze strony 6 z podpunktów 2.4.1 i 2.4.2. We wszystkich przykładach obowiązuje: p=0, c=3, f=1.
1) x=1, y=2, z=3 : k=2, L=1, B=27
2) x=2, y=46, z=312 : k=46, L=2^3, B=312^3
3) x=4, y=8, z=24 : k=8, L=64, B=24^3
4) x=7, y=21, z=98 : k=3, L=1, B=2^3
5) x=10, y=65, z=525 : k=65, L=10^3, B=525^3
6) x=11, y=37, z=228 : k=2, L=11^3, B=228^3
7) x=37, y=407, z=8214 : k=11, L=1, B=6^3
8) x=57, y=112, z=1261 : k=112, L=57^3, B=1261^3
Zapewne da się sformułować warunki na B by rozwiązanie było zawsze całkowite, ale te warunki, nawet przy posiadaniu ogólnego wzoru, wcale nie ułatwiają znajdywania rozwiązań (może na super-komputerze, ale nie na kartce ani w Excelu).
Formułując różne dowody dochodziłem zwykle do miejsca gdzie należało rozpatrzyć kilka możliwości. Niektóre z nich dawały rezultat niecałkowity, niektóre dawały znane rozwiązanie 2^3+46^3=312^2, a zwykle jedna możliwość polegała na tym, by… udowodnić powtórnie, że rozwiązanie istnieje. Stąd niektóre rozwiązania nazwałbym pierwotnymi – trzeba je znać żeby je znaleźć (bez super-komputera). Być może rozwiązanie powyższego problemu też takie jest. A być może nie istnieje. 😉
Michale, nie podejmuję się komentować Twoich wzorów i rozważań (przynajmniej na razie), ale może ktoś spróbuje.
mp
Powyższe wzory, choć umożliwiają znalezienie wiele całkowitych rozwiązań x^3+y^3=z^2, to nie pomogły w znalezieniu szukanego wyrazu ciągu.
Dziś mam przekonanie, że zrobiłem pewien postęp w kierunku dowodu. Może nawet nie tyle postęp, co przeformułowałem problem. Poniżej prezentuję rezultat i cicho liczę, że znajdzie się ktoś zdolny kto postawi kropkę nad „i” 😉 .
Wyobraźmy sobie, że x^3 to przestrzenna konstrukcja z sześciennych drewnianych klocków po x klocków przypadających na każdy bok. Analogiczną konstrukcję stanowi y^3. Natomiast z^2 to też taka konstrukcja z tym, że o wysokości 1 klocka.
Mamy konstrukcję 46x46x46. Rozkładamy ją na płaszczyźnie budując kwadrat 312 na 312 klocków. Zabraknie nam 8 klocków by utworzyć konstrukcję 312×312. Gdy dołożymy te 8 klocków otrzymamy znane już rozwiązanie 46^3 + 2^3 = 312^2. Chcemy uzyskać inne rozwiązanie, więc dokładamy kolejny rządek i kolumnę do otrzymanego kwadratu 312×312, czyli dokładamy 2*312+1 klocków by uzyskać kwadrat 313×313. Następnie dokładamy kolejny rządek i kolumnę (czyli 2*313+1) i potem kolejny i kolejny… Będziemy dokładać aż dotąd, aż to wszystko co dołożymy plus 8 będzie sześcianem. Na wzorach będzie wyglądało to tak:
46^3 + y^3 = z^2;
y^3 = 8 + a;
gdzie ‚a’ to są te wszystkie klocki, które dołożyliśmy do 312×312.
Wiemy zatem, że: a = z^2 – 312^2, a także:
a = 2*312+1 + 2*313+1 + 2*314+1 + 2*315+1 + …
Po przekształceniach, które tu pominę, otrzymałem:
a = n^2 + 626*n + 625
dla n=0,1,2,3,… (n: naturalne lub zero)
Ujmując rzecz opisowo: gdy n=0 to rządek i kolumna zostały dołożone raz, gdy n=1 to dołożone dwa razy, gdy n=2 to trzy razy, itd.
Pozostaje zatem udowodnić istnienie takich n, że wyrażenie:
n^2 + 626*n + 625+8 (czyli: a+8) jest sześcianem liczby naturalnej
i
n^2 + 626*n + 625+312^2 (czyli: a+312^2) jest kwadratem liczby naturalnej.
Albo: udowodnić, że pierwsze wyrażenie nigdy nie będzie sześcianem lub drugie wyrażenie nigdy nie będzie kwadratem liczby naturalnej.
Może ktoś zna odpowiednie metody i od razu widzi, że któreś z tych wyrażeń nie spełni wymienionego warunku?
„lub drugie wyrażenie nigdy nie będzie kwadratem liczby naturalnej”
Michał, nie przejrzałem całego wywodu, ale ostatnie równanie możemy zapisać:
n^2 + 626*n + 625+312^2=(n+313)^2
więc to wyrażenie dla każdego n jest kwadratem liczby naturalnej.
We wpisie Mordellstwo wrzuciłem ciąg OEIS, który podaje, że równanie Mordella postaci y^2 = x^3 + 97336 ma 3 całkowite rozwiązania. Jak mniemam, chodzi o: (-46,0), (2,-312), (2,312).
http://oeis.org/A179147
Sam postawię kropkę nad ‚i’ 😉 .
Żeby z konstrukcji przestrzennej z klocków 2x2x2 otrzymać 3x3x3 należy dołożyć
3*(2*2)+3*2+1 klocków (dziewiętnaście – czyli trzy razy po tyle kloców ile jest na jednej płaszczyźnie boku konstrukcji plus trzy razy po tyle ile jest klocków na krawędzi konstrkucji plus jeden klocek w narożniku). By otrzymać 4x4x4 należy dołożyć dodatkowo 3*(3*3)+3*3+1, itd. zgodnie ze wzorem a(n)=3*(n*n)+3*n+1 .
Jako sumę takiego ciągu (przekształcenia pomijam) otrzymałem wyrażenie:
n^3 + 3*n^2 + 3*n – 7
dla n > 1
Bazyli słusznie zauważył, że n^2 + 626*n + 625+312^2 zawsze będzie kwadratem, bo przecież o to właśnie mi chodziło by wyrażenie ‚a’ (czyli: n^2 + 626*n + 625) stanowiło tą ‚dobudówkę’ do 312^2 by otrzymywać kolejne kwadraty, więc warunek w poprzednim wpisie, że trzeba to udowodnić, umieściłem zbytecznie.
Natomiast powyższe wyrażenie (n^3 + 3*n^2 + 3*n – 7) stanowi ‚dobudówkę’ do 8, by otrzymywać kolejne sześciany (czyli n^3 + 3*n^2 + 3*n – 7 + 8 zawsze będzie sześcianem).
Zatem teraz pozostaje sprawić by obydwie ‚dobudówki’ były sobie równe. Czy istnieją takie m i n całkowite by poniższe wyrażenie było prawdziwe?
n^3 + 3*n^2 + 3*n – 7 = m^2 + 626*m + 625
Po przekształceniach otrzymałem:
(n – 1) * (n^2 + 4*n + 7) = (m + 1) * (m + 625)
Czyli należy rozpatrzeć dwa układy równań (oraz ew. gdy mnożna/mnożnik = 1). Pierwszy:
n – 1 = m + 1
n^2 + 4*n +7 = m + 625
Drugi:
n – 1 = m + 625
n^2 + 4*n + 7 = m + 1
Żaden nie ma rozwiązań całkowitych. Zatem te dwie ‚dobudówki’ nigdy nie mogą składać się z jednakowej (i całkowitej) liczby klocków.
Oto mój dowód. Uf. Pozostaje mi mieć nadzieję, że niczego nie przeoczyłem.
Elementy w jednym iloczynie nie muszą odpowiadać elementom w drugim iloczynie by wynik się zgadzał np. 12=3*4=2*6
Z pomocą wolframalpha znalazłem n=-47; m=-313, ale widzę wyżej, że założyłeś n>1.
To jednak nie jest tak różowo, że wystarczy rozpatrzyć układ równań. Problem pozostaje otwarty.
@Bazyli
46^3 + y^3 = z^2; z = a^3; y = b^2;
46^3 = a^6 – b^6;
2*2*2*23*23*23 = (a-b)*(a^2 + a*b + b^2)*(a+b)*(a^2 – a*b + b^2)
Tu już elementy w jednym iloczynie powinny być zgodne z elementami w drugim. Ten pierwszy można przedstawić na wiele różnych A*B*C*D (nie zapominając, że np. A=1). Może znasz narzędzie, które ułożyłoby wszystkie możliwe układy równań (i najlepiej rozwiązało), albo zrobiło coś w tym stylu? Na oko, wydaje się, że ich liczba jest mała jak na możliwości komputera, a uciążliwa do rozpatrzenia jak na możliwości człowieka.
Obawiam się, że tutaj elementarne sposoby nie wystarczą…
Równanie spełnia m.in. para y=2, z=312, a to oznacza, że a to pierwiastek sześcienny z 312, zaś b to pierwiastek kwadratowy z 2. Pojawia się zbiór liczb rzeczywistych…
http://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutations-calculator.html – tutaj nie tylko otrzymasz liczbę kombinacji/permutacji ale też je wygenerujesz. Można wyniki pobrać do pliku .csv i zaimportować do Excela…
@Bazyli
Fajne to 🙂 . Dzięki!
Oczywiście masz rację. Jeśli nie ma całkowitych rozwiązań dla ‚a’ i ‚b’ wśród tych wszystkich układów równań o których pisałem w poprzednim komentarzu, to wiadomo chociaż tyle, że ‚y’ nie jest kwadratem, a ‚z’ nie jest sześcianem liczby naturalnej.