Magiczne 34
Warunek zadania domowego z poprzedniego wpisu można nieco zaostrzyć. Wówczas kluczowe pytanie będzie brzmiało tak:
Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza, będąca sumą liczb pierwszych złożonych z n różnych cyfr – od 1 do n (tzn. wszystkie te liczby – a nie każda z nich – zawierają n różnych cyfr)? Ciekawe, że odpowiedź jest tylko jedna – w tym sensie, że możliwa tylko dla jednego konkretnego n. Którego i jaka to liczba?
Podobne zadanie z różnicą (najmniejsza liczba pierwsza, która jest różnicą dwu liczb pierwszych złożonych z n różnych cyfr – od 1 do n) nie jest tak ciekawe, bo już dla n=3 ma rozwiązanie (13-2=11), a poza tym ogólnie rozwiązania są schematyczne, ponieważ odjemnikiem jest zawsze dwójka.
Pozostając przy liczbach pierwszych, proponuję na deser dość prostą „pierwszą” krzyżówkę liczbową.
W diagramie powinny pojawić się liczby pierwsze – dwie poziome 3-cyfrowe i trzy pionowe 2-cyfrowe. Rozwiązań byłoby multum, a ich szukanie mocno dłubackie, gdyby nie warunek dodatkowy: wszystkie wpisane w diagram cyfry muszą być różne, a ich suma równa magicznej liczbie 34. Dlaczego magicznej?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Zanim zrozumiem o co dokładnie chodzi w zadaniu wstępnym, udało mi się rozwiązać zadanie główne. Do wstępnego postaram się wrócić, a jeśli chodzi o główne, to cyfry jedności, czyli dolny rząd i prawa kolumna, muszą być nieparzyste, i nie 5, suma daje 20, czyli dopełnić do 34 można tylko przez 8 i 6. No to mamy:
863
971
albo:
683
197
A „magiczność” 34 bierze się najprawdopodobniej stąd, że jak w kwadrat magiczny 4×4 wpisujemy liczby od 1 do 16, to w każdym rzędzie i kolumnie suma wynosi 34.
Zadanie w zasadzie rozwiązał już aps1968 we wpisie pod poprzednim zadaniem (24 czerwca 2022, 0:10). Wystarczyło tylko podsumować: n=4, p=433.
Na deser dwa mam dania:
Zacznę od prostszego problemu:
Dlaczego magiczna? Hmm, liczba Fibonacciego, pojawia się w „golden ratio” ~34/21, rozmiarach DNA, i nawet, co znalazłam w internetach, jest dowodem na istnienie boga. Nigdy bym na to nie wpadła.
Są dwa rozwiązania:
683 | 863
197 | 971
Nie wiem, czemu 34 jest magiczne. Cyfry obu liczb 3-cyfrowych i jednej 2-cyfrowej sumują się do 17, może ma to jakiś związek…
2+431=433
Jeśli chodzi o pierwsze zadanie, to – o ile ma być tylko jedno rozwiązanie – znalazłem 2+41+53+67=163. Rezygnując tym samym z zasady niepoświęcania liczb nieparzystych na cyfrę dziesiątek. Można też oczywiście zamienić 41 i 67 na 47 i 61.
Dość szybko znalazłem rozwiązanie dla n = 4
431 + 2 = 433
I skoro to jedyne to dalej już nie szukałem:)
A pierwsza krzyżówka liczbowa to
8 6 3
9 7 1
Suma 34 magiczna oczywiście z magicznego kwadratu:)
liczby trzycyfrowe to 683 oraz 197
@xswedc
No ale odciąłem się od tego mojego rozwiązania, właściwie trochę jestem zaskoczony, bo wszyscy idą w stronę najmniejszego n, a tam jest wyraźnie podane, że chodzi o „najmniejszą liczbę pierwszą, będąca sumą liczb pierwszych złożonych z n różnych cyfr”. Nie n ma być najmniejsze, ale ta suma. 163 jest niewątpliwie mniejsze od 433, nawet jeśli n dla niego wynosi 7.
Rozwiązanie to oczywiście 163.
mp
Ponieważ się spóźniłem więc nie podaję rozwiązania 🙂 ale powiem, że multum równa się 756 rozwiązań. Różność cyfr redukuje ilość rozwiązań do 29. Wiadomo, że w zbiorze tych sześciu cyfr muszą się znaleźć 1, 3, 7, 9. Nie może się znaleźć 0. Pozostałe dwie cyfry są kombinacją dwuelementową ze zbioru {2, 4, 5, 6, 8}. Okazuje się, że te pary dają 2, 3 lub 4 rozwiązania. Nie ma pary dającej jedno rozwiązanie. Tych dwurozwiązaniowych par jest 3. Tak więc zamiast magicznej 34 można było przyjąc jeszcze 28 lub 32. Innymi słowy zgaduję, że magiczność liczby 34 polegała na minimalizacji ilości rozwiązań. Jeśli tak to magicznymi musimy uznać też 28 i 32. Ale znając pomysłowość Autora na pewno się mylę 🙂
Magiczność 34 wiąże się z sumą kwadratu magicznego 4×4.
mp