Dobre zmiany
Zadanie dla najmłodszych matematyków: znajdź dwie liczby, których suma równa jest ich iloczynowi. I następne tego samego rodzaju, odrobinę trudniejsze: znajdź trzy liczby o takiej samej własności. I ogólnie, ale to już dla starszych: znajdź n liczb, których suma i iloczyn są równe. Rozwiązanie istnieje dla każdego n – przynajmniej jedno, a czasem dwa lub trzy. Nie wchodząc w szczegóły, zawsze mamy w nim jedynki (tym więcej im większe n) oraz kilka innych liczb. Na przykład dla n=13 zbiór wygląda tak: {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,7} lub tak: {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,5} albo tak: {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,3}.
Inaczej mówiąc, plusy w działaniu zastępowane są gwiazdkami, a wynik się nie zmienia, czyli np. 1+2+3=1*2*3. Stąd jest blisko do pokrewnej łamigłówki.
W kratki między cyframi należy wstawić znaki działania tak, aby równość była poprawna, ale: po lewej stronie w kratkach powinny się pojawić tylko plusy i minusy, a po prawej gwiazdki (mnożenie) – tam, gdzie po lewej są plusy, a ukośniki (dzielenie) – tam, gdzie po lewej są minusy. Zadanie do rozwiązywania na piechotę wydaje się karkołomne.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Poszło dość szybko przy wsparciu komputera:
1 – 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8 – 9 + 10 = 7
1 / 2 * 3 * 4 / 5 * 6 * 7 / 8 / 9 * 10 = 7
Rozwiązywanie na piechotę jest chyba nie tyle „karkołomne”, co żmudne – do sprawdzenia jest 512 możliwości
A ja to przeanalizowałam na piechotę. Z grubsza tak:
– szukam liczby podzielnej przez 7 ze zbioru {7, 14, …, 35}
– szukam jednak nieparzystej, to zostaje {7, 21, 35}
– iloczyn wszystkich liczb 1-10 podzielony przez tę liczbę musi dawać kwadrat liczby naturalnej – tylko 7 daje
– zatem 7 jest szukaną liczbą (sumą i iloczynem)
– suma wszystkich liczb 1-10 to 55; skoro ma zostać 7, to (55-7)/2 = 24, czyli suma liczb odjętych wynosi 24
– w iloczynie: 10 „skreśla się” z 2*5, a 8*9 „skreśla się” z 3*4*6; wybieram liczby sumujące się do 24 z tych grup – to będzie 2, 5, 8, 9
No to mam rozwiązanie:
1/2*3*4/5*6*7/8/9*10 = 1-2+3+4-5+6+7-8-9+10
Zadanie wbrew pozorom nie jest wcale trudne. Wystarczy stworzyć takie działania dla liczb mniejszych od 55 i podzielnych przez 7 (7,14,21,28,35,42,49). Z tych liczb tylko 7 da się przedstawić jako suma różnic oraz iloczyn ilorazów tych dziesięciu
liczb. Nie wiem czy rozwiązań jest więcej niż jedno. Działania wykonujemy zgodnie z zasadami arytmetyki.
1-2+3+4-5+6+7-8-9+10=7
1/2*3*4/5*6*7/8/9*10=7
@Michał S
To (512) nie jest aż tak bardzo trudne bez komputera. Są pewne wskazówki naprowadzające, choć trochę wysiłku jest konieczne.
Trudniejsze może się okazać to, czego Gospodarz nie powiedział wprost: czy wszystkie kratki muszą być uzupełnione znakami, czy tylko mogą?
Jeśli mogą, to możliwości jest trochę więcej
Gospodarz dopowiada wprost, że nie dopowiada wprost tego, co oczywiste.
mp
Dawno nie rozwiązywałem, ale teraz znów udało mi się rozwiązać w pamięci. Zauważmy, że 6! = 720 i 8*9*10 = 720. Pozostaje 7, oczywiście przez tę liczbę musimy mnożyć, a nie dzielić, jeśli więc obliczymy na przykład (1/720)*7*8*9*10, to otrzymamy 7. To przypadek MD (mnożenie i dzielenie), a w przypadku DO (dodawanie i odejmowanie) mielibyśmy 1-2-3-4-5-6+7+8+9+10 = 15. Nie jest idealnie, ale jest blisko, wystarczy teraz zauważyć, że 8*9 = 3*4*6 = 72. Zamieniamy przed tymi liczbami mnożenie na dzielenie i odwrotnie, a następnie dodawanie na odejmowanie i odwrotnie, i dostajemy:
MD = 1/2*3*4/5*6*7/8/9*10 = 7
DO = 1-2+3+4-5+6+7-8-9+10 = 7
Po prostu jeśli na początku różnica była 8 (15-7), to wystarczyło składniki o sumie 17 (8+9) zastąpić składnikami o sumie 13 (3+4+6), tu dodać 4, tam odjąć, w sumie 8.
7 to jedyny możliwy wynik, bo kolejną liczbą musiałaby być 28 (gdybyśmy zmienili w jakimś przypadku „podzielić przez 2” na „pomnożyć przez 2”), a gdyby „sumoróżnica” miała być 28, to mielibyśmy nadreprezentację dużych liczb ze znakiem +, czyli „iloczynoiloraz” szybowałby w górę.
Programem:
1-2-3+4+56-7-8+9+10 = 60
1/2/3*4*56/7/8*9*10 = 60
Gdyby można było pomijać kratki i łączyć cyfry, tworząc liczby, to bym o tym napisał. Jest to więc bardzo fajne rozwiązanie w tej samej dyscyplinie, ale w innej konkurencji.
mp
@Michał
512 wariantów dla komputera to jest pryszcz. Sprawdziłam to teraz; użyłam generatora permutacji z powtórzeniami oraz Excela i znalazłam rozwiązanie w jakieś 10 minut. Rozkminianie tego z ołówkiem w ręku i zwykłym kalkulatorem w komórce zajęło mi chyba z pół godziny. Oczywiście ta druga aktywność była o niebo ciekawsza.
@Panie Marku,
jak należy rozumieć sformułowanie „na piechotę”? Bo ja do tej pory myślałam, że to znaczy „bez komputera, z ołówkiem w ręku”, ale teraz już sama nie wiem. Może „na piechotę” to znaczy sprawdzanie wszystkich wariantów (także komputerem)?
Po mojemu „na piechotę” to właśnie „bez komputera” albo ściślej: bez korzystania z programu, wykonującego czarną robotę.
mp
Z danych wynika, że szukana liczba X jest: całkowita z zakresu 1..55, a liczba 7 ma przed sobą znak mnożenia (dodawania).
Prawą stronę można zapisać jako ułamek z liczbą 1 oraz czynnikami pierwszymi wszystkich pozostałych liczb od 2 do 10: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 5 5 7, przy czym w liczniku musi być 1 oraz co najmniej: 2 2 2 2 3 3 5 7, gdyż w przeciwnym przypadku nie otrzymamy liczby całkowitej.
Pierwsze podejście dla powyższego licznika 1*2*2*2*2*3*3*5*7=1*2*3*4*5*6*7 daje:
(1+2+3+4+5+6+7)-(8+9+10)=1
(1*2*3*4*5*6*7)/(8*9*10)=7
Drugie podejście dla tych samych czynników pierwszych, ale zapisanych jako 1*2*4*7*9*10 daje:
(1+2-3+4+7+9+10)-(5+6+8)=11
(1*2*3*4*7*9*10)/(5*6*8)=7
Trzecie podejście dla 1*3*4*6*7*10 daje:
(1+3+4+6+7+10)-(2+5+8+9)=7
(1*3*4*6*7*10)/(2*5*8*9)=7
co jest rozwiązaniem.
Ostatecznie:
1-2+3+4-5+6+7-8-9+10=1/2*3*4/5*6*7/8/9*10
Dopełnienie formalności:
1-2+3+4-5+6+7-8-9+10 = 7
1/2*3*4/5*6*7/8/9*10 = 7
W rozwiązaniu zadania po lewej stronie równości można zmienić znak tylko jednej z liczb, a wtedy po prawej plusom przypisać dzielenie oraz minusom mnożenie i otrzymamy rozwiązanie-ciekawostkę.
Której liczbie należy zmienić znak?
1-2+3+4-5+6+7-8-9+10=1/2*3*4/5*6*7/8/9*10=7
W mojej zagadce znalazłem, niestety, szewski błąd, więc unieważniam zadanie. Tak mi przykro…
Zadania dla najmłodszych matematyków to moje ulubione, choć sam się już do nich nie zaliczam. Zastanówmy się nad tym zadaniem w wariancie podstawowym, ale w ogólnym wymiarze. Dla dowolnego układu n liczb Rzeczywistych ma ono rzecz jasna kontinuum rozwiązań. Dla n=1 spełnia je bowiem każda liczba. Dla dowolnego układu n-1 (n>1) liczb (a; b; …z), dla których a*b*…*z ≠ 1, dobieramy jako n-tą liczbę:
# = (a+b+…z) / (a*b*…*z – 1)
aby układ n liczb: (a; b; …, z; #) miał sumę S(..) równą iloczynowi I(..). Przy okazji, taki na przykład wykres z = (x+y)/(x*y – 1) opisuje całkiem ładny krajobraz górski z wierzchołkami w chmurach.
Ale najbardziej lubimy liczby całkowite. To nam dałby niejako przy okazji najbardziej chyba oczywisty układ liczb o własności S=I, czyli (0; 0; …0; -a; a). Jednak chętnie zgodzimy się co do tego, że równość S=I na poziomie 0 jest trywialna więc ją wykluczamy z rozważań.
Zawsze, tj. dla każdego n>1, możemy znaleźć układ liczb Naturalnych o pożądanej własności:
(1; 1; …1; 2; n), gdzie na pierwszych n-2 miejscach są jedynki.
A gdyby chcieć włączyć liczby ujemne? Pytamy o układ liczb całkowitych niezerowych z przynajmniej jedną liczbą ujemną. Jeśli n>1 jest nieparzyste, to też nie problem, własność tę ma:
(-1; -1; …-1; -2; -n), gdzie na pierwszych n-2 miejscach stoi minus jeden.
A jak jest dla n parzystego? Może nieco trudniej, ale nadal chyba za łatwo jak na zadanie u pana Marka 🙂
Dla n =2 raczej się nie uda, ale dla n = 2i (i>1) rozważmy układ:
(1; -1; 1; -1; … 1; -1; ~2; ~2), gdzie 1 i -1 występują po i-1 razy każde.
Symbol ~ oznacza na razie nieustalony znak tj. 1 lub -1. Mamy teraz
S = 0 + ~4 = ~4;
I = (-1)^(i-1) * ~~4 = (-1)^(i-1) * 4
skąd warunek ~ = (-1)^(i-1). Zatem jeśli i jest parzyste to ~ = -1, jeśli i nieparzyste to ~ = 1.
Jest tylko jedno rozwiązanie:
1-2+3+4-5+6+7-8-9+10 = 1/2*3*4/5*6*7/8/9*10 = 7
Ależ to wymarzone zadanie „na piechotę”. Wczoraj bardziej zaciekawiły mnie ramy ogólne problemu, ale dziś w nocy, obudzony przez kota, mogłem spokojnie przemyśleć zadanie właściwe.
Elementarna analiza prowadzi do wniosków, że wspólna wartość obu stron równania a) jest liczbą naturalną, b) nie przekracza 55, c) jest nieparzysta.
Czynniki pierwsze po stronie multiplikatywnej to 8 dwójek, 4 trójki, 2 piątki, 1 siódemka. Siódemka nie ma się z czym skrócić więc mówiąc potocznie musi być w liczniku. Ze względu na nieparzystość wspólnej wartości trzeba rozdzielić dwójki po połowie w liczniku i w mianowniku. Wspólna wartość będzie więc nieparzystą krotnością siódemki ograniczoną limitem tj. 7, 3*7=21 lub 5*7=35. Ale są 4 trójki więc albo się znoszą albo większość jest w liczniku, a to już ciut za dużo (analogicznie piątki).
Ostatecznie, równość obu stron może zachodzić tylko przy wartości 7 (ulubionej!).
Warunek dodatkowy (układ znaków multiplikatywnych odpowiada układowi addytywnych) ułatwia szukanie. Wystarczy jeden ciąg bitów (+1 lub -1) kodujący mnożniki znaków a jednocześnie wykładniki potęg. Bitów jest 8 bo przy siódemce musi być +1. Szukając na ślepo mamy maksymalnie 256 przypadków, ale równość na poziomie 7 mocno ogranicza możliwości.
Po kilku próbach przy komputerze szybko znalazłem układ:
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;
-1; 1; 1; -1; 1; 1; -1; -1; 1;
Excel tylko wyliczał wartości wyrażeń wg wpisywanych ręcznie w jednym wierszu znaków +1 i-1.
PS. Czy to można nazwać rozwiązaniem na piechotę, skoro większą część pracy wykonałem w pościeli?
Na piechotę wystarczy rozważyć 16 przypadków. Dwójki muszą się upraszczać lub lekko przeważać w liczniku. Trójki i piątki muszą się upraszczać.