Podwójnie za 10
Zadania w Łamiblogu bywają różne. Wprawdzie daniem głównym są łamigłówki diagramowe, które umownie nazywam „japońszczyzną” (ze względu na rodowód większości tego typu zadań), ale, ogólnie mówiąc, nic, co logiczne, nie jest mi obce. Zdarzają się więc wyskoki w stronę szachów lub szkolnej matematyki. I właśnie tej ostatniej dotyczy dzisiejszy wpis, a zadanie wydaje mi się orzeszkiem dość twardawym.
Oto niby trywialny ciąg arytmetyczny rosnący o różnicy 10:
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.
Taki rodzaj ciągu nazywam podwójnym, ponieważ sumy cyfr jego kolejnych wyrazów także tworzą ciąg arytmetyczny rosnący (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; różnica 1).
Przykładów ciągów podwójnych można utworzyć mnóstwo. Czy każdy będzie skończony i złożony z co najwyżej 10 wyrazów? Można dowieść (choć to nieproste), że skończony być musi, ale wyrazów może być więcej.
Proszę utworzyć ciąg podwójny składający się z co najmniej 11 wyrazów (oczywiście o dowolnej różnicy, byle był podwójnie arytmetyczny i podwójnie rosnący). I dodatkowy warunek: pierwszy wyraz ciągu powinien być jak najmniejszy.
Uwaga (dopisane 14.09): ciąg powinien składać się z liczb naturalnych.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Znalazłem taki oto ciąg:
5, 510, 1015, 1520, 2025, 2530, 3035, 3540, 4045, 4550, 5055 (różnica 505).
Sumy cyfr:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 (różnica 1).
Okazuje się, że takich ciągów jest dość dużo. Szukałem ciągów, których pierwszy wyraz i różnica nie przekraczają 1000 i znalazłem 958 różnych rozwiązań! Powyższe rozwiązanie ma najmniejszy pierwszy wyraz.
Nie mam jeszcze 100% pewności że 5 jest najmniejszym możliwym pierwszym wyrazem, ale sprawdziłem, że nie ma ciągu spełniającego warunki zadania, gdzie pierwszy wyraz jest mniejszy od 5, a różnica nie przekracza 500000. Rozważam oczywiście tylko ciągi o wyrazach całkowitych nieujemnych.
Brawo! To jest to (moim zdaniem, bo pewności także nie mam). Co ciekawe, ten ciąg jest dłuższy – sięga 19 wyrazów. Czy wśród wspomnianych 958 ciągów także są inne dłuższe niż 11-wyrazowe? Jakie są najdłuższe?
mp
Hmm, wszystkie warunki zadania spełnia ciąg: a₀=-9, r=1. Ma 19 wyrazów. 🙂
Myślę, że przeoczył Pan tę możliwość i chodziło jednak o ciąg nieco grzeczniejszy, taki jak: a₀=5, r=505 zawierający również 19 wyrazów.
Oczywiście że chodzi o grzeczne ciągi (liczby naturalne), a nie wybryki natury 🙂 (choć wybryki też są ciekawe).
mp
Zgodny z warunkami jest też taki ciąg:
a₀=-2147483613, r=683, n=11
” łamigłówki diagramowe, które umownie nazywam „japońszczyzną””…
Żona, po przeczytaniu powyższego tekstu, spytała: czy Japończycy to nadludzie? Nie ma poważnych łamigłówek chińskich, polskich, wenezuelskich? Dlaczego nie ma?
No właśnie, dlaczego? Nigdy się nad tym nie zastanawiałem, ale jak spojrzeć szerzej, to nie widać wyraźnych powodów. Czym się Japończycy wyróżniają? Wiem, pracują 25 godzin na dobę, potem piją sake przez kolejne 8 godzin, potem dojazd do domu przez 2 godziny… Jedzą też ryż i fugu. Coś poza tym?
Proszę o zadanie (diagramowe) wenezuelskie, polskie lub chińskie. Inaczej żona będzie żądała rozwodu. Chce pan to mieć na sumieniu?
Ale o co ten rozwód? O brak zadania wenezuelskiego? I z kim? Z Panem czy ze mną?
Niemal wszystkie łamigłówki diagramowe (no, niech będzie, że 90%), jakie są obecnie w obiegu, mają japońskie korzenie. Podobnie jak wszystkie rasy psa domowego pochodzą od wilka, a całe bydło europejskie od tura.
mp
Zgodnie ze szkolnym nawykiem, zadanie umieściłem pod poduszką. Nie wyspałem się. Przypomniałem sobie baśń Andersena o księżniczce na ziarnku grochu, a między nimi jedenaście materaców.
-0,9; 9,1; 19,1; 29,1; 39,1; 49,1; 59,1; 69,1; 79,1; 89,1; 99,1;
Ale pierwszy ma być jak naj… , więc może
-9; 91; 191; 291; 391; 491; 591; 691; 791; 891; 991;
Ale dlaczego nie miałoby być lepiej
-90; 910; 1910; 2910; 3910; 4910; 5910; 6910; 7910; 8910; 9910;
I jeszcze lepiej
-900; 9100; ……………..
I jeszcze
……………………
? Hmm. Teraz już wiem dlaczego się nie wyspałem.
Moje nadzieje na królewskie predyspozycje legły w gruzach a na twardawy orzeszek czeka państwowe muzeum osobliwości.
Najmniejszy początek ciągu, jaki znalazłem, to 5, różnica samego ciągu głównego to aż 505, ciąg składa się z 19 wyrazów, suma cyfr zaczyna się od 5 i kończy na 23, a więc różnica drugiego ciągu to 1.
Czyli:
5, 510, … , 9095.
Fascynujące, niezgłębione zadanie,
nie opuszcza mnie natrętne oddanie,
trafiam to samo, wirówka nonsensu,
nie taki przypadek, raz się przyśniło,
kroki za wielkie z dystansu dużego,
w końcu ostatni tuż-tuż przed metą,
siedmiomilowe z suwmiarką, kupię!
Spośród znalezionych przeze mnie 958 rozwiązań, aż 734 rozwiązania to ciągi mające więcej niż 11 wyrazów:
* 228 ciągów 12-wyrazowych,
* 128 ciągów 13-wyrazowych,
* 96 ciągów 14-wyrazowych,
* 57 ciągów 15-wyrazowych,
* 93 ciągi 16-wyrazowe,
* 57 ciągów 17-wyrazowych,
* 25 ciągów 18-wyrazowych,
* 50 ciągów 19-wyrazowych.
Ciekawostka: wszystkie 19-wyrazowe mają różnicę równą 505.
Nie udało mi się też (jak na razie) znaleźć ciągu mającego więcej niż 19 wyrazów.