Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

25.01.2018
czwartek

Tu się zgina

25 stycznia 2018, czwartek,

Kartka papieru jest najczęściej formatu A4, czyli ma wymiary 210×297 mm. Potraktujemy ją jak prostokąt ABCD i zegniemy na pół, ale w nietypowy sposób – tak, aby punkt B pokrył punkt D. W efekcie powstanie figura taka, jak na rysunku.

Po rozłożeniu kartki linia zgięcia będzie dobrze widoczna:

Jaka jest długość tej linii?
Chodzi oczywiście o znalezienie wzoru na długość linii zgięcia (d) w zależności od wymiarów kartki (a×b), a nie o zastosowanie metody mojego wnuka, który sięgnął po linijkę i odczytał wymiar.
To była prostsza połowa powtórki z matematyki. Druga część wydaje się nieco trudniejsza: proszę obliczyć pole powierzchni składki na pierwszym rysunku, czyli pięciokąta obejmującego części szarą i białą.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 16

Dodaj komentarz »
  1. Dane: a, b
    Szukane: d, P (zacieniowane)
    Rysunek:
    http://pokazywarka.pl/hsbgvz/
    ———————————————————————-
    c liczymy z Pitagorasa:
    c = sqrt{a^2+b^2}
    d liczymy z podobieństwa trójkątów DCB i DEF (obydwa są prostokątne i mają kąt alfa)
    0,5c : a = 0,5d : b
    d = (bc) : a
    d = [b x (sqrt{a^2+b^2})]:a

    Zacieniowane pole to różnica pól prostokąta ABCD i trójkąta DGF. Trójkąt DGF to połowa rombu DGEF.

    P (rombu DGEF) = 0,5cd
    P (rombu DGEF) = 0,5 x sqrt{a^2+b^2} x [[b x (sqrt{a^2+b^2})]:a]
    P (trójkąta DGF) = 0,25 x sqrt{a^2+b^2} x [[b x (sqrt{a^2+b^2})]:a]

    P (zacieniowane) = ab – 0,25 x sqrt{a^2+b^2} x [[b x (sqrt{a^2+b^2})]:a]

    Do upraszczania tych wyrażeń nie mam już głowy… 🙂
    Ale tok myślenia chyba jest OK?

  2. d=(b/a)*pierwiastek(a*a+b*b)=257,19204931251
    P=b(3*a*a-b*b)/(4a)=38982,0454545455

  3. Pkt. X końca linii zagięcia na odc. [AB] spełnia war. XD=XB. Oznaczając x=AX mamy z trójkąta prostokątnego AXD:
    x^2+b^2 = (a-x)^2 skąd x = (a^2-b^2)/2a

    Biały trójkąt czyli AXD ma pole:
    P1 = xb/2 = b(a^2-b^2)/4a

    Cały 5-kąt składki można rozłożyć na 4 trójkąty prostokątne (w tym 2 przystające do AXD) więc jego pole wynosi:
    P = 3P1+P2 gdzie P2 = b(a-2x)/2 = b^3/2a

    Ostatecznie szukane pole to:
    P = b(3a^2-b^2)/4a

    Można sprawdzić ten wynik dodając do P pola dwóch trójkątów zakrytych składką – powinniśmy dostać pole całego prostokąta:

    P+P1+P2 = b(3a^2-b^2)/4a + b(a^2-b^2)/4a + b^3/2a = ab

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Podaję odpowiedź, bez uzasadnienia (może później znajdę na nie czas):

    d = (b / a) * sqrt(a^2 + b^2)

  6. d=b/a sqrt(a^2+b^2)
    P=b/(4a)(3a^2-b^2)

  7. S = 5/8 *a *b
    d=√(a^2/4+b^2 )

  8. Dałem nadmiarową ilość nawiasów, żeby nie było żadnych wątpliwości.
    d=(√(a^2+b))/a
    S=?

  9. Przyjmijmy, że dłuższa przekątna prostokąta to: p
    Wtedy:
    d = p*(b/a)
    S = b/2*(2a-p^2/(2a))

    Chyba wystarczy „przekątna” (bez „dłuższa”)
    mp

  10. Nazwijmy punkty leżące na końcach zgięcia X (na odcinku AB) i Y.
    X leży w tej samej odległości od B i D, tak samo Y od A i C, więc XBYD jest rombem.

    s = |AX|
    t = |XB| = |XD|
    s+t = a
    t^2 = s^2 + b^2
    Po przekształceniach:
    s = a/2 – b^2/2a
    t = a/2 + b^2/2a

    Zacznijmy od drugiego pytania. Pole pięciokąta jest równe polu kartki pomniejszonego o połowę pola rombu XBYD.
    Pole kartki, to pole rombu i dwa pola trójkątów AXD.

    P(XBYD) = t*b
    P = P(ABCD) – P(XBYD) / 2 = a*b – t*b/2

    A pierwsze pytanie:
    Przekątna kartki:
    z = |BD| = √(a^2 + b^2)
    P(XBYD) = d*z/2
    d = 2*t*b / z

  11. „Pole kartki, to pole rombu i dwa pola trójkątów AXD.” – to zdanie zrobiło się zbędne w momencie, gdy zmieniłem koncepcję. Zmieniła mi się też koncepcja na odmianę tego wyrazu: „pomniejszonego”.

  12. Dla dowolnego prostokąta:
    d = √(b^2+b^4/a^2)
    S = (3 a^2 – b^3)/4a
    Jeżeli kartka jest znormalizowanym arkuszem, to a = b √2 i wtedy:
    d = b √(3/2)
    S = 5√2/8 b^2

  13. Ups, ale gafa.
    Podczas rozwiązywania, pojawił mi się na rysunku romb, którego przekątnymi są długość zgięcia d i przekątna prostokąta. Chyba przez to, tak mi się głupio napisało.

  14. Podam same odpowiedzi;
    d=(b/2a)*sqrt(a^2+b^2),
    s=(b/2a)*(a^2+b^2).
    Pozdrawiam.

  15. I znowu odpowiedź bez uzasadnienia:

    P = (1/4) * (b/a) * (3a^2 – b^2)

    Po podstawieniu danych z treści zadania, czyli standardowych wymiarów kartki A4 (podanych w milimetrach) otrzymujemy:

    d = 257,1920493 mm
    P = 38982,04545 mm^2

  16. d^2=b^2 + (b^2/a)^2;

  17. Zapomniałem o drugiej części pytani:
    P=ab – (a^2+b^2)*b/(4a)

css.php