Sekstet
Litery A, B, C, D, E, F odpowiadają sześciu kolejnym cyfrom, a ściślej – liczbom jednocyfrowym – ale ustawionym w przypadkowej kolejności. Inaczej mówiąc, liczby te mogą obejmować zakres od 0 do 5, od 1 do 6, od 2 do 7, od 3 do 8 lub od 4 do 9. Liczba EF jest równocześnie sumą cyfr i dzielnikiem liczby ABCD; dzielnikiem ABCD jest także liczba EF+1.
Czy korzystając z tych informacji można bez komputerowego wsparcia ustawić litery od A do F w kolejności rosnącej odpowiadających im cyfr? I oczywiście jaka będzie ta kolejność?
Komentarze
Można bez wsparcia komputerowego.
1. pytanie: Ile może wynosić EF?
6+7+8+9=30, ale nie możemy użyć cyfr 3 i 9 jednocześnie.
EF jest mniejsze niż 30.
2. pytanie: Czy EF może być liczbą z zakresu 23-27?
7+6+5+4=22
Nie może.
3. pytanie: Czy EF może być liczbą z zakresu 12-16?
Szukamy sumy z zakresu 12-16, której składniki są różne i nie zawierają 0,1,7,8,9. Znajdujemy jedynie: 15=2+3+4+6, tylko że choćby nie wiem jak poprzestawiać cyfry, nic podzielnego przez 15 nie wyjdzie.
Nie może.
4. pytanie: Czy EF może być liczbą z zakresu 10-15?
Szukamy sumy z zakresu 10-15, której składniki są różne i nie zawierają 1,6,7,8,9. Mamy jedynie:
12=0+3+4+5
5. pytanie: Czy da się poukładać cyfry 0,3,4,5 tak, aby wyszła liczba 4-cyfrowa podzielna przez 12 i 13?
Tak: 530412
5+3+0+4=12
5304:12=442
5304:13=408
C,E,F,B,D,A
EF=12, ABCD=5304
Szukana liczba to ABCD = 5304, skąd łatwo wynikają odpowiedzi na pozostałe pytania (EF=12).
Jest to jedyne rozwiązanie oraz LICZBA NIVENA :-).
Zaskakujące, że drogą czystej dedukcji można sprowadzić to zadanie do niewielkiej części rachunkowej polegającej na zbadaniu podzielności 10 liczb 4-cyfrowych przez 156 (12*13), co można wykonać pisemnie (jako leń użyłem kalkulatora). Ciekawe czy można i to jakoś uprościć?
Czy można wiedzieć, kto jest autorem tej perełki zadaniowej?
Perełki? Miło czytać taki duser.
mp
Odpowiedz na pierwsze pytanie:
Tak. Bez komputerowego wsparcia można rozwiązać postawiony problem.
Komputer to tylko maszyna realizująca szybko kroki algorytmu. Te same kroki zawsze można zrealizować ręcznie…
Wg mnie, pytanie powinno być postawione tak:
Czy można w sprawny sposób ręcznie ustawić litery, tak aby …
Nie dobrze… Aby czytelnicy nie narzekali, że się wymadrzam, podaję algorytm postępowania (nie wykonywałem go, bo ciężko go wykonać bez kartki inolowka):
Liczba EF jest dwucyfrową, w dodatku jej cyfry różnią się o maksymalnie 5. To znaczy że ta liczba może przyjąć ok. 60 różnych wartości: 10,11,12,13,14,15,16,20,21,23,24,25,26,27,30,31…
Dla każdej z z tych wartości sprawdzamy co następuje.
Liczba ABCD jest podzielna przez EF oraz EF+1. Ponieważ obie liczby są względnie pierwsze, więc ABCD jest wielokrotnością EF * (EF+1)
Zatem wystarczy dla każdej wartości EF sprawdzać kolejne wielokrotności iloczynu EF*(EF+1) – jest ich średnio kilkanaście (dla mniejszych wartości EF jest więcej takich wielokrotności, dla większych wartości jest mniej)
Dobrze napisany algorytm na komputerze będzie miał do sprawdzenia kilkadziesiąt * kilkanaście możliwości – szacując od góry będzie to maksymalnie wielkość rzędu 1000. To nie wydaje się trudne do zrobienia ręcznie. Tym bardziej, że ręcznie często można skorzystać z pozostałych warunków zadania, i np. wyeliminować całą serię kolejnych przypadków, w których na oko widać, że rozwiązania nie będzie.
PS. Od poniedziałku będę miał chwilę na to aby usiąść z kartką i ołówkiem… Zmierzę sobie czas realizacji powyższego algorytmu ręcznie. Szacuje, że zajmie mi to 30-60 minut. Oczywiście poinformuje o wynikach eksperymentu.
PPS. Miłośnikom Łamibloga polecam „Gry matematyczne i logiczne”. Co roku są organizowane mistrzostwa Polski, a zadania często są podobne do tego z aktualnego wpisu na łamiblogu. W tym roku właśnie minął termin nadsyłania rozwiązań z pierwszej serii, ale warto zajrzeć do archiwum i przejrzeć zadania z lat poprzednich…
Nie jestem na 100% pewna, że rozumiem polecenie, ale znalazłam jedno rozwiązanie, więc się nim podzielę:
ABCDEF = 432015, zatem kolejność liter jest: DECBAF.
Przysięgam, używałam tylko kalkulatora.
Oczywiście wierzę, ale… nie jest spełniony warunek, aby suma cyfr liczby ABCD była równa liczbie EF.
mp
@Miodziu
Chyba nie zawsze te same kroki?
Wydaje mi się, że jakbym miała rozwiązywać to zadanie komputerowo, zaczelabym od zupełnie innej strony. I na odwrót: nie umiałabym skłonić komputera do zrobienia takiej analizy, jaką zrobiłam w głowie.
Trudno byłoby mi podać choć jeden rozsądny powód, aby przy tym konkretnym zadaniu skorzystać z pomocy maszyny liczącej.
Natomiast powodów, aby trzymać komputer jak najdalej od tego zadania jest mnóstwo. Przytoczę tylko jeden, ale jakże dający wiele do myślenia.
We wstępie do jednej ze swoich książek, matematyk (specjalista teorii liczb) Paulo Ribenboim pisze: „… Pragnę, aby (Czytelnik) ćwiczył swój umysł i palce – i to w tej kolejności, a nie odwrotnie. …”.
A ja myślałam, że 1+2+3+4+5=15…
Można, sprawdzając sumy cyfr, czyli liczby EF. Największa możliwa jest 9+8+7+6 = 30, no ale to oczywiście nie może być, bo z 9, 8, 7 i 6 mogą być tylko 5 i 4, a nie 3 i 0. Z oczywistych powodów nie może być 29 ani 28, a 27 to za dużo, bo suma cyfr jest 3+4+5+6 = 18, a to za mało. Itd, i nawet 23 to za dużo, bo 4+5+6+7 = 22. Nie może być 22. 21 to już musiałoby być 3+4+5+6 = 18 – za mało. 20 nie może być, bo nie może się kończyć na 0, bo wielokrotność też musiałaby się kończyć na 0. 19, 18, 17 nie mogą być, oczywiste. 16 nie, bo 2+3+4+5 = 14. 15 nie, bo wprawdzie 2+3+4+6 = 15, ale wielokrotność 15 musi kończyć się na 5 lub 0. 14 nie, bo albo jest za dużo (1-6), albo za mało (0-5). Podobnie 13 i zostaje 12. 0+3+4+5 = 12, bingo. Ma to być dzielnik liczby 12 i 13, czyli 12*13 = 156. Można znaleźć na piechotę liczbę 5304. 11 i 10 wiadomo że nie.
Weekend, dużo czasu… pomyślałem że spiszę porządnie całe rozwiązanie. Może się komuś przyda?
————————————————————————–
Oznaczenia: ciąg liter oznacza liczbę w systemie pozycyjnym,
dlatego nie można pomijać znaku mnożenia;
@ := {A, B, C, D, E, F}
# := {A, B, C, D}
s := A+B+C+D
e := EF = 10*E+F
a := ABCD = 1000*A+100*B+10*C+D – liczba czterocyfrowa tj. A > 0
Założenia:
[Z0] @ = {k, k+1, k+2, k+3, k+4, k+5} dla pewnego k ϵ {0, 1, 2, 3, 4}
[Z1] e = s
[Z2] a = n*e dla pewnego n ϵ N
[Z3] a = m*(e+1) dla pewnego n ϵ N
Oznaczmy d = n-m, wtedy d ϵ N oraz
(m+d)*e = m*(e+1) => 1+d/m = 1 + 1/e => d*e = m
więc [Z3] możemy zapisać w postaci (pierwszy wniosek):
[W1] a = d*e*(e+1)
W szczególności a jest parzysta.
Oszacujmy s:
6 = 0+1+2+3 ≤ s ≤ 6+7+8+9 = 30
Przypuszczenie, że F=0 pociąga D=0 [Z2], sprzeczność bo D≠F [Z0].
Podobnie E=0 pociąga e = F ≤ 9 oraz s ≥ 1+2+3+4 = 10 – sprzeczność.
Zatem E>0 i F>0, co pozwala na lepsze oszacowanie s:
12 ≤ e=s ≤ 29
Stąd wynika drugi ważny wniosek
[W2] E = 1 lub E = 2.
Przypadek E=1 / podprzypadek 0 ϵ @
Mamy @ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} oraz E,F ≠0 i więc 0 ϵ #: Możemy poprawić szacowanie s
12 ≤ e=s ≤ 0+3+4+5 = 12
Zatem e=12, # = {0, 3, 4, 5} oraz 12*13 = 156 | a.
Wobec parzystości liczby a także cyfra D musi być parzysta, ponadto A>0.
W tym przypadku istnieje tylko 10 wartości, podanych niżej w tabeli, które może przyjąć liczba a. Wystarczy zbadać ich podzielność przez 156 tj. czy d ϵ N.
a d
3054 19,57692308
3504 22,46153846
5034 32,26923077
5304 34
3450 22,11538462
3540 22,69230769
4350 27,88461538
4530 29,03846154
5340 34,23076923
5430 34,80769231
W tym przypadku jest więc tylko jedno rozwiązanie
[R1] e=12 a=5304
Przypadek E=1 / podprzypadek 1 ≤ @
Ponieważ @ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} więc
14 = 2+3+4+5 ≤ s=e ≤ 16
Równość e=s zachodzi tylko w przypadku # = {2, 3, 4, 6}, wtedy:
e=15 oraz s = 2+3+4+6 = 15
Ale e*(e+1)=15*16 = 240 więc warunek [W1] pociąga D=0, sprzeczność.
Przypadek E=2
Przypuszczenie 1 ϵ @ prowadzi do sprzeczności:
21 ≤ e=s ≤ 6+5+4+3=18
Zatem musi zachodzić 2 ≤ @ ale wtedy też dochodzimy do sprzeczności:
23 ≤ e=s ≤ 7+6+5+4=22
Ostatecznie [R1] jest jedynym rozwiązaniem tego zadania. ■
Tak da się,
CEFBDA
EF = 12
ABCD = 5304
Prawie wszystko w pamięci się da rozwiązać 😉 choć sprawdzałem mnożenie 156 na kalkulatorze.
Dla przedziału 4..9 najmniejsza suma to 22 a największa 30. Ale w przedziale 4..9 nie ma ani 2 ani 3, więc równanie (*) A+B+C+D=E*10+F nie ma rozwiązania.
Identyczna sytuacja jest dla przedziału 3..8 i 2..7. Dla przedziału 1..6 mamy sumy w przedziale 10..18, więc E=1 i mamy 5 przypadków z których tylko jeden spełnia (*) 2+3+4+6=15.
Ale nie jest tu spełnione równanie (**) A*1000+B*100+C*10+=D=(E*10+F)*K bo prawa strona kończy się cyfrą 0 lub 5 a lewa ma na końcu 2,3,4 lub 6.
Pozostaje przedział 0..5, gdzie sumy leżą w przedziale 06..14. Sumy od 06 do 09 są niemożliwe.
Dla sum od 10 do 14 tylko jedna spełnia (*) 0+3+4+5=12. Liczba podzielna przez 12 może kończyć się na 0,2,4,6,8. Mamy więc 12=3!+3! (0 lub 4 na końcu) przypadków do sprawdzenia z których tylko jeden jest dobry 5304=12*442 i 5304=13*408.
Odpowiedź: Kolejność liter to ABCDEF=530412.
P.S.
Jeśli chodzi o spór między programistami i matematykami to bywa różnie.
Raz aż się prosi żeby przełożyć „ręczną” metodę na program a innym razem łatwiej jest napisać program „siłowy”.
W tym przypadku siłowy program byłby prostszy niż tłumaczenie metody ręcznej ale i tak byłoby to bardziej pracochłonne niż metoda „kartka & ołówek”.
5304 i 12