Kółko z figurami
Osobom uczestniczącym w zajęciach kółka matematycznego prowadzący polecił oznaczyć na kartce cztery punkty – A, B, C, D. Należało to zrobić tak, aby wśród sześciu odległości między punktami (AB, AC, AD, BC, BD, CD) były tylko dwie różniące się długością. Następnie wszyscy narysowali odcinki łączące punkty.
Na kartce Hani pojawił się kwadrat – cztery długości (boki) były takie same, a dwie pozostałe (przekątne) też jednakowe, ale oczywiście inne niż długości boków. Na kartkach pozostałych kółkowiczów żadna z figur utworzonych przez linie zewnętrzne łączące punkty, nie była kwadratem, a w dodatku każda była inna, tzn. można ją było zwięźle określić w inny sposób jednym lub dwoma słowami, uwzględniając jej cechy charakterystyczne.
Ile osób uczestniczyło w zajęciach, jeśli liczba ta była największą z możliwych?
Komentarze
Po około minucie wpadłem na to, że jeśli w kwadracie Hani skracalibyśmy jedną z przekątnych, to uzyskiwalibyśmy romby które spełniałyby warunki zadania – byłoby ich nieskończenie wiele.
Ciekawy jest ten szczególny przypadek, kiedy jedna z przekątnych jest równa długości boku – wtedy warunki nie są spełnione.
A teraz idę na spacer i jeszcze raz to przemyślę – no chyba, że spotkam „Tę z tym brązowym psem”, którego rasy zawsze zapominam…
Kiedy jedna z przekątnych rombu równa jest długości boku, wtedy właśnie warunki zadania SĄ spełnione (dwie różne odległości: pięć jednakowych i jedna inna)
mp
Hmm, wyszło mi, że dzieciaków przyszło nieskończenie wiele…
http://pokazywarka.pl/2zbm3u/
Latawiec (deltoid) jest jeden. Gdy punkt na łuku zmieni położenie różne odległości będą więcej niż dwie.
mp
> Gdy punkt na łuku zmieni położenie różne odległości będą więcej niż dwie.
Nie. Trójkąt jest równoboczny, a odległość górnego wierzchołka do czerwonego punktu jest równa długości boku tego trójkąta. Punkt chodzi po łuku – coś jak promień koła o środku w górnym wierzchołku. A zatem te cztery długości zawsze są równe. A pozostałe dwie – nie.
Aaa, już rozumiem. Możemy mieć tylko dwie długości. Przedtem zrozumiałam, że 4 długości muszą być sobie równe, a 2 pozostałe mają być po prostu inne.
Uczestnicy mogli mieć fantazję i na różne sposoby mogli łączyć punkty. Mogli też zginać kartki i robić figury trójwymiarowe. Eh, nie znam wszystkich możliwych nazw i typów rombów, trapezów, elips i innych krzywych. Na pewno okrąg, półokrąg, trójkąt. A ile brył? A jeszcze da się odległość pociągnąć przez krawędź po obu stronach kartki.
Fantazja w matematyce nie jest dobrze widziana (co innego wyobraźnia). Odległość (euklidesowa) jest częścią prostej, czyli odcinkiem.
mp
Zamiast „półokręgu” miała być „półelipsa”.
1) Romb zbudowany z 2 trójkątów równobocznych
2) Kwadrat
3) Trapez ( A,B,C,D to cztery z pięciu wierzchołków pięciokąta foremnego)
4) A,B,C to wierzchołki trójkąta równobocznego, a D to punkt przecięcia jego wysokości
5) Deltoid ABCD, gdzie AD=BD=,CD=AC, a AB=BC
To są prawie wszystkie możliwości (brakuje jednej)
mp
Czy legalne jest rozwiązanie z pokrywającymi się punktami, np. A=B i C=D ? Wtedy mamy dwie odległości między punktami, z których jedna jest równa zero.
Sprytne, ale wtedy nie ma figury.
mp
@Michał S
(a dokładniej do komentarza Gospodarza):
Gdyby w trójkącie równobocznym ABC dołożyć punkt D, tak żeby C=D, to mamy figurę i spełnione warunki zadania.
No… tak. Więc bardziej zdecydowanie: punktowi w punkcie mówimy stanowcze nie!
mp
6) Czworokąt ACBD, gdzie AD=BD, a AC=AB=BC=CD
OK, ale to nie jest czworokąt.
mp
Skoro mają być cztery różne punkty (różne tzn. żaden nie pokrywa się z innym), to różnych figur będzie pięć. Oprócz kwadratu są to romb, deltoid, trójkąt równoboczny i trójkąt równoramienny.
No i jeszcze coś…
mp
Rzeczywiście. Są to romb, kwadrat, trapez, trójkąt równoboczny, deltoid i trójkąt równoramienny.
Oprócz kwadratu są na pewno jeszcze dwie możliwości: deltoid i trójkąt równoramienny z punktem w środku:
http://pokazywarka.pl/uf1u18/
Tylko troje dzieci?…
No nie… Kółko było wielodzietne 🙂
mp
Odpowiedź: W kółku matematycznym uczestniczyło 11 osób.
Cztery krawędzie mają mieć długość x, a dwie pozostałe y,z takie, że: yxz.
Różnice między figurami mogą być dwojakiego rodzaju.
a) różne relacje x, y, z; y, z < x / y <x<z /x<y,z
b) różne wzajemne położenia krawędzi o długościach x,y,z
Rożne kombinacje tych dwóch rodzajów różnic dają nam całe spektrum figur.
Po chwili namysłu dochodzimy do wniosku, że istnieją tylko dwa różne schematy połączenia 4 punktów przy pomocy 4 jednakowych krawędzi.
1) trójkąt równoboczny z ogonkiem
2) czworokąt
Te cztery krawędzie mają długość x. Pozostałe 2 (wiadomo które) mają długości y, z.
Pod załączonym linkiem jest rysunkowa analiza obydwóch przypadków.
Rysunek:
http://pokazywarka.pl/lrh6vs/
Trzy boki długości x to trójkąt równoboczny BFS. Czwarty bok długości x to SP gdzie P wędruje po okręgu od A do E.
Pozostałe dwa boki, które mają mieć długość inną niż x, to PB i PF. Nie zaznaczyłem ich na rysunku bo powstałby galimatias.
Przechodzimy do analizy:
P=A : y=z<x (deltoid)
P należy do (A,B) : y<z<x
P=B : y=0, z=x czyli jest 5 krawędzi długości x a zatem figura NIELEGALNA; to jest przypadek zgłoszony przez apartado wpisem 192438 i wyłączony dekretem Gospodarza 😉
P należy do (B,C) : y<x<z
P=C : mamy 5 krawędzi długości x czyli NIELEGAŁ
P należy do (C,D) : x<y<z plus samoprzecięcie
P=D : x<y<z (trójkąt prostokątny DBF) nie jest sprzeczny z warunkami zadania
P należy do (D,E) : x<y<z bez samoprzecięcia
P=E : x<y=z
Teraz wroćmy do nielegalnego przypadku P=C. Jest on punktem wyjścia do rozważenia drugiego schematu (czworokąta).
Jeśli ściśniemy rąb BCSF wzdłuż CF to otrzymamy rąb "podwyższony" gdzie x<y<z
Ściskamy jeszcze bardziej wzdłuż CF i otrzymujemy kwadrat x<y=z
Jeśli ściśniemy rąb BCSF wzdłuż BS to otrzymamy rąb spłaszczony gdzie y<x<z
Ściskamy jeszcze bardziej wzdłuż BS i otrzymujemy odcinek y=0<x<z=2x; figura nie jest sprzeczna z warunkami zadania
Podsumowując, mamy 7 przypadków dla pierwszego schematu i 4 przypadki dla drugiego schematu.Razem 11.
Oj, oj, to jest chyba rozwiązanie nieco innego zadania.
mp
Dałem się wyprowadzić w pole podobnie jak apartado i OlaGM. Dośpiewałem sobie to co napisałem dużą czcionką, poniżej.
„…..wśród sześciu odległości między punktami (AB, AC, AD, BC, BD, CD) były tylko dwie różniące się długością” OD POZOSTAŁYCH CZTERECH.
Bo zmylił mnie ten kwadrat Hani w którym:
„…cztery długości (boki) były takie same, a dwie pozostałe (przekątne) też jednakowe, ale oczywiście inne niż długości boków.”
A więc 4 takie same boki a dwa pozostałe inne niż te 4. Co prawda w kwadracie są one jednakowe (te dwa pozostałe) ale ogólnie mogą się różnić.
Tak więc rozważałem figurę w której występowały DWIE albo TRZY różne długości boków i jednocześnie 4 boki miały tę samą długość.
No ale w końcu wszystko jasne 🙂
Rzeczywiście 6 uczniów na kółku matematycznym (w dzisiejszych czasach) jest bardziej prawdopodobne niż 11 😉