Dzielnikowo
Zacząłem się bawić w kogoś w rodzaju korepetytora z matematyki. „Bawić” to chyba dobre określenie, bo zajęcie jest przyjemne, bezpłatne oraz – mam nadzieję, że będzie – pożyteczne. A przy okazji pojawił się temat do Łamibloga.
W zeszycie ćwiczeń dla klasy piątej na stronie 68 znajduje się następujące zadanie:
Z dwóch trójek, jednej jedynki i trzech zer zbuduj po trzy różne liczby:
a) podzielne przez 10
b) podzielne przez 100
c) podzielne przez 1000
Rozumiem to tak: w każdym punkcie – (a), (b) i (c) – należy utworzyć trzy różne liczby, korzystając ze zbioru {3, 3, 1, 0, 0, 0}. Tylko że wówczas w punkcie (a) trzy liczby nie będą różne (10, 30, 30), a w (b) i (c) zabraknie zer. Czyli albo ja źle rozumiem, albo zadanie jest źle sformułowane. Za drugą ewentualnością przemawia też to, że np. trzy liczby utworzone w (c) – zakładając, że się je utworzy – będą pasowały także jako rozwiązania (a) i (b).
Proszę zmienić tekst tego zadania tak, aby zachowując zwięzłość zyskało jednoznaczność.
Właściwie jest to prosta łamigłówka częściowo z polskiego, więc wypada uzupełnić ją czymś trudniejszym całkiem z matematyki:
Znajdź najmniejszą liczbę n, której…
a) dzielniki (niekoniecznie wszystkie) tworzą początek ciągu arytmetycznego, a suma tych dzielników równa jest n;
b) kolejne cyfry także tworzą początek ciągu arytmetycznego.
O początku ciągu arytmetycznego mówimy, gdy dane są jego przynajmniej trzy pierwsze wyrazy, czyli dwie jednakowe różnice; a zatem liczba n powinna być co najmniej 3-cyfrowa.
PS Jeszcze komentarz do komentarzy dotyczących zadania z poprzedniego wpisu.
Otóż indyjska komisja egzaminacyjna preferowała rozwiązania z szóstką zapisaną jako silnia trzech (3!). Ja natomiast wybrałbym do służby także tych, którzy zastosowali zapis całego działania w innym systemie liczbowym.
Komentarze
Nie widzę problemu: dlaczego w punkcie a) nie mogłyby być liczby np. 301030, 310030, 130030, w b) np. 301300, 310300, 130300, w c) odpowiednio 313000, 133000, 331000? Chyba już dostrzegłem, gdzie może być problem, otóż ja rozumiem to tak, że ma być sześć cyfr na jedną liczbę, a nie sześć cyfr na wszystkie trzy liczby. Słówko „po” odnosi się do tego, że mamy punkty a), b) i c), bez tego treść by mogła brzmieć: Z dwóch trójek, jednej jedynki i trzech zer zbuduj trzy różne liczby podzielne przez 10. Intuicyjnie, w pierwszym odruchu, rozumiałbym to po swojemu, czyli nie tak, że ma być 6 cyfr na 3 liczby.
Oczywiście, łatwo się domyślić, że autorowi zadania chodziło o to, aby każda liczba składała się z sześciu podanych cyfr, ale z treści zadania wynika, że w każdym punkcie trzeba z sześciu cyfr utworzyć trzy liczby, a nie każdą z trzech liczb. A poza tym liczby powinny być różne tylko w danym punkcie, więc dlaczego rozwiązanie w punkcie (c) nie może być także rozwiązaniem w punktach (a) i (b)?
mp
Najpierw spostrzeżenie:
Przyjmijmy, że dwa pierwsze wyrazy ciągu, to: x/2 i x/3. Trzeci automatycznie, to: x/3 – (x/2-x/3), a ich suma to x.
x musi być podzielne przez 6.
Trzycyfrowe liczby < 200 tworzące ciąg arytmetyczny nie spełnią tego warunku, bo są nieparzyste.
Przeskakujemy 204 i wpadamy na 210, która spełnia warunek z zadania.
Teraz wystarczy przeanalizować te liczby 1,3,37
123 => 1,3,41
135 => 1,3,5,9,15,27,45
159 => 1,3,53
Dzielniki są zbyt niskie, nie sumują się dobrze.
Zamiast analizować wszystkie przypadki, można inaczej: n wyrazów sumuje się do x, więc dla nieparzystego n środkowy wyraz = x/n, a połowa pozostałych będzie większa. Dla parzystego n dokładnie połowa wyrazów > x/n.
n=3 => środkowy wyraz, to x/3, jeden wyraz większy, to x/2 i siłą rzeczy trzeci wyraz wychodzi, jak na początku.
n=4 => dwa wyrazy powyżej x/4, to x/2 i x/3 – szybkie obliczenia, jak na początku i czwarty wyraz = 0
n=5 lub więcej => nie mniej niż połowa wyrazów spośród: x/2, x/3, …, x/n musi utworzyć ciąg arytmetyczny – bez dowodu: nie da się.
Jeszcze raz, bo chyba się nie wyspałem:
Teraz wystarczy przeanalizować te liczby: 111, 123, 135, 147, 159
111 => 1,3,37
123 => 1,3,41
135 => 1,3,5,9,15,27,45
147 => 1,3,7,21,49
159 => 1,3,53
Ja przywyklem juz do tego, że język potoczny nie jest precyzyjny i często występują w nim tego typu subtelne pomyłki.
Polecam poczytać prawo… Ile tam jest błędów/luk/pomyłek/niejednoznacznosci…
Tak na marginesie, INTERPUNKCJA MA ZNACZENIE:
„Moja stara piła leży w piwnicy.”
vs.
„Moja stara piła, leży w piwnicy.”
a) n=6, dzielniki 6 to 1,2,3,6. 1+2+3=6
b) n=246, dzielniki to 1,2,3,6,41,82,123,246. 41+82+123=246
Zadanie o treści jak z podręcznika zadałem dwojgu znajomym i rozwiązania były podobne do mojego, a nikt nie wpadł na 10, 30, 30. Może rozumienie jest takie, że jednak liczba zbudowana z cyfr to nie to samo, co na przykład dom zbudowany z klocków, czyli trzy domy z sześciu klocków musiałyby mieć po dwa klocki na dom? Podpunkty wydają się niezależne i jedna z dwóch osób, chcąc zabłysnąć, przedstawiła rozwiązanie dla c mówiąc, że to też jest poprawne dla a i b; piątoklasiście też należałoby oczywiście tę odpowiedź zaliczyć. Profesor Miodek by się tu przydał, albo Bralczyk, w każdym razie mam też tę właściwą zagadkę rozwiązaną, choć wydawała się niemożliwie trudna: jeśli liczba jest n, to wymarzoną sytuacją jest ciąg n/6, n/3, n/2, z różnicą n/6. To chyba wręcz jedyna możliwość, ale nie podejmuję się dowodu. Musi więc być to liczba podzielna przez 6, na przykład 246 i dzielniki 41, 82, 123. Jeszcze mniejsza jest 222, z dzielnikami 37, 74, 111. Ale to nie koniec – 210 ma 35, 70, 105. Od 1 mogłyby się zaczynać tylko ciągi rosnące i 111, ale ani 111, ani 123, ani 135, 147 czy 159 dobrymi rozwiązaniami nie są, jako nieparzyste, a więc na pewno niepodzielne przez 6. Czyli 210.
@aps1968:
Ktoś mnie wzywał? 🙂
Zagadka ekstra, „special for You”:
Dokończ poniższe zdanie:
Ksywka „miodziu” wywodzi się się z…
Odnosząc się do wpisu Gospodarza:
Zadanie jest sformułowane niejednoznacznie. Użyty język nie precyzuje, czy podany zbiór liczb ma wystarczyć do ułożenia wszystkich, czy też pojedynczych liczb. Autor zadania popełnił (zapewne nieświadomie) gafe.
Robienie ankiety wśród ludzi wg mnie mija się z celem, bo nawet jeśli 90% osób opowie się za którąś z opcji, to wcale nie oznacza, że ta opcja jest poprawna – być może te 90% jest zbyt głupich, aby się wypowiadać w temacie.
Ja przerabiam to na co dzień w pracy, gdzie ludzie (umysły ścisłe – programiści) nie potrafią zrozumieć dokumentacji napisanej wg mnie w sposób przystępny. Gdy są problemy i ludzie pytają o szczegóły, to siadam z takim delikwentem na osobnosci i czytam dokumentację na głos. Najczęściej delikwent po usłyszeniu (a nie tylko przeczytaniu) dokumentacji sam sobie odpowiada na większość postawionych pytań/wątpliwości.
Ps. Pozdrowię prof. wujka Miodka.
Zadania a), b) i c) są osobnymi zadaniami w podręcznikach. Nie mają mieć wspólnej odpowiedzi. Taka jest konwencja i uczniowie ją znają. Zresztą wystarczy popatrzeć na inne zadania z podpunktami, żeby zauważyć, że musi tak być – nie da się dobrać jednej odpowiedzi do wszystkich podpunktów. No i dziwne by było, gdyby autorzy podręczników mieli tracić czas na wymyślanie takich zadań z wieloma podpunktami, które prowadzi do jednej odpowiedzi dla wszystkich podpunktów.
W tym akurat wypadku oczywiście odpowiedź do b) będzie pasowała do a), a odpowiedź do c) będzie pasowała do a) i b).
@miodziu
Jeśli jesteś spokrewniony z prof. Miodkiem, to bardzo proszę oczywiście pozdrowić 🙂
Niezupełnie się zgodzę z tym brakiem sensu „robienia ankiety” (no jaka to ankieta, dwie osoby…), bo jak wiadomo, kto pyta, nie błądzi, a odpowiedzi nie trzeba przecież traktować na takiej zasadzie, że jak 90%, to musi być to prawda, tylko trzeba mieć do różnych odpowiedzi dystans. Być może mają te osoby (nb. jedna z nich to nauczycielka informatyki), ze mną włącznie, odpowiednie „sformatowanie” nadane przez system szkolny i podręczniki, że nie widzą w tak sformułowanej treści niczego osobliwego?
@OlaGM
No właśnie, taka jest konwencja (z tym a, b, c), że to osobne zadania.
a) 300310; 300130; 100330 (przykładowe)
b) 303100; 330100; 103300 (przykładowe)
c) 331000; 313000; 133000 (jedyne)