Śnieżny ciąg
Z zadań zamieszczonych w marcowym numerze Świata Nauki najmniej osób poradziło sobie z dotyczącym ciągu, który zaczyna się tak:
4, 30, 504, 1320, 43680, 116280, 6375600, 17100720,…
To z założenia ciąg typu „kula śnieżna”, czyli taki, w którym każdy następny wyraz jest o jedną cyfrę dłuższy od poprzedniego, czyli każdy n-ty wyraz powinien składać się z n cyfr. Problem w tym, że założenie działa tylko do ósmego wyrazu, nie sięga więc poza podany wyżej początkowy fragment. Jeśli bowiem zachować regułę, zgodnie z którą powstają kolejne wyrazy – a inaczej być nie może – to dziewiąty wyraz nie będzie 9-cyfrowy. Przyjmując dodatkowo, że wykluczamy n-te wyrazy krótsze niż n-cyfrowe, dziewiąty wyraz zgarnie 10 cyfr.
Chodzi oczywiście o rozszyfrowanie reguły rządzącej ciągiem i dopisanie tego dziewiątego wyrazu, a może i dziesiątego, który jest… 10-cyfrowy.
Ciekawe, że gdyby ciąg utworzony zgodnie z taką samą regułą zaczynał się od jedynki lub dwójki, to kończyłby jako „kula śnieżna” wcześniej – na piątym wyrazie. A zaczęty trójką jeszcze wcześniej – na trzecim, czyli już czwarty wyraz byłby 5-cyfrowy.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Prawdopodobnie chodzi o coś takiego:
1) 4 (4)
2) 30 (5×6)
3) 504 (7x8x9)
4) 1320 (10x11x12)
5) 43680 (13x14x15x16)
6) 116280 (17x18x19x20)
…..
itd.
a9=1402410240, a10=3776965920.
każdy kolejny wyraz ciągu to iloczyn x kolejnych liczb naturalnych >4, gdzie x rośnie o 1 co dwa wyrazy. 30=5*6, 504=7*8*9, 1320=10*11*12, 43680=13*14*15*16, 116280=17*18*19*20, 6375600=21*22*23*24*25 itd.
Marcowy numer ŚN nie należał do najłatwiejszych. Sam nie dałem rady temu zadaniu, ale na szczęście na spacerze z psem spotkałem ejsj. Zamiast o pogodzie, akurat porozmawialiśmy o marcowych zadaniach z ŚN i teraz już wszystko wiem.
Dla podanego ciągu zaczynającego się od 4, dziewiąty wyraz to 1 402 410 240 (a dziesiąty to 3 776 965 920).
Gdybyśmy zaczęli od 2, to byłoby 2, 12, 210, 7920, 32760 i nagle 1 860 480.
Jeśli od 3, to będzie 3, 20, 336 i stąd przeskok do 11880.
Reguła jest następująca: drugi wyraz ciągu (a2) jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych, z których pierwsza wynosi a1+1, a ostatnia z nich zależy od tego, kiedy ten iloczyn osiągnie pożądaną liczbę cyfr (o 1 większą niż poprzedni wyraz, albo innymi słowy spełniającą założenie, że ciąg jest kulą śnieżną). Kolejne wyrazy to również iloczyny kolejnych liczb naturalnych, ale zaczynamy od ostatniego czynnika w poprzednim iloczynie i dodajemy do niego 1. Przykład dla ciągu zaczynającego się od 4:
a1 = 4
a2 = (a1+1)*(a1+2) = 5*6 = 30
a3 = 7*8*9 = 504
a4 = 10*11*12 = 1 320
a5 = 13*14*15*16 = 43 680
Wniosek: dobrze czasem przejść się z psem (co i mnie niebawem czeka) 🙂
mp
Dzień dobry
ID Ciąg Reguła
1 4 4
2 30 5*6
3 504 7*8*9
4 1 320 10*11*12
5 43 680 13*14*15*16
6 116 280 17*18*19*20
7 6 375 600 21*22*23*24*25
8 17 100 720 26*27*28*29*30
9 1 402 410 240 31*32*33*34*35*36
10 3 776 965 920 37*38*39*40*41*42
Pozdrawiam
4
5×6=30
7x8x9=504
10x11x12=1320
13x14x15x16=43680
17x18x19x20=116280
21x22x23x24x25=6375600
26x27x28x29x30=17100720
31x32x33x34x35x36=1402410240
37x38x39x40x41x42=3776965920
Wyraz nr 9: 1402410240. Liczba ta jest równa iloczynowi liczb od 31 do 36. Jeśli weźmiemy tylko od 31 do 35, to otrzymamy 38955840, a więc tyle samo cyfr, ile w wyrazie nr 8, a chodzi o to, by była ta jedna więcej. A jak się nie da tak, żeby była jedna, no to dwie.
Wyraz nr 10: tu mam wątpliwości, bo właściwie dlaczego ma mieć 10 cyfr, czyli tyle ile wyraz nr 9. Musiałaby obowiązywać zasada: n-ty wyraz ma mieć n cyfr, chyba że się nie da, no to trudno, wtedy n+1, ale następny w miarę możliwości znów n. Alternatywnie można by rozpędzić śniegową kulę jeszcze bardziej: każdy kolejny wyraz musi mieć więcej cyfr niż poprzedni, jeśli nie da się tak, że tylko o jedną cyfrę więcej, to o dwie, itd. W pierwszym przypadku, jak rozumiem preferowanym przez Pana, jest to iloczyn liczb od 37 do 42, czyli 3776965920, w tym „moim” drugim należałoby to jeszcze przemnożyć przez 43, dostając liczbę 12-cyfrową 162409534560.
Zasada tworzenia wyrazów ciągu jest oczywiście taka, że zaczynamy od liczby jednocyfrowej, np. 4. Potem bierzemy iloczyn kolejnych liczb – tylu, żeby dochodziła jedna cyfra więcej w wyniku, a więc 5*6 = 30. Następnie 7*8 = 56, za mało, czyli potrzeba by jeszcze raz przemnożyć, 7*8*9 = 504. Skądinąd na rozwiązanie wpadłem dzięki temu, że postanowiłem poszukać podzielników liczby 504. Dalej mamy 10*11*12 = 1320, więc tu wystarczą 3 liczby. No ale dalej potrzebne już 4 – 13*14*15*16. I dochodzimy do słynnego 9 wyrazu, który nie może mieć 9 cyfr, tylko albo 8, czego nie chcemy, albo 10, na co się, nie mając wyjścia, godzimy.
Wychodząc od 3 (1 i 2 już pominę), mamy 3, 20, 336, potem 990 (9*10*11) nie może być, więc 11880, czyli faktycznie „już czwarty wyraz byłby 5-cyfrowy”, że zacytuję.
Jakoś szybko wpadłem na to, że kolejne liczby to iloczyny kolejnych cyfr:
4, 5*6, 7*8*9, itd
Dziewiąty wyraz to 1402410240
Znalezienie tej reguły jest bardzo proste bo znajduje się w rozwiązaniach zadań z Umysłu Gietkiego z marcowego numeru Świata Nauki, który właśnie czytam 🙂