Obciach
„Obciachowy” (bo dotyczący obcinania cyfr) wpis sprzed tygodnia okazał się nomen omen obciachem także w tym sensie, że zapowiedziany w nim jako „dość łatwy” do znalezienia dowód wcale taki nie jest. Powiem więcej – ja go nie znam.
Przypomnę: chodziło o udowodnienie, że poza 49 nie ma takich kwadratów, które po obcięciu pierwszej cyfry pozostają kwadratami oraz po odcięciu ostatniej także nie tracą kwadratowości.
Zmyłka była przypadkowa, ale wynikła z mojej pochopnej decyzji. Otóż jakby połowę zapowiedzianego dowodu miał stanowić dowód specyficznej cechy ciągu kwadratów, które pozostają kwadratami po obcięciu pierwszej cyfry, czyli ciągu A225885 w OEIS. Specyficzną cechą jest to, że ciąg ten składa się – poza początkowym krótkim fragmentem – wyłącznie z liczb kończących się parzystą liczbą zer albo liczbą 25 (zauważył to także w ostatnim komentarzu SG_z_WLKP). Jest oczywiste, że po usunięciu z takich liczb ostatniej cyfry przestają one być kwadratami. Ten surowiec na pełny dowód wymaga jednak udowodnienia, że obecne w ciągu A225885 końcówki są jedynymi możliwymi dla liczb co najmniej trzycyfrowych. I tu zaczynają się schody.
Znajoma matematyczka przesłała mi opis sposobu znajdywania liczb, tworzących ciąg A225885, czyli coś w rodzaju programu komputerowego, ale to oczywiście nie dowód. Być może ktoś z moich gości pokusi się o znalezienie takowego w przyszłości, nawet jeśli dotychczasowe kuszenie się było bezowocne.
A tymczasem dla relaksu proste (choć może nie do końca) zadanie na bliźniaczy temat.
Kilka liczb 3-cyfrowych ma następujące dwie własności:
– jeśli pozbawić je pierwszej cyfry, powstaną kwadraty,
– jeśli pozbawić je ostatniej cyfry, też powstaną kwadraty.
Jaka jest suma wszystkich tych liczb oraz (nie mającej z nimi nic wspólnego) największej liczby x o następującej własności:
– każda liczba y<x i względnie pierwsza z x (x i y nie mają wspólnych dzielników większych od 1) jest także sama w sobie pierwsza (np. 7 i 15 są względnie pierwsze i liczba 7 jest pierwsza, ale 8 i 15 są względnie pierwsze, lecz liczba 8 nie jest pierwsza). Podpowiedź: liczba x jest 2-cyfrowa.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Dowód z poprzedniego zadania: moje myśli szły w tę stronę, że jeśli liczba a^2 ma być kwadratem i liczba b^2 powstała po skreśleniu pierwszej (od lewej) cyfry z poprzedniej też, to ich różnica musi być liczbą zapisaną jako n (jedna cyfra) i m zer, na przykład dla pary (625, 25) n = 6, m = 2. No ale jak wiadomo jest to liczba równa (a+b)*(a-b). Co najmniej jeden z czynników musi być podzielny przez 10, ale znacznie łatwiej jest uzyskać liczbę pożądanej postaci, gdy są to oba, a więc gdy ostatnimi cyframi a i b są 5 lub 0 (w przykładzie: (25+5)*(25-5)), a jak wiemy, te są wykluczone. To też jeszcze nie dowód.
W zadaniu bieżącym liczby trzycyfrowe to 164, 364, 649 i 816. Liczbą x jest 30. Każda liczba złożona mniejsza od 30 (= 2*3*5) ma w rozkładzie na czynniki pierwsze 2, 3 lub 5, więc 30 i ona nie są względnie pierwsze. Kolejne liczby złożone nie dzielą się przez którąś liczbę z tej trójki (np. 40, 45, 48), więc istnieją mniejsze złożone względnie pierwsze z nimi: 9, 4 lub 25. Następną kandydatką byłaby liczba 60, ale tu pojawia się 49.
Poszukiwana suma wynosi 2023.
mp
Widzę, że część mojego wpisu została odkryta… kontynuując tę myśl można by dopisać, że gdyby to liczba (a+b) była niepodzielna przez 10, to, jako większa z dwóch liczb, zapewniałaby w iloczynie (a+b)*(a-b) całą masę cyfr przed zerem, czy zerami, pochodzącymi z (a-b). Nawet w przykładzie z 49 mamy (7+3)*(7-3)=40, a więc to suma jest podzielna przez 10. Musiałoby więc być tak, że suma jest 10, 100, 1000, etc, a różnica od 2 do 8 (bo jak suma parzysta, to i różnica). Albo suma 20, 200, 2000, etc, a różnica 2 lub 4, albo sumy 30 etc, 40 etc, a różnica 2. Liczby a i b byłyby więc bardzo blisko siebie, tymczasem kwadrat jednej z nich ma być o rząd wielkości, całkiem sporo, większy niż kwadrat drugiej z nich. Już dla pary 5 i 15 (kwadraty 25 i 225) różnica jest 10 (liczb, nie kwadratów), i dalej tylko rośnie.
@aps1968 gdy suma jest podzielna przez 5 to różnica może być trochę większą, np. 50*18=900, 250*36. Natomiast dalej chodzi o dość małe liczby. Ten tok rozumowania wydaje się sensowny.
Jeśli a^2-b^2=d*10^k, gdzie d to cyfra od 1 do 9, a k to liczba cyfra b^2, to dolne (dość zgrubne) ograniczenie na a-b wyszło mi 10^(k/2)/(1+sqrt(10)), co dla k =5 daje około 76, więc więcej niż potencjalne dopuszczalne różnice.
A co do zadania to liczba x to 30, a cała suma 2023:)
Dobry wieczór,
Liczby 3-cyfrowe to:
164
364
649
816
Liczba x to 30
Suma: 2023
Pozdrawiam
2023 = (164+364+649+816)+30
@BartoszC, nie wiem czy dobrze zrozumiałem, suma ma być podzielna przez 5, a niepodzielna przez 10? No to wtedy kończy się na 5 i jest nieparzysta, a więc różnica też jest nieparzysta, i iloczyn dwóch liczb nieparzystych nie kończy się na 0. Stąd moje założenie, że jak ma być iloczyn dwóch liczb o tej samej parzystości podzielny przez 10, to co najmniej jeden z czynników musi być podzielny przez 10.
@aps1968 nie nie, że tym się zgadzam, odnosiłem się do tego fragmentu:
„Musiałoby więc być tak, że suma jest 10, 100, 1000, etc, a różnic. Albo suma 20, 200, 2000, etc, a różnica 2 lub 4, albo sumy 30 etc, 40 etc, a różnica 2.”
Że jak suma jest podzielna przez 50, to wtedy różnica może być „trochę” większa.
@BartoszC
Nie chodzi o podzielność, tylko ta suma po prostu miałaby być 50, 500, 5000, etc. Wtedy już przy przemnożeniu przez 2 zmienia się liczba cyfr. Chodzi o szukanie liczb typu 1234 i 51234, aż do 91234, ale nie 101234. Pozdrawiam.