Ośmioraczki
Liczby pierwsze, różnica między którymi wynosi 2, czyli tzw. liczby bliźniacze, są nieco mniej krnąbrne niż środowisko, z którego się wywodzą. Mam na myśli to, że w ich rozmieszczeniu i własnościach można doszukać się pewnych prawidłowości. O jednej z nich – ciekawej i zagadkowej – słów kilka.
Pomijamy pierwszą, najmniejszą parę bliźniaków-poniemowlaków (2, 3 – zwłaszcza, że to właściwie nie bliźniaki, bo różnią się o 1, co słusznie zauważył lukasz_m) oraz drugą (3, 5) [dopisane 10.07], a z pozostałych wybieramy przykładowo trzy – maluchów, średniaków i starszaków: (5, 7), (71, 73) i (599, 601). Mnożymy liczby w każdej parze, otrzymując iloczyny – 35, 5183 i 359999.
Teraz z każdym iloczynem postępujemy tak samo: dodajemy tworzące go cyfry, a jeśli suma okaże się więcej niż dwucyfrowa, to także dodajemy tworzące ją cyfry i ewentualnie cyfry każdej następnej sumy dotąd, aż uzyskamy sumę jednocyfrową.
Oto efekty sumowań do oporu:
35>8
5183>17>8
359999>44>8
Łatwo sprawdzić, że którejkolwiek bliźniaczej pary nie poddalibyśmy takiej obróbce, zawsze dotrzemy do „ośmioraczka”. Dlaczego? – oto jest pytanie.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Pierwszy z bliźniaków jest o 1 mniejszy od liczby podzielnej przez 3, a drugi jest o 1 większy.
Zatem liczby te mają postać: 3x – 1 oraz 3x + 1. Ich iloczyn to (3x – 1)(3x + 1) = 9x^2 – 1.
Liczba 9x^2 jest podzielna przez 9, czyli jej ostateczna suma cyfr wynosi 9. Po odjęciu 1 mamy 8.
Podejrzewam że chodziło o parę (3,5), a nie (2,3). Para (2,3) z definicji nie jest parą bliźniaczek 😉
Suma cyfr każdej liczby zawsze daje taką samą resztę z dzielenia przez 9 co oryginalna liczba. Tak więc za każdym razem wykonując takie mnożenia i redukcje, dostaniemy ostatecznie resztę z dzielenia przez 9 iloczynu liczb pierwszych bliźniaczych. Pozostaje pokazać, że zawsze będzie to 8.
Jeśli liczby n-1 i n+1 są pierwsze i różne od 3, to n musi dzielić się przez 3 (bo wśród kolejnych trzech liczb naturalnych n-1,n,n+1 zawsze znajdzie się jedna podzielna przez 3). Tak więc n=3k dla pewnego k>1 i wówczas
(n-1)(n+1) = (3k-1)(3k+1) = 9k^2 – 1 = 9(k^2 – 1) + 8.
Z tymi liczbami pierwszymi tutaj to trochę zmyłka… weźmy na przykład 23 i 25, mamy 575, 17 i 8. A za to 3 i 5 daje 15 i 6, nie 8. Należałoby więc mówić o „bliźniakach” większych od 3. Mają one tę własność, że liczba pomiędzy nimi, czyli ich średnia arytmetyczna, jest podzielna przez 6. One same są postaci 6k-1 i 6k+1, bo oczywiście muszą być nieparzyste, i nie mogą być postaci 6k+3, dla całkowitych k>0. Jak je pomnożymy, dostaniemy 36k² – 1. Liczba 36k² jest podzielna przez 9, więc suma jej cyfr jest podzielna przez 9, podobnie suma cyfr sumy cyfr, i tak dalej – zawsze dojdziemy do 9. No a jeśli mamy liczbę podzielną przez 9 pomniejszoną o 1, to, sumując cyfry, dojdziemy do 8, bo zawsze suma jest o 1 mniejsza (albo o 8 większa, na przykład 270 i 269, czyli pozostajemy w tej samej postaci 9n-1). Tym samym szczególny przypadek iloczynów liczb pierwszych bliźniaczych (oprócz 3 i 5) uogólniliśmy na wszystkie iloczyny w parach postaci 6k-1 i 6k+1, i wreszcie w ogóle na wszystkie liczby postaci 9n-1.
Autor: „Łatwo sprawdzić, że którejkolwiek bliźniaczej pary nie poddalibyśmy takiej obróbce, zawsze dotrzemy do „ośmioraczka”. Dlaczego? – oto jest pytanie”.
Nie znamy wszystkich liczb pierwszych, jest ich nieskończenie wiele, zatem taki wniosek może dotyczyć liczb bliźniaczych, które znamy, chyba że ktoś udowodni inaczej. Obecnie największe z bliźniaczych liczb pierwszych to, jak podają powszechnie dostępne źródła, 2996863034895·2^1290000+1 oraz 2996863034895·2^1290000-1. Rozkład liczb pierwszych to rzecz zastanawiająca, każdy kto spojrzy na spiralę Ulama powinien być w lekkim szoku. Czy językiem matematyki Ktoś do nas coś mówi?
?
Czy znajomość definicji liczb bliźniaczych nie wystarcza?
mp
A co z drugą parą?
3*5=15 –> 1+5=6
Też eliminujemy albo… tylko dodajemy (3+5=8) 🙂
mp
Wszystkie pary dwóch kolejnych liczb nieparzystych można opisać trzema wzorami:
Wzory A i B zawierają liczbę 6k+3, która dla k>0 jest złożona (dla k=0 sumy cyfr wynoszą odpowiednio 3 i 6).
Tak więc wszystkie liczby pierwsze bliźniacze są zgodne ze wzorem C.
Wyprowadziłem wzór na „totalną” jednocyfrową sumę cyfr T liczby L:
T=mod(L-1, 9)+1
W zadaniu, ze wzoru C liczymy iloczyn liczb bliźniaczych:
L=(6k+5)(6k+7)=36k^2 + 72k + 35
Wstawiamy L do wzoru na sumę:
T = mod(36k^2 + 72k + 35 – 1, 9)+1
wyciągamy przed nawias 9:
T = mod(9*(4*k^2 + 8*k + 3)+7, 9)+1
wewnętrzny nawias jest całkowity: n=(4*k^2 + 8*k + 3):
T = mod(9n+7, 9)+1 = 7+1 = 8
Wnioski:
1. Suma „total” T=8 nie jest wyłączną cechą liczb bliźniaczych, ale zbioru par liczb nieparzystych opisanych wzorem C. Liczby bliźniacze są jego podzbiorem, więc się niechcący załapały na tę właściwość.
2. Para (3, 5) ma inną sumę, gdyż jej źródłem nie jest wzór C.
Mam wrażenie, że tym razem dostaliśmy ciężki orzech do zgryzienia.
Może zniechęcić już samo działanie Sumy Cyfr SC(n) 10-rozwinięcia liczby n. Jest ono z pewnością dobrze określone, ale poza tym niewiele dobrego da się o nim powiedzieć. Nie ma wzoru ani dobrych własności algebraicznych. Właściwie ma tylko jedną dobrą cechę: na liczby 1-cyfrowe działa jak identyczność. To pozwala zdefiniować działanie Nasyconej Sumy Cyfr SSC(n) jako nieskończone złożenie (iterację) poprzedniego działania. Na każdej liczbie naturalnej wystarczy bowiem zastosować je najwyżej tyle razy, ile ta liczba ma cyfr. Z takim właśnie działaniem mamy faktycznie do czynienia w tym zadaniu – sumowania cyfr kolejnych rozwinięć do skutku 1-cyfrowego.
To skłoniło mnie do przyjrzenia mu się bliżej i odkrycia, ku wielkiej uciesze, że jest ono b. proste
SSC(n) = 9, jeśli 9|n
SSC(n) = Mod(n; 9), bez podzielności.
Zamiast męczyć się z nieznanymi cyframi rozwinięcia, wystarczy pokazać, że określona klasa liczb przy dzieleniu przez 9 daje resztę 8. Trudne, ale nie beznadziejne. Badana klasa liczb to Liczby Bliźniaczo Półpierwsze postaci
p*(p+2), gdzie oba czynniki są liczbami pierwszymi (p>3).
Dla dowodu kluczowe jest spostrzeżenie, że wśród kolejnych 3 liczb naturalnych
p; p+1; p+2
jedna musi być podzielna przez trzy. Ponieważ p i p+2 są pierwsze i p>3, więc
p+1 = 6i (dla pewnego i)
Stąd mamy
(p+1)*(p+1) = 36j (j=i*i ale to bez znaczenia)
p*(p+2) = 36k + 35 = 9(4k+3) + 8
co jak się wydaje kończy dowód █
To jest prawdą dla każdych dwóch liczb odległych od siebie o 2, pod warunkiem, że żadna z nich nie dzieli się przez 3 (czyli też dla pierwszych).
Dowód:
Wystarczy pokazać, że dla dwóch liczb m, m+2: m(m+2) mod 9 = 8 o ile m>=5 i m=5+3r r=0,1,…
Dlaczego 8? Bo tylko te liczby „dodają” się do 8.
Przez indukcję
1) Dla m=5, 35 mod 9 = 8
2) Zakładamy dla m: m(m+2) = 9k + 8, k=0,1,2,..
3) Sprawdzamy dla kolejnej pary:
(m+3)(m+5) = 9k + 8 + 6m + 15 = 9k + 8 + 6(3r + 5) + 15 = 9(k+2r+5) + 8
(m+3)(m+5) mod 9 = 8
Liczby: x oraz x + 9 mają jednakową sumę cyfr, więc również x + 9*m ma taką samą sumę cyfr jak x.
Obie liczby bliźniacze są pierwsze, więc w szczególności nie dzielą się przez 2, przez 3 i przez 9. Czyli ich iloczyn można zapisać w jednej z trzech postaci:
(18n+5)*(18n+7) = 18*coś + 35
(18n+11)*(18n+13) = 18*coś + 143
(18n+17)*(18n+19) = 18*coś + 323
Suma cyfr liczb 35, 143, 323 jest równa 8, a 18*coś dzieli się przez 9.
Dla kompletności dodam, że liczba pierwsza (6n-1), pierwsza z twin-primes, też jest postaci 5+3r, dla r = 2n-2. Więc i dla twin-pimes dowód działa.
„Czy znajomość definicji liczb bliźniaczych nie wystarcza”?
mp
Czy jesteśmy absolutnie pewni, że w całym nieskończonym ciągu liczb pierwszych na pewno występują liczby pierwsze bliźniacze? Nie znamy rozkładu liczb pierwszych, ale przy ich nieskończonym ciągu liczby pierwsze bliźniacze teoretycznie powinny się pojawiać. Ale czy na pewno i jak często ? Rozkład w kolejnych setkach par liczb pierwszych bliżniaczych (od 3 do 1999) jest taki:
1/100 (8), 2/100 (7), 3/100 (3), 4/100 (2), 5/100 (3), 6/100 (2), 7/100 (4), 8/100 (0), 9/100 (5), 10/100 (0), 11/100 (5), 12/100 (1), 13/100 (3), 14/100 (2), 15/100 (4), 16/100 (0), 17/100 (4), 18/100 (2), 19/100 (2), 20/100 (3).
Spirala Ulama jest płaska (dwuwymiarowa).
Dlaczego?
Bo jak się coś z nudów rysuje na kartce to mamy płaskie.
Uzyskana gęstość liczb pierwszych na odpowiedniej „linii” jest na miarę tego wymiaru.
Gdybyśmy dodali kolejny wymiar spirali (punkt swobody) to mamy szansę uzyskać większą gęstość.
Każdy kolejny wymiar da większą gęstość (dopasowanie do danych).
Powyższe to banalny głos profana / niematematyka.
@Mauro Rossi
Kompletnie nie rozumiem tego wątku. Dowód, że ostateczna suma cyfr wyniesie zawsze 8 dla bliźniaczych liczb pierwszych można wyprowadzić niezależnie od tego, ile tych liczb bliźniaczych jest i czy w ogóle występują powyżej pary, którą podałeś (nie weryfikowałem tego, bo nie ma to żadnego znaczenia).
Aby móc dowieść, że osc=8, tak naprawdę nie potrzebujemy nawet jednej znanej pary bliźniaczej, bo one służą jedynie za przykład (choć oczywiście to byłaby skrajność). Dowód matematyczny służy właśnie po to, aby nie musieć znać wszystkich przypadków, a mimo to mieć pewność, że reguła zadziała. Abstrahujemy od konkretnych par i skupiamy się na ogólnej zasadzie.
Rozpisałam się wyjątkowo, ale już po wpisie zauważyłam, że żadna indukcja tam nie była potrzebna, bo oczywiście:
(5+3r)(7+3r) = 9(r^2 + 4r + 3) + 8
(6n-1)(6n+1) = 9(4n^2 – 1) + 8
więc reszta z dzielenia przez 9 jest 8 i już.
Zadanie godne plaży albo wieczoru pod namiotem. Gdzie jeszcze mnie niestety nie ma. Pozdrawiam Redaktora.
Uwagi do mojego pierwszego wpisu.
1. Nasyconą sumę cyfr SSC można by równie dobrze nazwać Iterowaną (nieskończenie ) albo Ostatnią. W porównaniu do kapryśnej zwykłej sumy cyfr jest ona zaskakująco prosta bo okresowa. Na pierwszych 9 liczbach naturalnych (jednocyfrowych) jest oczywiście tożsamością i to jest jej okres podstawowy.
https://1drv.ms/u/s!AnJJ3XTLjrF2mFTcOVkZgkXShgQj?e=ebGFym
2. Klasa liczb na której jest stała i równa 8 to nie liczby półpierwsze bliźniaczo tylko iloczyny par takich liczb.
ersonasolidna
„Dowód matematyczny służy właśnie po to, aby nie musieć znać wszystkich przypadków, a mimo to mieć pewność, że reguła zadziała”.
O ile się nie mylę dowodu matematycznego na to jeszcze nikt nie przedstawił, jest tylko hipoteza w którą wierzy część matematyków. Czyli nadal dysponujemy raczej praktyką niż teorią. Czy ta reguła zadziała wobec największych znanych liczb pierwszych bliźniaczych 2996863034895·2^1290000+1 oraz 2996863034895·2^1290000-1? Warto by to sprawdzić, o ile już tego nie zrobiono. Nawet przy wyniku pozytywnym byłaby to jednak raczej praktyka niż teoria.
Ciekawe jest i to, czy liczby pierwsze bliźniacze w ogóle będą występować przy liczbach pierwszych składających się z miliardów cyfr? A co jeśli wówczas te liczby pierwsze będą rzadsze? W pierwszych dwudziestu setkach liczb pierwszych bliźniaczych (od 3 do 1999) w 8, 10 i 16 setce w ogóle nie występują. Wprawdzie w ciągu liczb pierwszych, który jest nieskończony, wszystko powinno być możliwe, ale może to jedynie ludzka spekulacja, że w nieskończoności wszystko musi się zdarzyć.
ersonasolidna, maurorossi
Stwierdzając brak dowodu na podstawową rolę dowodu Mauro Rossi zanegował wszystkie dowody matematyczne. Czy to jeszcze matematyka, czy już filozofia?
mp
Być może @Mauro Rossiemu przeszkadza fakt, że nie ma dowodu na to, że jest nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych, ale z pewnością dla jego, i każdej innej takiej pary, kolejne sumy cyfr doprowadzą nas do 8, i aby to stwierdzić, wystarczy wiedza, że te liczby są pierwsze. Gdyby nie było 8, to oznaczałoby to, że co najmniej jedna z nich pierwsza nie jest, bo jest podzielna przez 3, że tak zaspojleruję.
aps1968
12 LIPCA 2022
23:15
„Mauro Rossiemu przeszkadza fakt, że nie ma dowodu na to, że jest nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych, ale z pewnością dla jego, i każdej innej takiej pary, kolejne sumy cyfr doprowadzą nas do 8 …”.
Nie toczę sporu o to, że „kolejne sumy cyfr doprowadzą nas do 8”, to przecież oczywiste, przynajmniej przy liczbach jakie znamy. Wyraziłem tylko wątpliwość w kwestii dowodu, bo jak na razie jest to hipoteza, nie przez wszystkich matematyków podzielana. To, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych nadal jest jedynie przypuszczeniem.
A któryż to matematyk (poza Mauro Rossim) nie podziela dowodu, który jak na razie jest jakoby hipotezą (chodzi oczywiście o konkretny „ósemkowy” dowód, który nadesłało już kilkanaście osób, ale ujawnię go dopiero w piątek wieczorem).
mp
Autor: „Mauro Rossi zanegował wszystkie dowody matematyczne. Czy to jeszcze matematyka, czy już filozofia”?
Nie zanegowałem dowodów, tym bardziej wszystkich, zwróciłem jedynie uwagę na pewne wątpliwości. Intuicyjne można sądzić, że przy odpowiednio wielkich liczbach p liczby pierwsze bliźniacze mogą występować rzadko albo w ogóle się nie zdarzać. Obecnie największa odkryta liczba pierwsza składa się z ponad 24 milionów cyfr. Jak jest szansa, że ma liczbę bliźniaczą? Ale powiedzmy sobie szczerze, ta duża ― liczba składająca się z ponad 24 milionów cyfr ― to przy naprawdę dużych liczbach (jak liczba Grahama) jest żartem.
Autor: „Czy to jeszcze matematyka, czy już filozofia”?
Co złego w filozofii? Swój tekst zakończył Pan filozoficznie: ”Dlaczego? – oto jest pytanie”. Pytając „dlaczego” pytamy o sens, a to kwestia filozoficzna.
„Dlaczego?” było pytaniem o dowód MATEMATYCZNY.
mp
@Mauro Rossi
Czy suma dwóch liczb parzystych jest parzysta? Nie wiadomo. Liczb parzystych jest nieskończenie dużo, więc nie da się tego stwierdzić. Jedynie możemy mówić, że tak jest dla tych, które sprawdziliśmy.
Autor: „Dlaczego?” było pytaniem o dowód MATEMATYCZNY.
Kontekst zdania (niżej cytuję) bynajmniej na to nie wskazuje.
„Łatwo sprawdzić, że którejkolwiek bliźniaczej pary nie poddalibyśmy takiej obróbce, zawsze dotrzemy do „ośmioraczka”. Dlaczego? – oto jest pytanie”.
Po co dowód jeśli, jak pisze pan, ZAWSZE dotrzemy do „ośmoraczka”? Widocznie ma pan pewność. Natomiast pytanie: dlaczego tak jest ma oczywiściegłębszy sens filozoficzny.
???
mp
(te znaki zapytania – to dopiero głębia)