Biegi na 16 komnat

31 lipca 2021
Marek Penszko

Kwadrat 2×2 złożony z czterech mniejszych kwadratów wyobraźmy sobie jako M4 z przejściem między każdą parą pokoi:

W takim mieszkaniu można się ganiać, np. z wnukami, co mi się często zdarza, choć u mnie pokojowy obwód składa się z trzech pomieszczeń (przedpokój, pokój, kuchnia,…).
A teraz przenieśmy wyobraźnię do większego lokum – także kwadratowego i złożonego z kwadratowych pokoi, ale tym razem jest ich 9.

Przejść między pokojami na razie nie ma – będziemy je dopiero projektować i zamierzamy zrobić to tak, aby ganienie się w kółko było możliwe, choć niekoniecznie przez wszystkie pokoje. Łatwo zresztą skonstatować, że 9-pokojowy cykliczny obieg nie wchodzi w grę, bo liczba zaliczanych pokoi musi być parzysta i oczywiście nie mniejsza niż 4. Nietrudno także znaleźć wszystkie, czyli 4 możliwe kształty cykli 4-, 6- i 8-pokojowego:

Jeśli uwzględnić przesunięcia i obroty różowych tras, wówczas wszystkich różnych cyklicznych możliwości będzie 13. To pechowa liczba, więc proponuję przeprowadzkę do pałacu. Teraz pokojowy kwadrat składa się z 16 komnat:

Na ile różnych sposobów można w tym przypadku utworzyć – robiąc przejścia między niektórymi komnatami – pałacowe obwody do ganiania się: 4-, 6-, 8-, 10-, 12-, 14- i 16-pokojowe? Każdy sposób powinien zapewniać tylko jeden konkretny obieg; nie można więc zrobić np. ośmiu przejść, umożliwiających równocześnie kilka różnych tras obiegu. Dwa sposoby (różowe trasy) uważamy za różne nie tylko wtedy, gdy mają różny kształt, ale także jeśli jeden z nich może powstać z drugiego w wyniku przesunięcia, obrotu lub lustrzanego odbicia.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.