Literówka
Zapisałem w słupku pewne mnożenie dwu liczb dwucyfrowych i postanowiłem przerobić je na kryptarytm, czyli zastąpić cyfry literami zgodnie z zasadą: takim samym cyfrom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne. I wyszło coś takiego:
Przesłałem to działanie do rozszyfrowania mojej znakomitej konsultantce, wykładowczyni matematyki na politechnice. Bardzo szybko otrzymałem odpowiedź, a ściślej zostałem zrugany, żebym nie proponował rozwiązywania nierozwiązalnych zadań. Najpierw się zdziwiłem, a potem sprawdziłem i okazało się, że istotnie – popełniłem błąd, zastępując jedną z cyfr w iloczynie końcowym niewłaściwą literą.
Proszę poprawić błąd i rozszyfrować mnożenie, a na wstępie odpowiedzieć na pytanie: jak najprościej wykazać, nie zabierając się za rozwiązywanie, że w kryptarytmie jest byczek? Można to zrobić na dwa sposoby.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Liczba postaci FEEF jest podzielna przez 11, bo FEEF = 1001*F + 110*E = 11*(91*F + 10*E). Żadna z liczb AB i CD nie jest podzielna przez 11, bo mają różne cyfry. To daje sprzeczność.
Po podmianie iloczynu z FEEF na AEEF, dostajemy rozwiązanie 37 * 96 = 3552.
Widzę tu jeden oczywisty sposób, mianowicie suma cyfr F+A może być liczbą jednocyfrową E lub dwucyfrową 10+E. Ale w tym drugim przypadku, w którym E na pewno < 8 (maksymalna suma dwóch różnych jednocyfrowych liczb to 17=8+9), cyfrą pod kolejną od prawej sumą F+A nie mogłaby być znów E, tylko E+1. Jeśli znów mamy E, to F+A<9. E jest w takim razie cyfrą jedności sumy F+A+1. Ale jeden krok w prawo mamy, że E jest cyfrą jedności sumy F+A, czyli sprzeczność.
Liczby trzycyfrowe o jednakowych cyfrach mają w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczbę 37. Jeśli więc założyć, że AB to 37, to oczywiście C musi być 9 , żeby iloczyn był 333, a dla D zostaje 6, kiedy to mamy iloczyn 222, i F=2. 37x96 = 3552, a więc E=5 i iloczyn został błędnie zapisany, powinno być AEEF. AB mogłoby być jeszcze teoretycznie 74, ale nie może, bo iloczyn 74 x liczba naturalna nie może być 777.
Iloczyn końcowy zaczyna się cyfrą A. Widać, że dodawanie F+A daje wynik jednocyfrowy i nic nie przechodzi do następnego rzędu.
37 x 96 = 222 + 3330 = 3552, czyli AEEF
Miło, że używa Pan żeńskich form takich jak „wykładowczyni”.
Jest sprzeczność w sekwencji FEE – jeżeli F + A = 10, to FxE.
Końcowy iloczyn powinien wyglądać następująco: AEEF
Rozwiązanie:
37
96
——-
222
333
——
3552
To co widzę to nie jest to co napisałem. Jeszcze raz słowami: jest sprzeczność w sekwencji FEE. Jeżeli F + A jest mniejsze od 10, to xEE. Jeżeli większe lub równe, to FxE. x oznacza błąd.
Dzień dobry,
czyżby AB = 37 i CD= 96 – z pomyłką w końcowym wyniku – FEEF -> AEEF
liczby formatu AAA dzielą się na jednocyfrową (3, 6, 9) i (AB: 37, 74) – mogą być to 111, 222, 333, 444, 666
więc CD = 36, 39, 63, 69, 93, 96 (nie wszystkie pasują do AB) – a to już niewiele prób obliczeń i szukania pomyłki 😀
Pozdrawiam.
Zanim zdążyłem się zastanowić, kolega i koleżanka dziś rano rozwiązali temat, wpadając niezależnie na bardzo podobny sposób.
Rozwiązanie to 37 * 96 = 222 + 333 = 3552
A sposób na wykazanie „byczka” jest tu – wersja od Eli:
http://ersonasolidna.pl/lamiblog/20201128_literowka/20201128_Lamiblog_literowka_Ela.png
37×96=3552 (ABxCD=AEEF)
F+A<10 więc pierwsza litera w dolnym wierszu musi być A.
Jedyne rozwiązanie: (A,B,C,D)=(3,7,9,6)
Poprawny słupek:
Rozwiązanie:
Sposób 1:
W podsumowaniu:
są dwie możliwości:
– albo F+A daje przeniesienie, ale wtedy nie może być dwóch E w wyniku (powinno być F[E+1]EF)
– albo nie daje przeniesienia, ale wtedy wynik musi zaczynać się od A (czyli AEEF).
Tak, czy siak – sprzeczność.
Sposób 2:
Skorzystam z twierdzenia dotyczącego dodawania:
Suma S1 cyfr składników oraz suma S2 cyfr sumy i cyfr wszystkich przeniesień mają tę samą parzystość.
Stąd:
Z lewej kolumny podsumowania mamy F=A+1, więc suma cyfr składników:
S1=F+F+F+A+A+A=3(F+A)=3((A+1)+A)=6A+3
jest nieparzysta.
Tymczasem suma cyfr sumy i dwóch takich samych przeniesień P z pozycji F+A (P=0 lub P=1):
S2=F+E+E+F+P+P=2(F+E+P)
jest zawsze parzysta.
Sprzeczność.
F+ A = E jest < 10 to A + 0 nie jest F
Z dodawania dwóch składników iloczynu (FFF + AAA0) wynika że
F+A = E lub F+A = 10+E.
Jeśli F+A = E, dla (F+A) = 9 to wówczas w drugim słupku od lewej
nie może być F+A+1= 10+E –> F+A = E+9, bo F+A = 10+E
1)
Patrząc od lewej strony na sumowanie FFF+AAA0=FEEF.
W wyniku FEEF, F na pozycji tysięcy powstało przez dodanie do A przeniesienia z wcześniejszej kolumny F+A=E. Ale jeszcze wcześniej jest to samo F+A=E. Co wskazuje na brak przeniesienia. Aby zaistniało musimy zmienić kolumnę setek na: F+A=G.
Wynik powinien mieć postać: FGEF.
2)
Patrząc na sumowanie od prawej strony.
F+nic=F, F+A=E, F+A=E, dwa razy E czyli brak przeniesienia, F+A10. Możliwe zestawy (F,A)=(6,5), (7,6), (8,7), (9,8)
Biorąc pierwszy: FFF=666, AAA=555 i coś natrętnie oczywistego D=6, C=5.
AB
x 56
666
+ 555
6216
Poruszam się odwrotnie do mnożenia czyli wykonuję dzielenie: 555:5=111, 666:6=111 – niestety pudło, AB powinno być liczbą dwucyfrową.
Szkoda, że 6 i 5 nie są większe, albo/i 666 i 555 mniejsze, wtedy wstrzeliłbym się w dwucyfrowość. Później wiadomo, następne warunki: wynik dzielenia liczbą całkowitą, cyfra dziesiątek równa A.
Być może nigdy nie zwróciłem na to uwagi ale teraz muszę, nie sposób odmówić widokowi daru przekonywania: 666/555=6/5=FFFF/AAA=D/C=F/A. Zwiększanie i zmniejszanie powinno odbywać się z zachowaniem tych proporcji. Na przykład 6/5 powiększam 2 razy, 12/10 – pudło, wyszedłem poza zbiór (1 do 9). Z drugiej strony, 666/555 np. zmniejszam dwa razy, 333 / 2,5;2,5;2,5 znowu pudło – 2,5 nie jest liczbą całkowitą jednocyfrową (dodatkowo brak F=A+1).
Z pozostałymi 7/6, 8/7, 9/8, podobnie.
ad 2)
Tutaj F i A mogą być różne inaczej, F+A<10. Ale powyższe (ad 1) o proporcjach nadal aktualne – to może być kryterium pola wyboru. Znowu randka w ciemno.
1/4=2/8
1/3=2/6=3/9
1/2=2/4=3/6=4/8
2/3=4/6=6/9
3/4=6/8
Zaiskrzyły dwie pary.
111/333=3/9, 111:3=37, 333:9=37
222/333=6/9, 222:6=37, 333:9=37
1)
Patrząc od lewej strony na sumowanie FFF+AAA0=FEEF.
W wyniku FEEF, F na pozycji tysięcy powstało przez dodanie do A przeniesienia z wcześniejszej kolumny F+A=E. Ale jeszcze wcześniej jest to samo F+A=E. Co wskazuje na brak przeniesienia. Aby zaistniało musimy zmienić kolumnę setek na: F+A=G. Wynik powinien mieć postać: FGEF.
2)
Patrząc na sumowanie od prawej strony.
F+nic=F, F+A=E, F+A=E, dwa razy E czyli brak przeniesienia, F+A<10, zatem A nie powiększane o cokolwiek pojawi się na pozycji tysięcy. Wynik powinien wyglądać: AEEF.
ad 1)
F=A+1, F+A>10. Możliwe zestawy (F,A)=(6,5), (7,6), (8,7), (9,8)
Biorąc pierwszy: FFF=666, AAA=555 i coś natrętnie oczywistego D=6, C=5.
AB x 56 = 666 + 555 = 6216
Poruszam się odwrotnie do mnożenia czyli wykonuję dzielenie: 555:5=111, 666:6=111 – niestety pudło, AB powinno być liczbą dwucyfrową. Szkoda, że 6 i 5 nie są większe,albo/i 666 i 555 mniejsze, wtedy wstrzeliłbym się w dwucyfrowość. Później wiadomo, następne warunki: wynik dzielenia liczbą całkowitą, cyfra dziesiątek równa A.
Być może nigdy nie zwróciłem na to uwagi ale teraz muszę, nie sposób odmówić widokowi daru przekonywania:
666/555=6/5=FFFF/AAA=D/C=F/A. Zwiększanie i zmniejszanie powinno odbywać się z zachowaniem tych proporcji.
Na przykład 6/5 powiększam 2 razy, 12/10 – pudło, wyszedłem poza zbiór (1do 9). Z drugiej strony, 666/555 np. zmniejszam dwa razy, 333 / 2,5;2,5;2,5 znowu pudło – 2,5 nie jest liczbą całkowitą jednocyfrową (dodatkowo brak F=A+1).
Z pozostałymi 7/6, 8/7, 9/8, podobnie.
ad 2)
Tutaj F i A mogą być różne inaczej, F+A<10. Ale powyższe (ad 1) o proporcjach nadal aktualne – to może być kryterium pola wyboru. Znowu randka w ciemno.
1/4=2/8
1/3=2/6=3/9
1/2=2/4=3/6=4/8
2/3=4/6=6/9
3/4=6/8
Zaiskrzyły dwie pary.
111/333=3/9, 111:3=37, 333:9=37
222/333=6/9, 222:6=37, 333:9=37