Liczebniki
Liczebnikami TRZY, CZTERY i SZEŚĆ zaszyfrowano trzy liczby. Takim samym cyfrom odpowiadają jednakowe litery, a różnym cyfrom – różne litery. Każda z tych liczb jest wielokrotnością liczby, którą określa odpowiadający jej liczebnik, czyli TRZY jest wielokrotnością trzech, CZTERY – czterech, a SZEŚĆ – wielokrotnością sześciu.
Jakie to liczby, jeśli ich suma jest najmniejszą z możliwych?
Komentarze
SUMA = 127880
TRZY = 3906
CZTERY = 103496
SZEŚĆ = 20478
Proponuję tak i zestaw:
TRZY – 2706
CZTERY – 10276
SZEŚĆ – 30498
Szukałam ołówkiem na kartce, więc nie mam dowodu, że te liczby dają sumę najmniejszą z możliwych.
Usterka w czwórce była. Jeszcze raz:
TRZY – 2706
CZTERY – 102476
SZEŚĆ – 30498
Podejście drugie 🙂
TRZY – 3408
CZTERY – 103748
SZEŚĆ – 20796
Wprawdzie zapis pozycyjny startujący od zera jest niestandardowy, ale w zasadzie zadanie go nie wyklucza… czy można np. tak?
TRZY = 3516
CZTERY = 013956
SZEŚĆ = 21984
——————–
Suma: 39 456
A teraz poproszę standardowo, czyli system dziesiętny bez zera na starcie.
mp
3906+103496+20478=127880
Poprzednie, z którym nie zdążyłem
1.M: Nie wiem, jakie to liczby.
Gdyby to był iloczyn liczb pierwszych M znałby rozwiązanie. Wiedziałby również, gdyby zachodziło M=x^3 (a dowolna liczba pierwsza).
2.D: Ja także nie wiem i wiedziałem, że nie będziesz wiedział.
Z tego wynika, że na sumę D nie składa się ani jedna para liczb pierwszych. A to z kolei jest dla M informacją, że suma nie jest liczbą parzystą (Goldbach – każdą liczbę parzystą można przedstawić jako sumę 2 liczb pierwszych), a spośród liczb nieparzystych wchodzą w rachubę tylko te, które też nie zawierają takiej pary (np odpada 9=2+7). To informacja, że D to jedna z liczb: 11, 17, 23, 27, 29 ,35, 37, 51, 53, 57, 59,…
D musi mieć kilka par do rozważenia (poza najmniejszymi D, ale wtedy M by wiedział) i dlatego dalej nie wie.
M: Skoro tak, to ja teraz już odgadłem obie liczby.
Spośród wszystkich iloczynów tylko jedna suma czynników musi należeć do wypisanego ciągu. I to zauważa D.
D: W takim razie ja teraz również je odgadłem.
Kiedy będzie wiedział? Gdy na jego sumę składać się będzie tylko jedna para M.
Analiza
5,7,9 juz odpadły. 11=8+3=4+7, też odpada. Załóżmy, że S=11, zaś P=24. M może powiedzieć
WIEM, natomiast D nie.
Kolejną potencjalną liczbą jest 17= 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7+10 =
8+9.
Rozumowanie D. Czy może wchodzić w rachubę para (2,15)? Gdyby tak, wtedy M=30, czyli iloczyny: 2*15, 3*10, 6*5. Ponieważ dla obydwu skrajnych suma czynników należy do ciągu, nie jest więc w stanie powiedzieć WIEM. Analizując wszystkie pary dla 17, otrzymamy, że jedynie (4,13) nie budzi wątpliwości, zatem tylko ona wchodzi w rachubę. Oczywiście, o ile S=17, ale tego M nie wie. By się przekonać, że 17 jest jedyną możliwością, należy przeanalizować wszystkie pozostałe wyrazy ciągu. Ponieważ rozwiązanie powinno być jedno …..
Spróbuję poprawić trochę wynik p. Oli (raczej dużo się nie da)
TRZY = 3 906
CZTERY = 103 496
SZEŚĆ = 20 478
——————————
Suma 127 880 < 127 952
Podejście trzecie:
TRZY – 3906
CZTERY – 103496
SZEŚĆ – 20478
SUMA – 127880
Podawanie błędnych odpowiedzi o tyle ułatwia, że zadanie przechodzi w problem: jak być lepszym od Oli w drugim podejściu 🙂
Wydaje się oczywiste, że C=1, S=2, Z=0, T=3. Potem u Oli było E=7, i to wygląda na słaby punkt, za dużo. Spróbujmy E=4. Ć i Y muszą być parzyste. Wtedy ŚĆ może być 96 lub 78 (parzyste, podzielne przez 3), ale jak 96, to w roli RY odpada i 78, i 58 (nie są podzielne przez 4). Zostaje ŚĆ 78 i RY 56 lub 96, no ale R musi być jednak 9 ze względu na sumę cyfr w TRZY. Mamy zatem:
TRZY=3906
CZTERY=103496
SZEŚĆ=20478
Suma wynosi 127880, czyli nieco mniej niż 127952 (w podejściu drugim Oli).
3906+103496+20478=127880
3906
103496
20478
______
Suma: 127880
Zadanie bardzo łatwe ołówkiem i główką. W pierwszej fazie przyporządkowujemy jak najmniejsze liczby literom na najbardziej
znaczących pozycjach.
Można to zrobić jednoznacznie, aż do końca ale wtedy nie spełnilibyśmy warunków podzielności. Trzeba więc w pewnym momencie się zatrzymać z tą procedurą aby uczynić zadość warunkom podzielności. Kiedy ? Najpóźniej jak to tylko możliwe.
Spójrzmy na częściowe rozwiązanie:
__TRZY=__3R0Y
CZTERY=1034RY
_SZEŚĆ=_204ŚĆ
Rozdysponowaliśmy zbiór {0,1,2,3,4}. Musimy jeszcze wybrać 4-elementowy podzbiór z {5,6,7,8,9}.
Zauważamy, że
a) R+Y musi być podzielne przez 3 i Y musi być parzyste
b) Ś+Ć musi być podzielne przez 3 i Ć musi być parzyste
Szybko sprawdzamy, że w grę wchodzą tylko pary (9,6) i (7,8).
Mamy już tylko dwie możliwości skąd okazuje się, że rozwiązaniem jest:
__TRZY=__3906
CZTERY=103496
_SZEŚĆ=_20478
Żeby suma była najmniejsza, najmniejsze muszą być cyfry najbardziej znaczące czyli najbardziej oddalone od prawej strony. W szóstej kolumnie od prawej jest tylko jedna cyfra. Skoro nie może być równa zero, to C=1. W piątej kolumnie od prawej mamy Z i S. Niech Z=0 i S=2. W czwartej kolumnie od prawej jest Z (które ma być 0) i dwukrotnie T=3.
Żeby liczba CZTERY była podzielna przez 4, przez 4 podzielny musi być człon RY. Ale RY musi być też podzielne przez 3, by przez 3 było podzielne TRZY. Tak więc RY musi być podzielne przez 12 i nie zawierać cyfr 0, 1, 2 i 3. Są trzy możliwości: 48, 84 i 96. Ponieważ Ć musi być parzyste, w dwóch pierwszych przypadkach Ć=6, a w trzecim 4 lub 8. Zostały 3 cyfry, z których trzeba wybrać dwie takie, by SZEŚĆ było podzielne przez 3, przy czym E<Ś.
Rozwiązanie:
TRZY = 3906
CZTERY = 103496
SZEŚĆ = 20478
czyli w sumie 127880.
TRZY – 3906
CZTERY – 103496
SZEŚĆ – 20478
Panie Marku,
Komentarz @aps1968 sprowokował mnie do popełnienia tego wpisu.
W tym przypadku ujawnienie niepoprawnej odpowiedzi było bardzo dużą podpowiedział dla pozostałych czytelników.
Nie potrafię powiedzieć, czy to dobrze, czy źle. Nie osądzam, bo to Pan jest tutaj gospodarzem. Ale chciałbym aby wszyscy wiedzieli, że czasem poznanie niepoprawnej odpowiedzi bardzo ułatwia rozwiązywanie problemu. Tak było w tym przypadku. Niech Gospodarz decyduje, co warto ujawniać, a czego nie, ale niech przy podejmowaniu decyzji pamięta, że pochopne ujawnienie niepoprawnego rozwiązania może znacznie uprościć zadanie…
Często miewam taki dylemat. Dotąd przymykałem oko na detale, bo zabawa nie jest „komercyjna”. Rozumiem jednak, że pochopne ujawnianie błędnych rozwiązań może ją popsuć, więc obiecuję być bardziej rygorystycznym.
m
@miodziu
Wydaje mi się, że słowem kluczowym jest tutaj „zabawa”. Rozwiązuję dla własnej satysfakcji i nie powiem, żeby skorzystanie z „podpowiedzi” ją w tym przypadku umniejszyło. Z pewnością doszedłbym do tego, co w pierwszych słowach swoich odpowiedzi napisali @Spytko, czy @Michał S. A przecież nie ma obowiązku czytać komentarzy, czy zagłębiać się w nie. Stąd apelowałbym do Gospodarza, by nic nie zmieniał, bo lektura uwolnionych komentarzy jest jedną z przyjemności korzystania z blogu i zazwyczaj pewien rodzaj rozczarowania się pojawia, gdy danego dnia nie pojawia się nic nowego.
Sympatyczny apel. Mi też jest miło, gdy jest „ruch w interesie”. Spróbuję podejmować salomonowe decyzje.
m
Popieram w pełni apel aps1968 bo też nastawiam się głównie na przyjemną zabawę, co najwyżej z elementami współzawodnictwa – nie odwrotnie. Wymiana myśli po drodze i „ruch w interesie” są ciekawsze niż „cisza w eterze” przez cały tydzień.