Kwadrat 15-latek
Ciąg dalszy tematu z poprzedniego wpisu – tytuł podobny i zacząć mogę podobnie: kwadratu magicznego 5×5 z kamieni domina zbudować nie sposób. Z nieparzystością można sobie jednak poradzić nieco inaczej niż poprzednio. Zamiast łamać na pół kamienie umieszczamy cyfry w pięciu polach. Zadanie polega na wypełnieniu pozostałych dwudziestu kratek dziesięcioma umieszczonymi obok diagramu kamieniami tak, aby powstał kwadrat magiczny (taka sama suma cyfr w rzędach, kolumnach i na obu przekątnych).
Kwadrat jest 15-latkiem, ponieważ pochodzi z 24-godzinnego turnieju łamigłówkowego, który miał miejsce w roku 2003 w Budapeszcie.
Komentarze
12345
35214
51432
43521
24153
Najpierw prościutkie sudoku 1-5, a na kafelki dzieli się samo:
12345
35214
51432
43521
24153
Na początku powstała koncepcja „łacińskości” układu (poszlaki były silne) i jakoś tak od ziarnka do ziarnka nazbierało się rozwiązanie.
12345
35214
51432
43521
24153
1d2p345d
352p14
5p14p32
4d35p21
24p15p3
Pola „górne” bądź „lewe” kamieni oznaczone są po prawej literką, w którą stronę „idzie” kamień, czyli albo d (w dół), albo p (w prawo). Jak widać, kamienie „pionowe” to tylko te w trzech rogach: 13 w lewym górnym, 54 w prawym górnym i 42 w lewym dolnym.
Rozwiązywanie opiera się na założeniu, że na każdej linii cyfry nie będą się powtarzać, dając w sumie 15. Wpisujemy pojedyncze cyfry w każde pole, a potem dobieramy w pary. Jest to przy tym założeniu jedyne rozwiązanie. Pewien kłopot polega na tym, że możemy zamienić kamień 23 z górnego rzędu z kamieniem 41 z dolnego i sumy dalej wynoszą 15 (w pionie i poziomie, przekątne nie są ruszone), czyli mamy drugie rozwiązanie. A dlatego kłopot, że to oznacza, iż być może rozwiązań jest jeszcze więcej, bardziej skomplikowanych niż tylko zamiana dwóch kamieni w rozwiązaniu „kanonicznym”. Jak znajdę pomysł, by to ugryźć, zgłoszę się ponownie.
Diagram należy wyświetlić z czcionką o równej szerokości znaków, „Courier New” lub „Lucida Console” np. w Notatniku
╔═╦═══╦═╦═╗
║1║2 3║4║5║
║ ╠═╦═╩═╣ ║
║3║5║2 1║4║
╠═╩═╬═══╬═╣
║5 1║4 3║2║
╠═╦═╬═══╬═╣
║4║3║5 2║1║
║ ╠═╩═╦═╩═╣
║2║4 1║5 3║
╚═╩═══╩═══╝
W rzeczywistości jest to kwadrat magiczny inaczej rozumiany: żadna liczba nie powtarza się w wierszu, kolumnie ani na przekątnych. Korzystając z tego spostrzeżenia, zadanie rozwiązuje się w dwóch etapach: najpierw wpisać można wszystkie liczby (zaczynając od 5 w prawym górnym rogu i 2 w 4 kolumnie 4 wiersza), a później rozwiązać łatwe deduktomino.
Ściślej: taki kwadrat to kwadrat łaciński
mp
Jest 13 rozwiązań w tym tylko jeden kwadrat jest magiczny i łaciński (nawet na przekątnych) zarazem.
Kwadrat można pokryć dominami na 5 sposobów (abstrahując od ilości oczek na dominach).
Oznaczmy te pokrycia: A, B, C, D, E.
Rozwiązania rozkładają się następująco:
A – 4
B – 1
C – 3
D – 5 (tu jest łaciński)
E – 0
Szczegółowe rozwiązania są tutaj:
http://pokazywarka.pl/kwkblg/
Ponieważ nic tu się jeszcze nie pojawiło do tej chwili, podzielę się uwagami.
Dla ścisłości, nie mamy tu do czynienia z kwadratem magicznym 5×5 (z liczbami od 1 do 25), ale powiedzmy „premagicznym” (z 5 kompletami liczb od 1 do 5). Gdyby rozwiązanie premagiczne z ustalonym położeniem 5 liczb było jednoznaczne, dopasowanie pokrycia kamieniami byłoby tylko formalnością (jest tylko kilka wariantów tego pokrycia). Ale kwadraty premagiczne mają dużo więcej stopni swobody niż magiczne, więc można wygenerować dużo pasujących do wzorca początkowego.
Wszystkie warianty pokrycia zastosowane do znalezionych kwadratów premagicznych (zanim się nie zniechęciłem) dawały tylko rozwiązania częściowe. Sprowadzają się one do tego, że np. 2 z dostępnych kamieni nie występują w pokryciu, za to 2 inne są zdublowane. Ewentualnie, 1 kamień nie występuje, za to inny jest zdublowany a dodatkowo pojawia się kamień spoza zestawu (typu k,k).
W międzyczasie proponuję dyskusję, który zapis rzymski jest prawidłowy ?
1999 = MCMXCIX czy
1999 = MIM
🙂
Ciekawostka, pomijając domina, samych kwadratów magicznych tego typu pasujących do wzorca odsłoniętych liczb jest wiele (jak sugeruje Spytko – 13-cie) i wcale nie muszą być łacińskie, co zresztą nie jest warunkiem tego zadania.
Znalazłem ręcznie z 9 takich ale akurat żaden nie pasował do domin więc dałem sobie spokój 🙁
@Spytko
Zapis pierwszy, bo nie ma czegoś takiego jak IM, podejrzewam wkręcanie 🙂 Można zrobić 9 z IX a 90 z XC, czy 900 z CM, ale nie można 99 z IC, 990 z XM, czy 999 z IM.
Wracając do zadania, jestem ciekaw, jak punktowano na tym 24-godzinnym turnieju łamigłówkowym (brzmi jak mistrzostwa w szachach błyskawicznych), czy nikt nie bawił się w szukanie większej liczby rozwiązań i był po prostu 1 punkt, czy może 1 punkt za każde rozwiązanie, to byłbym dumnym posiadaczem dwóch punktów, no ale respekt przed @Spytko.
@aps1968
Dzięki za miłe słowa ale ręcznie to znalazłem tylko te 5 pokryć, co było całkiem łatwe.
Szukanie rozkładów domina w tych pokryciach zleciłem już maszynie i nie wyobrażam sobie ręcznego rozwiązywania tego zadania.
Więc chapeau bas dla wszystkich co znaleźli ręcznie to jedno rozwiązanie wpadając na pomysł, że ten kwadrat „powinien” być jeszcze dodatkowo łaciński.
Ten dodatkowy warunek ułatwiał znacznie zmagania ale mógł też zaprowadzić w ślepą uliczkę co, szczególnie na konkursach, jest bardzo frustrujące.
Ręczne rozwiązywanie tego zadania jest po prostu trudne choć w pierwszej chwili wydaje się łatwe bo ma małe rozmiary.
Co do rzymskiego zapisu liczb to lekkie wkręcanie polegało na tym, że gdzieniegdzie (np.: http://www.math.edu.pl/system-rzymski)
jako jedna z reguł podawane jest „maksymalne skrócenie zapisu” co umożliwiałoby takie właśnie dość radykalne uproszczenia.
To ograniczenie (par znaków) przy odejmowaniu jest dość sztuczne i niczemu nie służy. Jednocześnie, bywały różne warianty niektórych reguł z których najsłynniejszą jest chyba 4 na zegarach francuskich pisana IIII zamiast IV. Ale Ludwik XIV był władcą absolutnym i regulował osobiście również takie „ponadczasowe” drobiazgi 😉