Sudoku Fareya

23 listopada 2017
Marek Penszko

Zapowiedziane przed tygodniem sudoku ułamkowe Michała S. jest dość „awangardowe”, bowiem – jak napisał autor – niemal każdą liczbę wpisuje się w nim do diagramu „po kawałku”. Ułamki, które w wersji sprzed tygodnia stanowiły podpowiedzi umieszczane na granicach pól, tym razem pojawiają się polach zamiast typowych dla sudoku cyfr od 1 do 9. Inaczej mówiąc, do pól wpisuje się dziewięć początkowych wyrazów ciągu ułamków właściwych dodatnich, który powstaje w następujący algorytmiczny sposób:
(1) piszemy dwa początkowe ułamki – 1/2 i 1/3
(2) licznik każdego kolejnego ułamka wzrasta o 1 dotąd, aż będzie o 1 mniejszy od mianownika
(3) mianownik następnego ułamka wzrasta o 1, a licznik zmienia się w 1
(4) powrót do (2)
Ułamki skracalne pomijamy, więc ostatecznie ciąg przybierze postać:
1/2,  1/3,  2/3,  1/4,  3/4,  1/5,  2/5,  3/5,  4/5,  1/6,  5/6,  1/7,  2/7,  3/7,  4/5,… Wytłuszczone wyrazy „uczestniczą” w sudoku. Można je określić jako wszystkie nieskracalne ułamki właściwe o mianowniku nie większym niż 5. Albo ściślej matematycznie: są to wyrazy ciągu Fareya rzędu 5 – wszystkie oprócz skrajnych. Warto też zauważyć, że liczniki i mianowniki tych ułamków tworzą dwa odrębne ciągi liczb naturalnych uwzględnione w OEIS jako A020652 i A038567.

Wracając do sudoku, podpowiedziami są w nim litery umieszczone na granicach pól. Oznaczają one, że ułamki w sąsiednich polach mają jednakowe liczniki (litera L) lub mianowniki (M). Uwzględnione są wszystkie takie sąsiedztwa, a więc jeśli między polami nie ma litery, to liczniki ułamków w tych polach są różne i mianowniki także.
W poniższej łamigłówce na dobry początek ujawniony jest tylko jeden ułamek – w lewym górnym rogu.

Autor zadania ufundował nagrodę, grę „Rachmistrz„, do rozlosowana wśród osób, które nadeślą poprawne rozwiązanie – wystarczy podać sumę ułamków na „pozieleniałej” przekątnej.

Uwaga: o 10.35 (23.11) naniesiona poprawka (usunięte L z 4. rzędu między polami 8 a 9).