Stary byczek
To, że w zadaniach zamieszczanych w Omnibusach zdarzają się błędy, to właściwie normalka. Na szczęście trafia się ich w każdym zeszycie zaledwie kilka i w większości są małego kalibru. Dziwne jest natomiast to, że czasem jakiś błąd wychodzi na jaw po… latach. Ściślej, po prawie dwóch latach, jak to się zdarzyło ostatnio.
Otóż w Omnibusie wakacyjnym z 2013 roku było zamieszczone następujące zadanie.
Po naprawie starego zegara został on ustawiony na godzinę 6:00 i uruchomiony. Zegarmistrz nie zauważył jednak, że połączył mechanizm wskazówki minutowej z godzinową – i odwrotnie. O której godzinie po raz pierwszy czas wskazany przez ten zegar będzie właściwy?
Dopiero przed tygodniem otrzymałem od jednej z czytelniczek mail z sugestią, że zamieszczone w Omnibusie rozwiązanie jest błędne. Błąd jest osobliwy i sporo się nagłowiłem zanim udało mi się ustalić, skąd się wziął. Nie będę go przypominał, bo nie ma się czym chwalić; zresztą kto dysponuje wspomnianym Omnibusem, sam może sprawdzić. Poproszę natomiast oczywiście o właściwe rozwiązanie.
Komentarze
Jak rozumiem, zegarmistrz ustawił krótszą wskazówkę tak, aby wskazywała liczbę 6. Skoro była ona połączona z mechanizmem minutowym, to pokazywała godzinę „wpół do”. Zatem wskazówka dłuższa (tu: godzinowa) powinna znajdować się pomiędzy dwiema liczbami.
Zegarmistrz ustawił ją jednak (na siłę?) zapewne wprost na 12. To jak to mamy odczytać? Jako 12.30? Jako 11.30?
Ten dylemat wiąże się ze wspomnianym błędem. Jednak właściwie dylematu nie powinno być, bo skoro zegarmistrz „nie zauważył”, że źle połączył mechanizmy ze wskazówkami, to ustawiał godzinę 6 o godzinie 6 tak, jakby w mechanizmach wszystko było jak należy. Potem sobie poszedł, a wrócił i spojrzał na zegar w momencie, gdy wskazywał on rzeczywistą godzinę (taką, jaka byłaby wskazywana, gdyby wskazówki były dobrze połączone). Jaka to była godzina (najwcześniejsza możliwa)?
mp
Nie mam pod ręką tego Omnibusa, więc nie wiem, jakie jest błędne rozwiązanie, a co do poprawnego to wydaje mi się, że w ciągu pierwszej godziny mała wskazówka „ucieknie” dużej i gdy po godzinie znajdzie się znów na 6, to duża będzie na 1, i to będzie godzina 7-ma. Teraz mała wskazówka będzie zbliżać się do cyfry 7, przekroczy ją, i w pewnym momencie przyjmie pozycję taką, jaką przyjęłaby o tej porze w normalnym zegarze. Trzeba rozwiązać równanie 12x = x+60, skąd wychodzi że x = 60/11, jednostką jest minuta, czyli 5,4545… minuty, czyli ok. 5 min 27 sek. To samo działa dla dużej wskazówki, więc o godzinie 7 min 5 i 27 sek powinny oba zegary pokazywać to samo. Warto zauważyć, że jest to dokładnie ta godzina, o której wskazówki będą znów tworzyć kąt 180°. Wszystko co jest pomiędzy tymi punktami jest inaczej, ale na tę chwilę wraca do normy, następna dobra godzina będzie 8:10:54. Łatwiej nawet byłoby to sobie uzmysłowić, gdyby godziną wyjściową była 12.00: oczywiste że wtedy następna prawidłowa godzina będzie pokazana, gdy wskazówki się pokryją, czyli o 1:05:27.
Gdy minie 65 minut:
– czas rzeczywisty to 7.05
– wskazówka krótka pokaże liczbę 7
– wskazówka długa minie 1 i będzie pokazywać – mniej więcej – „pięć po”
Zegar będzie pokazywał dokładną godzinę co dokładnie 12/11 godziny, czyli co ok. godzinę, 5 minut i nieco ponad 27 sekund. Zatem po raz kolejny poprawną godzinę wskaże ok. 7:05:27…
Jak znaleźć rozwiązanie? Duża wskazówka porusza się wolniej niż powinna. Wykonuje obrót o kąt 30 stopni w ciągu godziny, a powinna wykonać pełen obrót (360 stopni). A zatem jeśli przyjmiemy, że duża wskazówka znajdzie się ponownie we właściwym położeniu po upływie x godzin, to widzimy, że przesunie się ona od godziny 12 o kąt 30x stopni. Gdyby poruszała się normalnie, to przesunęłaby się o kąt 360x, przy czym ten kąt jest sumą kąta pełnego (360) oraz tego kąta, o który wskazówka faktycznie się przesunęła (30x).
Zatem 360x = 30x + 360
czyli po podzieleniu obu stron równości przez 30 mamy
12x = x + 12
11x = 12
x = 12 / 11 (godziny)
Po 65 i 5/11 minuty zegar pokaże pierwszą prawidłową godzinę, 5 i 5/11 minuty po siódmej.
po 6:32 i przed 6:33
dokładnie 6:32 (i 8/11 min, czyli 43 i 7/11 sek)
Najwcześniejsza taka godzina to – w zaokrągleniu – 7.06. Upłynęło ok. 1 godz. 6 min. i w tym czasie mała wskazówka (poruszając się jak duża) zrobiła pełne okrążenie z kawałkiem (równym ok. 6. kreskom minutowym za 6), zaś duża (poruszając się jak mała) przesunęła się o ok. 6. minutowych kresek za 12.
Pułapką w tym zadaniu jest to, że wyobrażamy sobie – błędnie, bo o niczym takim nie ma mowy w treści – że zegarmistrz przestawił wskazówki. Przy takiej interpretacji rozwiązaniem – prawdopodobnie do niego właśnie nie chciał przyznać się Sz. Gospodarz – byłaby godz. ok. 6.33.
Jeżeli zegar dalej dobrze chodzi, to poprawny czas powinien wskazywać wtedy, kiedy obie wskazówki się pokryją, bo wtedy nie ma znaczenia, która jest która. Po 6:00 pierwsza taka okazja będzie około 6:32:44.
hmm, wychodzi mi, że dopiero po 12 godzinach
Pospieszyłem się, marek.b465 nieświadomie wskazał mi błąd. Zakładałem ruch obu wskazówek co minutę, tzn jakby wskazówki prawidłowo zmontowanego zegara przesuwały się dopiero po upłynięciu całej minuty co jest oczywiście błędne. Zwiększając dokładność do pełnych sekund wychodzi mi, że wskazówki pokażą prawidłowy czas po upływie 1h 05m 27s
Przyjmując, że mamy do czynienia z typowym zegarem, gdzie wskazówki przeskakują o kąt 6 stopni (minutowa co minutę, godzinowa co 12 minut), wydaje mi się, że nastąpi to po godzinie i 5 minutach od włączenia zegara, czyli o 7:05.
Po 1 i 1/11 godziny, czyli o 7:05:27,(27)