Siódemka
W Państwa komentarzach pod poprzednim wpisem zaskoczyła mnie spora liczba (jak na Łamiblog) pochlebnych opinii o „pudełkowym” zadaniu. Nie przypominam sobie, aby kiedyś wcześniej komentatorzy byli tak skłonni do pochwał i tak zgodni. Istotnie, w łamigłówce ciekawe i oryginalne jest splecenie składników umieszczonych na dwóch bokach z sumami na dwóch pozostałych. Sposobem rozwiązywania zadanie przypomina jednak kakuro, czyli pod tym względem specjalnie się nie wyróżnia. Być może kartezjańska forma dodała mu splendoru.
Zaskoczyła mnie także skromna reakcja na rewanż xpresso (pod wpisem „Bez 9”), który zaproponował następującą łamigłówkę:
Używając liczb 1, 5, 6, 7 należy utworzyć wyrażenie, którego wartość równa jest 21. Każda liczba może wystąpić tylko raz, kolejność dowolna. Dozwolone są tylko podstawowe operacje arytmetyczne +-*/ oraz nawiasy.
Spodziewałem się szybkiej reakcji rozwiązujących, bo po pierwsze – zagadka jest dość znana (oczywiście w zagadkowym światku), a po drugie – jej bliźniaczka gościła już onegdaj w Łamiblogu. Liczby były nieco inne (1, 3, 4, 6) i suma także (24), ale sposób rozwiązywania taki sam, czyli dzielenie przez dopełnienie do jedności: 6/(1-3/4); w zagadce xpresso: 6/(1-5/7).
Rewanżuję się czymś w podobnym stylu:
1 + 2 = 3
12 : 3 = 4
12 – 3 – 4 = 5
1 – 2 + 3 x 4 – 5 = 6 (nie 12 + 3 – 4 – 5 = 6)
1 ……………..?…………….. 6 = 7
Nie podaję (żeby nie przynudzać 😉 ) co wolno, a czego nie wolno przy tworzeniu „siódemki”, czyli piątego działania, bo z kolejnych „wyrazów ciągu” (oraz niepoprawnego podanego przy „szóstce”) można wywnioskować, jakie są warunki. Łamiących je, czyli podających niepoprawne rozwiązania, będę informował o zbłądzeniu w komentarzach. Krótko mówiąc, będzie dedukcyjnie. Podejrzewam (a nawet jestem pewien 🙂 ), że można ustrzelić więcej niż jedno rozwiązanie, więc gdyby to był konkurs, to napisałbym, że kto trafi ich więcej, ten wygra.
Komentarze
Trudno wywnioskować mi, na razie, dlaczego to drugie rozwiązanie na ‚6’ jest złe, skoro bliźniaczo podobne na ‚5’ jest dobre… może po porannej kawce będzie lepiej 🙂
1+2-3-4+5+6=7
1-2+3+4-5+6=7
Oba błędne
mp
No to jak ma być dedukcyjnie, to proszę bardzo: 1-2+3+4-5+6=7 🙂
Błędne
mp
Wydedukowałem rozwiązanie: 1+2-3-4+5+6=7.
Błędne
mp
Skoro nie udało się z założeniem, że przy wynikach nieparzystych mogą być tylko dodawanie i odejmowanie, to proszę: 1+2+34-5×6=7.
Działanie poprawne. Sugerowany warunek – błędny.
Odtąd uwalniam natychmiast działania, informując, czy są poprawne, czy błędne oraz propozycje błędnych warunków. Poprawne warunki czekają.
mp
(-1 + 23 + 4*5) : 6 = 7
-1 + 23 – 4 – 5 – 6 = 7
((-1 + 2) * 3 + 45) : 6 = 7
1 – 2* 3* 4 + 5 * 6 = 7
Podejrzewam, że poprawne jest tylko ostatnie rozwiązanie.
Pozdrawiam 🙂
Podejrzenie jest słuszne!
mp
To może tak:
-1 – 2×3 + 4×5 -6 =7
Dobrze
mp
To też powinno być poprawne:
12 : 3 + 4 + 5 – 6 = 7
Jest poprawne
mp
Oczywiście nie może się zaczynać od -1, -12, itp?
Może.
mp
Nawiasy chyba są niedozwolone, więc chyba jest niepoprawne ale jest! 🙂
(1 + 2 + 34 + 5):6=7
Pozdrawiam 🙂
A teraz jeszcze mocno naciągane, ale ciekawe:
-1 * 2^3 + 4 + 5 + 6 = 7
1^2345 + 6 = 7
Oraz kolejne być może poprawne:
-1 – 2 * 3 + 4 * 5 – 6 = 7
Na dzisiaj już dosyć 😉
Pozdrawiam 🙂
Tak, „kolejne” jest OK i oryginalne (nie znałem tego).
mp
Zdefiniujmy działanie: a#b jako a*10+b wtedy 1#2=1*10+2=12
W każdym kroku przybywa jedno działanie.
Wypiszmy rosnące ciągi działań (bez liczb):
+
#/
#–
-+*-
Czy to jest dobry trop ? Bo ciężko tu dojrzeć jakąś prawidłowość w tych ciągach działań.
Zły trop.
mp
A jednak nie koniec, teraz samo się już wymyśla 😉
1 : 2 * 3 * 4 – 5 + 6 = 7
I jeszcze jedno naciągane:
(1 : 2 : 3 – 4 + 5) * 6 = 7
Oba błędne (zaskoczenie?)
mp
Zaskoczenie, skonfundowanie ale i 99% pewności 🙂
1) użycie nawiasów jest niedozwolone,
2) należy użyć nieparzystej ilości działań (np.: mnożenie, dzielenie, odejmowanie).
Pozdrawiam 🙂
Fanfary! Dodałbym tylko „różnych” – między „ilości” (lepiej byłoby „liczby”) a „działań”.
mp
Byłbym zapomniał: zadanie pudełkowe OK, ale jak dla mnie nie więcej. Jednak dość „na piechotę” się rozwiązywało, jak nietrudne sudoku. Więcej satysfakcji sprawiło rozwiązanie kilku zadań poprzednich.
Zgadza sie 🙂 dodałem przykład, ponieważ nie podobał mi się ten łamaniec językowy. A więc „nieparzysta liczba różnych działań” 🙂 Pozdrawiam.
Skoro spytałem o -1, to wypada znaleźć przykład: -1-2+3-4+5+6=7. Intuicja mówi, że za proste, a więc pewnie niepoprawne 🙂
Niestety, nie pasuje
mp
Pytania do Gospodarza:
1. Czy ktoś już sformułował na piśmie regułę, która rządzi tym przedziwnym ciągiem ?
2. Czy „poprawne” odpowiedzi są jedynie dziełem przypadku i mglistych, w 50% nieprawdziwych, intuicji ?
3. Czy ten ciąg kończy się na 7 czy można go rozwijać dalej?
Poza tym muszę przyznać że ten typ zadań-zagadek wprowadza mnie w stan lekkiej irytacji. 🙁 Zdecydowanie wolę te trudne ale dobrze określone. 🙂 🙂 🙂 Z powyższym problemem kojarzą mi się lekcje j. polskiego na których wszyscy zastanawiali się co autor miał na myśli ? 😉
1. Tak.
2. Poprawne odpowiedzi są efektem wyciągania właściwych wniosków z niepoprawnych.
3. Nie próbowałem go rozwijać dalej, ale nic nie wskazuje na to, aby było to niemożliwe.
Generalnie nie należy się sugerować tym, że działania stanowią jakiś ciąg, bo szukane warunki nie dotyczą zasady (wzoru), określającego tworzenie kolejnych wyrazów, tylko ogólnej (ogólnych) własności wszystkich wyrazów. „Ciągowe” jest tylko to, że każdy następny wyraz jest dłuższy od poprzedniego o kolejną liczbę.
Związek z lekcjami polskiego jest dość luźny, bo ustalenie, co autor miał na myśli, wymaga wiedzy o autorze i jego czasach, i nie musi być jednoznaczne (autor nie zawsze może potwierdzić, czy trafiliśmy). A tu są dwa warunki ściśle określone i aby je ustalić wystarczy wyciągać wnioski z oceny próbnych strzałów. Ale oczywiście rozumiem, że de gustibus…
mp
Dodalbym jeszcze, że dzięki lekcjom języka polskiego, często sam autor dowiaduje się co miał na myśli. A to świadczy o zawiłości ludzkiej psychiki.
A 1:2*3*4 to właściwie rozumiemy jako 6 czy jako 1/24?
W tym przypadku działania wykonujemy kolejno.
mp
Jeżeli 1 : 2 * 3 * 4 – 5 + 6 = 7 jest niepoprawne (to znaczy matematycznie jest to poprawne, dlatego chciałem się upewnić co do kolejności działań), to upada moja prosta koncepcja, że nie może być samej tylko kombinacji plusów i minusów: tylko plusy lub tylko minusy proszę bardzo, ale jak i plusy, i minusy, to musi pojawić się mnożenie lub dzielenie. Dla wszystkich chyba jest natomiast jasne, że zabronione są nawiasy?
Pierwszy warunek, dotyczący znaków działań, jest podobny, ale nieco prostszy.
mp
A taki byłem dumny z mojej łamigłówki a tu okazuje się, że nie tylko nie jest moja ale jest też znana. Moja, gdyż napisałem algorytm, który wygenerował wszystkie „ciekawe” zagadki tego typu. „Ciekawe”, czyli z trywialnym rozwiązaniem, które trudno znaleźć. 1,5,6,7 = 21 jest jedną z nich.
Tylko antyp przedstawił rozwiązanie, którego oczekiwałem (brawo); ale Spytko z Melsztyna oraz Andrzej wykazali sie kreatywnością i dowcipem.
Co do bieżącej łamigłówki: zakładając, że dodatkową regułą jest to, że łaczenie cyfr (12 lub 34) jest niedopuszczalne, chyba że nie istnieje rozwiązanie z pojedynczymi cyframi, rozwiązania są następujące.
1 – 2 * 3 * 4 + 5 * 6 = 7
1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 = 7
1 / 2 * 3 * 4 – 5 + 6 = 7
1 – 2 + 3 + 4 – 5 + 6 = 7
Poprawne jest tylko pierwsze
mp
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=60060
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20070407212018AAhkuX7
i wiele innych stron
Czyli wygląda na to, że nie może być tak, iż coś dodajemy, a zaraz potem kolejną o 1 większą liczbę odejmujemy, lub odwrotnie. Może dlatego, że robi się za łatwe, przynajmniej dla nieparzystych sum, np. 7: bierzemy pierwszą i ostatnią liczbę ze znakiem +, czyli 1 i 6, a środkowe dodajemy tak, by wyszło 0, np. -2+3+4-5. Chodziłoby więc o rozwiązania „ciekawsze” od takich trywialnych.
Otóż to.
mp
Zadanie na kanwie tego, „dobrze określone” dla Spytka z Melsztyna (i nie tylko), mogłoby być takie, żeby udowodnić, iż dla n większego od… niech będzie 6, można n zapisać jako sumę liczb, z których każda jest albo liczbą od 1 do n-1, albo do niej przeciwną, i oczywiście występuje dokładnie raz i po kolei (to właściwie niekonieczny warunek, dodawanie jest przemienne). Innymi słowy, da się wstawić pomiędzy liczby 1, 2, 3, etc. do n-1, tylko znaki + lub -, żeby wynik był równy n (przed liczbą 1 też może być znak -). W odróżnieniu od oryginalnego zadania, nie ma 12, 34, itp. Ja mam to udowodnione dla n nieparzystych i podzielnych przez 4, małym (?) wyzwaniem jest n parzyste niepodzielne przez 4, np. 10.
A jednak liczby dające przy dzieleniu przez 4 resztę 2 różnią się od podzielnych przez 4 tym, że dla nich się nie da takiej sumy stworzyć… z nieparzystymi też nie wygląda to tak różowo, bo dla 7 się da, ale dla 9 już nie. Przepraszam za zamieszanie 🙂
n=2*nieparzysta-1 lub n=2*parzysta to można zapisać
n=2*nieparzysta lub n=2*parzysta-1 to nie można zapisać.
Dowód nie jest trudny ale jak stracisz cierpliwość to służę wskazówką. 🙂
Ups, to co podałem jest prawdziwe dla sytuacji kiedy n zapisujemy przy pomocy +-1, +-2,…,+-n a nie +-1, +-2,…,+-(n-1), ale to chyba wystarczy odwrócić warunki.
Spytko, tak, między pierwszym a drugim z moich ostatnich wpisów nagłe olśnienie na mnie spłynęło, że reguła: „suma liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą, a w pozostałych przypadkach parzystą” dotyczy również liczb ujemnych 🙂 I wycofałem się jak niepyszny, z przeprosinami, bo odchodzimy od tematu 🙂