Sześć kroków
Tradycyjnie postanowiłem nawiązać do konkursu zamieszczonego w minionym miesiącu w Świecie Nauki. I jak zwykle zapraszam do zmierzenia się z najtrudniejszym zadaniem z tego konkursu (najmniej nadesłanych rozwiązań).
Korzystając z kalkulatora-zabawki można:
– zwiększyć liczbę o 1,
– wykonać dodawanie lub odejmowanie dwóch liczb,
– obliczyć odwrotność liczby.
Stosując te cztery operacje (niekoniecznie wszystkie) należy podnieść liczbę do kwadratu w nie więcej niż sześciu krokach.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.
Komentarze
Czym różni się inkrementacja o jeden od dodawania dwóch liczb? Obydwie rzeczy to pojedyncze operacje, tak?
Pojedyncze i różne (kalkulator-zabawka: wciskam guzik – liczba wzrasta o 1; wciskam inny guzik – otrzymuję sumę dwóch wprowadzonych liczb).
Pomijam dodawanie liczby ujemnej… ilość operacji można skrócić do dwóch, no może odejmowanie bym zostawił dla spokojności, ale zwiększenie o jeden? Jest jakiś haczyk z dodawaniem dwóch liczb i zwiększeniem o jeden?
Nie ma haczyka.
mp
Legenda:
INC(a) = a + 1
INV(a) = 1 / a
a^2 = INV(INV(a) – INV(INC(a))) – a
Rachunki zawierają:
3 x INV
1 x INC
2 x –
Dla ścisłości podany przeze mnie algorytm nie działa dla:
i) a = 0 oraz
ii) a = -1.
W przypadku i) kwadrat otrzymujemy w 0 krokach (0^2 = 0)
W przypadku ii) kwadrat otrzymujemy w 2 krokach: (-1)^2 = INC(INC(-1)) = 1.
rozumiem, że algorytm ma dotyczyć podniesienia do kwadratu dowolnej liczby (powiedzmy naturalnej) tak?
Tak
mp
0) N
1) 1/N ( zapamiętujemy )
2) N+1
3) 1/(N+1) ( zapamiętujemy )
4) (1/N)-((1/(N+1)) ( odejmujemy zapamiętane liczby )
5) N(N+1)
6) N(N+1)-N=N^2
Mam wątpliwości co do poprawności rozwiązania. Kalkulator-zabawka nie wykonuje operacji – „zapamiętać”, więc może być problem.
Czy mozna dodawac/odejmowac dowolne liczby, czy tylko otrzymane w wyniku wczesniejszych dzialan? Np., jezeli na wejsciu mam n, czy moge wykonac operacje n+3, czy tylko n+(n+1) albo n+1/n?
Zaczynamy od dowolnej liczby x, ale później operujemy tylko liczbami otrzymanymi w wyniku dozwolonych (możliwych) działań na x oraz oczywiście samą liczbą x.
mp
Mam też zagadkę: ile jest półtora dodać półtora?
8 lat podstawówki, 4 lata liceum (mat-fiz) 5 lat studiów (matma) i męczę się z tym od rana, będąc blisko poddania się 🙁
zaszalał Pan z tym zadaniem…
x-1
1/(x-1)
x+1
1/(x+1)
1/(x-1) – 1/(x+1) = 2/(x^2-1)
(x^2-1)/2
(x^2-1)/2 + (x^2-1)/2 = x^2 -1
x^2
W ośmiu krokach zamiast w sześciu i jeszcze do tego niedozwolona operacja -1, chociaż to można by naciągnąć jako odejmowanie dwóch dowolnych liczb które jest dozwolone. No i teraz nie wiem czy to rozwiązanie trzeba sprytnie poprawić czy trzeba zupełnie inaczej ?
Poprawić.
mp
półtora dodać półtora to jeden cały tor 🙂
odejmowanie jedynki od liczby wynika z drugiego „aksjomatu”
x
x+1
x-(x+1)=-1
x+(-1)=x-1
no ale jest więcej operacji
1/(1/x-1/(x+1))-x
co rozpisujemy na sześć kroków:
1. 1/x
2. x+1
3. 1/(x+1)
4. 1/x-1/(x+1)=1/(x(x+1))
5. odwracamy to co w punkcie 4. otrzymując: x(x+1)
6. x(x+1)-x=x^2
🙂 🙂 🙂
Propozycja następnego zadania:
Przy tych samych ograniczeniach, obliczyć sześcian dowolnej liczby w siedmiu krokach.
Właśnie to udało mi się policzyć najpierw a dopiero potem kwadrat 🙂
ok.. troche naciągane rozwiązanie:
dla dowolnej naturalnej liczby x robimy poniższe kroki:
1) liczymy odwrotnosc x (czyli 1/x)
2) od x odejmujemy otrzymaną odwrotność przedstawiając wynik w postaci ułamka zwykłego
3) licznik otrzymanego ułamka zwiększamy o 1
4) mianownik ułamka również zwiększamy o 1
5) od otrzymanego mianownika odejmujemy początkowy x
Otrzymany ułamek jest kwadratem liczby x
Sprytne i zabawne, ale nierealne – kalkulator nie wyświetla mianownika i licznika.
mp
Zgaduję, że chodzi o coś takiego:
Dane: A
1) U:=1/A
2) V:=A+1
3) W:= 1/V
4) X:=U-W
5) Y:= 1/X
6) Z:= Y-A
Z = A^2.
Jeśli to o to chodziło, to chyba studiowałem pilniej niż ‚stud’, bo zajęło mi to ok. 3 min. (ale ja z rozkładu na ułamki proste czasem korzystam)
1. inkrementacja x = x+1=a
2. odwrotność x = 1/x=b
3. odwrotoność a = 1/a=1/(x+1)=c
4. odejmowanie b-c = 1/x – 1/(x+1) = 1/(x^2+x) = d
5. odwrotność d = x^2+x
6. odejmowanie d – x = x^2
x – liczba, którą podnosimy do kwadratu
1) odwrócić x: 1/x
2) do x dodać 1: x+1
3) odwrócić wynik z 2: 1/(x+1)
4) od wyniku z 1 odjąć wynik z 3: 1/x – 1/(1+x) = (1+x-x)/x(1+x) = 1/x(1+x)
5) odwrócić wynik z 4: x(1+x) = x + x^2
6) odjąć x od wyniku z 5: x + x^2 – x = x^2
1. Odwrotność n (= 1/n)
2. Zwiększenie n o 1 (= n + 1)
3. Odwrotność n + 1 (= 1/(n+1))
4. Różnica odwrotności z pkt. 1. i 3. (= 1/(n^2 + n))
5. Odwrotność różnicy z pkt. 4 (= n^2 + n)
6. Różnica powyższego i n (= n^2)
Nie wiem czy o to chodziło (będę szukał dalej jutro, chyba już jestem blisko):
1. +1
2. Odwrotność
3. +(a-1)
4. Odwrotność
5. -1/a
6. Odwrotność
Nie podoba mi się krok 3 (odjęcie 1 dokonywane jest w głowie, czyli jest to dodatkowa operacja) oraz krok 5 (wymaga użycia nawiasów bądź wcześniejszego obliczenia odwrotności „a”, a to jest dodatkowa operacja).
1/x
x+1
1/(x+1)
1/x-1/(x+1)
x^2+x
(x^2+x)-x
wychodzi mi trochę więcej niż 6 operacji, ale jest stała ilość:
1. liczymy x – x = 0
2. liczymy 0 + 1 = 1
3. liczymy 1 – x
4. liczymy 1 / (1 – x)
5. liczymy 1 + x
6. liczymy 1 / (1 + x)
7. liczymy 1 / (1 – x) + 1 / (1 + x) = 2 / (1 – x^2)
8. liczymy 1 / (2 / (1 – x^2)) = (1 – x^2) / 2
9. liczymy (1 – x^2) / 2 + (1 – x^2) / 2 = 1 – x^2
10. liczymy 1 – (1 – x^2) = x^2
może tak:
1.liczymy 1 / x
2. liczymy x + 1
3. liczymy 1 / (x + 1)
4. liczymy 1 / x – 1 / (x + 1) = 1 / (x^2 + x)
5. liczymy 1 / (1 / (x^2 + x)) = x^2 + x
6. liczymy (x^2 + x) – x = x^2
Na pewno tak 🙂
mp
a = 1/x
b = x+1
c = 1/b
d = a-c
e = 1/d
f = e-x
Zakladam, ze x nie jest rowne 0 ani -1 🙂
1) zwiększamy x o 1 = x+1
2) liczymy odwrotność zadanej liczby x = 1/x
3) liczymy odwrotność otrzymanej w działaniu 1) liczby x + 1 = 1/(x+1)
4) teraz od 2) odejmujemy 3) tzn. 1/x- 1/(x+1) = (x+1-x)/(x(x+1)) = 1/(x2 + x)
5) liczymy odwrotność otrzymanej w działaniu 4) liczby = x2 + x
6) od 5) odejmujemy x = x2 + x – x = x2
1) 1/x
2) x+1
3) 1/(x+1)
4) 1/x + 1/(x+1) = -1/(x^2-x)
5) 1/[-1/(x^2-x)] = -x^2+x
6) x – (-x^2+x) = x^2
Uhm, w 4) kroku to odejmowanie ma być, a nie dodawanie.
Aj, w ogóle to źle przepisałem:
2) x-1
3) 1/(x-1)
4) 1/x-1/(x-1) = -x^2+x
„Ja, robot” rozwiązywałem już kiedyś (styczeń 2009) tę zagadkę!
Ot, skleroza. Ale przy prawie 700 wpisach można coś przeoczyć.
mp