Ośmio-pięcio

Powrócę do klasycznej łamigłówki liczbowej, o której wspomniałem przed kwartałem, a ściślej do jej uszlachetnionej Gardnerowskiej wersji:

Cyfry w ciągu od 1 do 9 można zbliżać do siebie, tworząc liczby albo stawiać między nimi znaki plus lub minus; po takich zabiegach powinna powstać poprawna równość.

Rozwiązań jest jedenaście:
123+45-67+8-9=100
123+4-5+67-89=100
123-45-67+89=100
123-4-5-6-7+8-9=100
12+3+4+5-6-7+89=100
12+3-4+5+67+8+9=100
12-3-4+5-6+7+89=100
1+23-4+56+7+8+9=100
1+23-4+5+6+78-9=100
1+2+34-5+67-8+9=100
1+2+3-4+5+6+78+9=100

Okrągłość wyniku wyróżnia zadanie i jakby dodaje mu splendoru, którego jednak ubywa ze względu na sporą liczbę rozwiązań. Można by ją ograniczyć do jednego, dodając, że znaki powinny być tylko trzy. Można też ujednoznacznić rozwiązanie w inny sposób – zamiast dodatkowego warunku zastąpić 100 inną liczbą. Jaką najmniejszą?
Prawdopodobnie mniejsza od 100 być nie może. W przypadku większości z nich rozwiązań jest bowiem kilkanaście, a rekord dzierżą 1 i 45 – po 26 rozwiązań.

Przechodząc do konkretów, proponuję znaleźć jedyny sposób uczynienia poprawną poniższej równości przy pomocy zbliżeń oraz odpowiednio rozmieszczonych plusów i minusów:

Czy dla jakiejś liczby mniejszej od 176 rozwiązanie także będzie jedno? Nie mam pojęcia. Cała nadzieja w programistach.

PS 176 jest najmniejszą liczbą równocześnie pięcio- i ośmiokątną (pomijając jedynkę, która jest „każdokątna”) – stąd dziwny tytuł tego wpisu.

^{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

Komentarze

[Gps E]

1-2 +34+56+78+9=176
🙂
Pozdrawiam 🙂

[stud]

1-2+34+56+78+9
Panie Marku, wydaje mi się, że to nie jest jedyne rozwiązanie gdyż dojście do niego metodą prób i błędów zajęło jakieś 5 minut. Może Pan w jakiś sposób „udowodnić” że rozwiązanie jest tylko jedno?

Słowo harcerza, że jedno 🙂 . A serio, wydaje mi się, że jedynym „dowodem” jest przelecenie wszystkich możliwości programem.
mp

[antyp]

176 jest faktycznie najmniejszą liczbą z jednym rozwiązaniem, choć wcześniej jest liczba, której nie można ułożyć – 160.
1 – 2 + 34 + 56 + 78 + 9 = 176
Za to najmniejszą liczbą „odwrotnie” uzyskaną jest 2 (później 186)
9 + 87 – 65 + 4 – 32 – 1 = 2.
Najmniejszą liczbą, której w ten sposób nie można utworzyć jest 194.

[Piotr]

Odpowiedź dla 176 to 1-2+34+56+78+9.
I rzeczywiście jest pierwszą dla której jest dokładnie jedno rozwiązanie, następnych kilka to 183, 186,191, 193,194

Co ciekawe przed 176 jest 160, dla której nie istnieje żadne rozwiązanie.

Pozdrawiam
Piotr

[szeryf]

Nie będzie, 176 jest najmniejszą _dodatnią_ liczbą, dla której jest dokładnie jedno rozwiązanie. Bo oczywiście istnieje bardzo wiele _ujemnych_ liczb z jednym rozwiązaniem i, co ciekawe, największą z nich jest -100.

Kilka kolejnych liczb po 176:
176=1-2+34+56+78+9
183=123-4+56+7-8+9
186=123+45-6+7+8+9
191=123+4+56+7-8+9
193=123+4+56-7+8+9
194=1-2+34+5+67+89
202=123-4-5+6-7+89
205=123-4+5-6+78+9
206=123+4-5+67+8+9
209=1+234+56+7-89
213=123+4+5-6+78+9
215=123+4-5+6+78+9
217=123-4+5+6+78+9
220=123+4+5+6-7+89
231=123+45-6+78-9
232=1+234-5-6+7-8+9
238=1+234+5+6-7+8-9

Najwięcej (27) kombinacji daje wynik -21, a po 26 kombinacji dają wyniki 1 i 45.

[Bazyli]

Rozwiązanie udało się znaleźć „na papierze”:
1-2+34+56+78+9=176
Rzeczywiście, 176 jest najmniejszą dodatnią liczbą z jednym rozwiązaniem. Wszystkie możliwości wygenerowałem w arkuszu kalkulacyjnym przy współpracy z ciekawym kalkulatorem – http://goo.gl/Oy6m6 (przydał się przy wariacjach z powtórzeniami dla plusów i minusów). Dla zainteresowanych finalny arkusz do pobrania:
http://www.sendspace.pl/file/913963eb2a3677f89bd8ca9

[jawa]

1-2+34+56+78+9=176

[Andrzej]

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna, której nie można przedstawić za pomocą wyżej określonych działań?

Czy znak minus można umieścić przed jedynką?

1-2+34+56+78+9=176

Minus na początku to oczywiście kwestia umowy. Ciekawe, czy jeśli na to pozwolić, to przybędzie rozwiązań dla 176 albo czy będzie rozwiązanie dla 160 – podobno jedynej liczby mniejszej od 176, dla której nie ma rozwiązania (bez minusa na początku).
mp

[antyp]

Jeżeli założymy, że minus może być na początku to dla 160 będzie 5 rozwiązań. Jedno z nich to -12+34+56-7+89=160. Dla 176 dalej będzie tylko jedno. Dla pierwotnego zadania przybędzie jedno dodatkowe rozwiązanie -1+2-3+4+5+6+78+9=100.

Antypie, czy z powyższego ma wynikać, że dla 176 jest jedno rozwiązanie z minusem na początku?
mp

[antyp]

Nie ma rozwiązania z minusem na początku.