Pierwiastkuję politykę
Przedwczoraj wypadły urodziny miesiąca. Niby nic niezwykłego, bo są co miesiąc, ale przedwczorajsze były szczególne – takie bywają tylko dziewięć razy na sto lat. Tak rzadko bowiem trafia się niejako z definicji przypisany niektórym, ale bardzo nielicznym urodzinom miesiąca Dzień Pierwiastka Kwadratowego.
Pochodom, festynom, sympozjom naukowym i degustacjom pokrojonych w kwadraciki warzyw korzennych korzeniowych (głównie rzodkiewek i marchewek) – zgodnie z anglosaską tradycją („root” oznacza jak wiadomo zarówno „pierwiastek”, jak i „korzeń”) – nie było końca. Zamierzałem wczoraj zdać relację z obchodów, ale ponieważ świętowałem zbyt hucznie, nie ograniczając się do warzyw, więc jeszcze w środę z trudem rozróżniałem klawisze z literkami, nie mówiąc o trafianiu w nie.
Dzień sqrt wymyślił w 1981 roku Ron Gordon, nauczyciel z Redwood City (aglomeracja San Francisco), bez szczególnego powodu – ot tak, dla matematycznej hecy. Przypada wtedy, gdy liczby oznaczające dzień i miesiąc są identyczne oraz równe pierwiastkowi kwadratowemu z liczby oznaczającej rok (tysiące i setki pomijamy). Pomysłodawca krzewi ideę od 09.09.1981 – okazjonalnie, siłą rzeczy, ale bardzo intensywnie. W tym roku rozsyłaną Internetem informację podało bardzo wiele gazet, także kilka polskich, m.in. Rzeczpospolita. Następna okazja do świętowania wypadnie za 7 lat 4 kwietnia. Pan Gordon ogłosił przy okazji konkurs na „logo” dnia. Projekty można nadsyłać do godziny 3 rano (czasu pacyficznego) 18 marca, czyli w ciągu 339 godzin od święta, pod adresem rgordon@seq.org. Pula nagród wynosi 339 dolarów.
Świętując postanowiłem spierwiastkować POLITYKĘ. W tym celu litery w słowie POLITYKA zastąpiłem cyframi – oczywiście każda cyfra była inna, bo różne są litery. Zrobiłem to na chybił trafił, unikając tylko zera na początku. Z otrzymanej w ten sposób liczby ośmiocyfrowej wyciągnąłem pierwiastek. A proste pytanie brzmi: jaką miałem szansę, że wynikiem będzie liczba całkowita, jeśli wiadomo, że ośmiocyfrowych kwadratów liczb całkowitych złożonych z różnych cyfr jest 97?
PS Los mi sprzyjał i wynik nie tylko okazał się liczbą całkowitą, ale także występowała w nim tylko jedna cyfra. Jaka?
Komentarze
7777^2 = 60481729
Liczba roznych ustawien cyfr to:
– najpierw odrzucamy 2 cyfry (wybieramy 8):
9*8/2 mozliwosci: dzielimy na dwie grupy (z odrzuconym zerem i bez)
36 = 9 + 27
– jesli odrzucilismy zero, to ustawiamy cyfry dowolnie: 8! kombinacji
– jesli mamy zero, to musimy odjac sytuacje gdy zero jest na poczatku:
8! – 7!
Razem 9*8! + 27*(8!-7!) = 9! + 27*7*7! = 7! * (72 + 189) = 261 * 7! = 1315440. Czyli prawdopodobienstwo to 97 / 1315440.
sqrt 60481729=7777
Literę P można zastąpić jedną z 9 cyfr, O też jedną z 9 pozostałych , L jedną z 8, I jedną z 7, T jedną z 6, Y jedną z 5, K jedną z 4, A jedną z trzech cyfr.
Można więc utworzyć 1632960 różnych liczb ośmiocyfrowych.
Szansa na całkowity wynik to ok. 0,00005940
7
POLITYKA = 60481729 😉
Warzywa są korzeniowe, korzenne zaś – przyprawy 😉
Prawdopodobieństwo to prawdopodobnie 97/1814400
liczba to 7777^2
Pozdrowienia
Jedna z trzech odpowiedzi (prawdopodobieństwo) podanych przez Szanownych Komentatorów jest poprawna. Która?
mp
Moim zdaniem, jawa wyznaczył poprawnie poszukiwane prawdopodobieństwo.
W rewanżu mam zadanie.
Z przystanku, z którego jadę do pracy, przeciętnie co 20 minut odjeżdża jakiś tramwaj. Na przystanek ten przychodzę w zupełnie przypadkowej chwili. Dlaczego mój średni czas oczekiwania na dowolny tramwaj jest dłuższy niż 10 minut? Kiedy średni czas mojego czekania byłby równy dokładnie 10 minut?
Pozdrawiam.
Jazz,
jeśli tramwaj będzie jeździł co 18 minut?
Mnie się też zdaje, że jawa ma rację.
Pardon, co 19 😳
Ani 18, ani 19 minut. Przecież tramwaj, jak napisałem w zadaniu, przeciętnie odjeżdża z przystanku co 20 minut. Dodatkowo powiem, że mój średni czas czekania może być większy albo równy 10 minut. Nie może być natomiast mniejszy od 10 minut.
@ Jazz Twój paradoks wynika z tego, że trochę inaczej rozumiemy średnią skończonej ilości pomiarów, a inaczej – nieskończonej.
Zdanie: „średnio tramwaj odjeżdża co 20 minut” znaczy, że jeśli weźmiemy wystarczająco długi przedział czasowy (np. dobę), to zdarzenie: „tramwaj odjeżdża” zdarzy się trzy razy więcej razy, niż wybije pełna godzina. Inaczej: jeśli tramwaje mają stały dobowy rozkład jazdy, to w tym rozkładzie w ciągu doby będzie 24*3=72 czasów odjazdu. Ogólnie wiadomo, że w nocy tramwaje kursują rzadko (lub wcale), a w szczycie często. Jednak jeśli w ciągu 24h=24*60min odjedzie 72 tramwajów, średnio kursują one co 20 minut:) Nazwijmy to „średnio1”
Tymczasem pomiarów „czekałem x minut na tramwaj” może być dowolnie dużo: co sekundę (milisekundę itp.) na przystanku może pojawić się pasażer i włączyć swój stoper. Nie możemy więc wziąć tych wszystkich wyników, zsumować i podzielić przez ilość pomiarów. Radzimy więc sobie tak: dla każdej chwili w której przyszedł pasażer wyliczamy, ile czasu będzie czekał na tramwaj i rysujemy wykres. Będzie on wyglądał jak piła z ząbkami różnej wysokości. Ząbków jest tyle, ile kursów tramwajów w danym przedziale czasowym (w naszym przypadku w dobie).W tym momencie niezmiernie brakuje mi możliwości wstawienia obrazka 🙁
Aby policzyć średnią, „rozsmarowujemy” równomiernie pole pod wykresem, aby otrzymać poziomą warstwę, która intuicyjnie oznacza „średni2” czas czekania.
I właśnie zauważamy, że jeśli przez pewien czas tramwaje będą odjeżdżały jeden za drugim (np. przez pierwsze 72 sekundy co sekunda 😉 ), a póżniej przez resztę doby wcale, to „średnio2” na tramwaj będziemy czekać prawie 12 godzin, mimo, że „średnio1” tramwaje kursują przecież raz na 20 minut.
Optymalną wartość „średniego2”, dziesięciominutowego czekania dostaniemy tylko wtedy, gdy tramwaje będą kursować jednostajnie w stałych dwudziestominutowych odstępach czasu.
Jeśli przyjdziesz na przystanek najwcześniej 1 sekundę po odjeździe tramwaju, czekasz na następny 19 minut i 59 sekund, jeśli najpóźniej 1 sekundę przed odjazdem następnego, to jedną sekundę, wówczas średnia oczekiwania wynosi 10 minut. Jeśli przychodzisz w momencie odjazdu tramwaju, to nim nie jedziesz i czekasz następnych 20 minut. Nic lepszego nie przychodzi mi do głowy 😉
taria,
no właśnie 😉 Te tramwaje w mojej okolicy jeżdżą punktualnie, a na przystanku jest tablica wyświetlająca czas oczekiwania na następny i nawet nie potrzeba stopera 😉
Moje rozwiazanie jest poprawne, ale obliczenia nie sa…
wybieramy 8 cyfr oczywiscie na 10*9/2 mozliwosci;
co daje 9*8! + 36*(8!-7!) = 1632960 -> czyli wynik Jawy jest poprawny.
Co do zadania Jazza – problem polega na tym, ze jest to klasyczny „paradoks” rozkladu wykladniczego, choc obawiam sie, ze nie nadaje sie na lamiglowke (bez formulowania dokladnie i formalnie).
Czas oczekiwania jest dluzszy, gdyz nasze przyjscie „wydluza” srednia dlugosc czasu miedzy tramwajami. Ale jak to uzasadnic nieformalnie – chetnie sie dowiem.
Nie oczekiwałem podania formalnego rozwiązania lecz chciałem zwrócić uwagę na pewien paradoks.
Nieformalnie wystarczy zauważyć, że prawdopodobieństwo przyjścia na przystanek w czasie dłuższego odcinka czasu (miedzy kolejnymi tramwajami) jest większe niź prawdopodobięństwo dla krótszych odcinków. Dodatkowo dla tych bardziej prawdopodobnych odcinków mamy dłuższy czas oczekiwania.
Spróbuję to spostrzeżenie przełożyć na język formalny.
Niech xi będą odcinkami czasu pomiędzy przyjazdami kolejnych tramwajów, L=suma(xi), dla i=1,…,n. Wówczas średni czas oczekiwania na tramwaj jest równy suma(xi/L*xi/2). Po elementarnych przekształceniach jest równa n/(2L)*E(X^2), gdzie E(X^2) to średnia kwadratów xi.
Gdyby wszystkie odcinki xi były jednakowe, czyli xi=L/n, dla wszystkich i, to średni czas oczekiwania byłby równy 1/(2L)*suma((L/n)^2), co po elementarnych przekształceniach jest równe n/(2L)*(E(X))^2.
Porównajmy (odejmijmy) te dwa czasy:
n/(2L)*E(X^2) – n/(2L)*(E(X))^2
po prostych przekształceniach daje to
(D(X))^2/(2*E(X))
czyli kwadrat odchylenia standardowego podzielony przez 2*średnia odcinków xi.
Ponieważ xi>0, to E(X)>0. Natomiast (D(X))^2 na ogół jest dodatni i jest równy zero tylko wtedy, gdy xi są jednakowe. Czyli gdy twamwaje przyjeżdżają regularnie w jednakowych odcinkach czasu.
Jak widać nie musimy znać rozkładu xi a użyte pojęcia nie wykraczają ponad podstawy rachunku prawdopodobieństwa.
Pozdrawiam
1. Roznimy sie w definicji „podstaw rachunku prawdopodobienstwa”.
2. Z czego to wynika: „Wówczas średni czas oczekiwania na tramwaj jest równy suma(xi/L*xi/2)” ? Tj. jak to otrzymac bez calkowania /liczenia wartosci oczekiwanej po przedzialach?
3. I (jesli jest to dowolny rozklad – a nie wykladniczy) gdzie tu paradoks?
Esteonie, nie definiowałem na Łamiblogu „podstaw rachunku prawdopodobienstwa” ale i tak się zgadzam, że mamy różne definicje.
Co do sposobu wyznaczania średniego czasu oczekiwania na tramwaj, to powiem szczerze, że nie wiem czy się motorniczy tramwajów umówili, że będą jeździć według rozkładu wykładniczego. Do tej pory wydawało mi się że korzystają z rozkładu jazdy. A ja jestem zdany jedynie na obserwacje.
A co do paradoksu. Moim skromnym zdaniem paradoks nie musi oznaczać fałszu lecz zazwyczaj przeczy ogólnie przyjętym wyobrażeniom.
Pozdrawiam.
1) Wreszcie zrozumialem argument i calkiem mi sie podoba.
2) Motorniczy szczesliwie nie jezdza wedlug rozkladu wykladniczego, bo z moim pechem bym musial wszedzie chodzic piechota.
3) Definicje paradoksu mamy taka sama, mi chodzilo o cos innego:
W zadaniu piszesz, ze tramwaj jezdzi przecietnie co 20 min. Co to oznacza?
Pierwsze co mi przyszlo do glowy, to ze w ciagu godziny jezdza 3. Ale to jest do niczego, bo moga jezdzic xx:50, xx:55, xx:58. I wtedy nikt nie pomysli, ze sredni czas oczekiwania na tramwaj to 10 min…
Na ogół jest tak, że tramwaje powinny jeździć np. co 20 min, ale z różnych powodów nie trzymają się rozkładu i odstępy czasowe odbiegają od zaplanowanych 20 min. Dlatego chyba można przyjąć, że z przystanku przeciętnie (średnio) co 20 minut odjeżdża jakiś tramwaj. Ale, jak mi się wydaje, teoretycznie różne skrajności też można by podciągnąć pod ten schemat i wówczas wyraźniej widać, że średni czas oczekiwania jest istotnie większy od 10 min.