Piracka demokracja

2 marca 2009
Marek Penszko

Na frapujące, acz nieco kuriozalne zadanie trafiłem niedawno na łamigłówkowym forum GW.

Pięciu skazańców zaproszono do zabawy, w wyniku której trzech z nich ma szansę ocalić głowę. Z woreczka zawierającego 100 diamentów mają wyjmować kamyki w ustalonej kolejności, każdy dowolną liczbę. Wyjmując, każdy wie, z ilu wybiera (może zajrzeć do woreczka i policzyć), a poza tym nic więcej nie wie, ani nie dowie się, ani też nie ma, nie miał i mieć nie może żadnego kontaktu z towarzyszami niedoli.
Na uniknięcie stryczka może liczyć ten, kto nie wyjmie ani najmniej diamentów, ani najwięcej, ani tyle samo, co któryś z pozostałych.
Wyobraź sobie, że jesteś jednym z tych nieszczęśników, ale potraktowano Cię wyjątkowo – możesz zdecydować, jako który w kolejności chciałbyś sięgnąć do woreczka. Które miejsce wybierzesz, aby ocalić głowę?

Zadanie jest kuriozalne, bo w pierwszej chwili wydaje się nieprostą łamigłówką typu „sami mędrcy” oraz „ty wiesz, że on wie, że ja wiem …”, gdy tymczasem w istocie sprowadza się do loterii, w której teoretycznie drugi i pierwszy mają największe szanse, a ostatni nie ma ich wcale. Jeśli można mówić w tym przypadku o strategii, to jest to strategia kolejnych liczb. Ponieważ jednak ostatni w kolejności jest bez szans, więc jego postępowanie, jako straceńca, jest nieprzewidywalne i zupełnie przypadkowe, a może rozstrzygać o losie każdego z poprzedników.

Formalnie „skazańcy” trochę przypominają zagadkę o pirackiej demokracji, w której kilku, zwykle sześciu piratów różnych stopniem (od P1 do P6) dzieli między siebie łup złożony ze 100 złotych monet. Zasada podziału jest taka:
Najstarszy rangą proponuje sposób podziału, a następnie wszyscy (łącznie z wnioskodawcą) głosują. Jeśli przynajmniej połowa głosów będzie za, dochodzi do podziału. W przeciwnym wypadku wnioskodawcę wyrzuca się za burtę, a kolejną propozycję zgłasza najstarszy rangą pozostały na pokładzie.

Przy dwóch piratach przełożony, czyli P2, przydzieli sobie wszystko – w głosowaniu zdobędzie swoje 50% głosów i po zabawie.
Przy trzech zbójach jest już nieco trudniej i wypada założyć, że piraci są łebscy. P1 wie – a P3 wie, że on wie – że jeśli P3 wyląduje za burtą, to P1 obejdzie się smakiem, gdy pozostanie sam na sam z P2. Zatem wystarczy zaoferować P1 cokolwiek, aby poparł ofertę. Krótko mówiąc, przejdzie propozycja: P3 – 99, P2 – 0, P1 – 1. Dalej piracka demokracja działa podobnie – wraz ze wzrostem liczby chętnych do podziału wystarczy, aby najstarszy rangą pamiętał o przekupywaniu minimalną kwotą tych, dla których zlota moneta jest cenniejsza (a jest dla każdego) od przyjemności wyrzucenia szefa za burtę. Ustalenie, jak będzie wyglądał podział przy sześciu piratach nie jest więc zbyt skomplikowaną zagadką.

Trudniej może być wówczas, gdy łup okaże się wyjątkowo skromny – będzie nim… jedna złota moneta. Ponieważ jej cięcie nie wchodzi w grę, więc podział sprowadza się do przydziału monety przez najstarszego rangą właściwemu z pozostałych piratów, czyli tak, aby wnioskodawca ocalił to, co najcenniejsze – życie. Tym razem jednak piraci są rozsierdzeni małym łupem i przy głosowaniu uwzględniają, oprócz życia własnego oraz złota, dodatkowe kryterium – jest nim, niestety, życie współtowarzyszy. Mówiąc ściślej, jeśli efekty głosowania przez pirata będą dlań takie same jeśli chodzi o życie i złoto – niezależnie od tego, czy wypowie się „za”, czy „przeciw” – to podejmie on taką decyzję, po której straci życie więcej jego kompanów (będzie ich mniej do następnych podziałów).
Któremu z „kolegów” P6 powinien przydzielić monetę, aby ocalić życie?