Dziel i tnij

3 lutego 2009
Marek Penszko

W komentarzu do wpisu z Ciasteczkowym Potworem Wiąz przypomniał zadanie, które przypomniałem tu przed dwoma laty. Udam teraz, że zapomniałem o tych przypomnieniach (albo udam, że nie udaję:)) i przypomnę je raz jeszcze, choć w nieco innej, krótszej formie.

Z dziewięciu różnych cyfr (oprócz zera) utwórz liczbę podzielną przez 9, która po obcięciu od końca m cyfr zmienia się w liczbę podzielną przez 9-m.

To jedna z ciekawszych łamigłówek liczbowych, pojawiająca się czasem w zbiorkach zadań albo na konkursach matematycznych dla zdolnych sztubaków. Interesująca przede wszystkim ze względu na sprytny sposób rozwiązywania, w którym korzysta się z cech podzielności. Prawdopodobnie „odkrywano” ją kilkakrotnie, a po raz pierwszy pojawiła się w jednym z numerów rosyjskiego miesięcznika Nauka i żizń w roku 1966.

Rozwiązanie należy do liczb zwanych wielopodzielnymi (wp), czyli takich n-cyfrowych podzielnych przez n, które po obcięciu m-cyfrowego „ogona” są podzielne przez m-n.
Czy dopisując do wp na końcu jakąś cyfrę można utworzyć inną wp? Intuicja podpowiada, że im dłuższa liczba, tym szanse są mniejsze. Istotnie, dla wp nie dłuższych niż 10-cyfrowe jest to zawsze możliwe. Potem liczba przedłużalnych długasów stopniowo maleje, aż do jedynego najdłuższego węża – 25-cyfrowego:
3 608 528 850 368 400 786 036 725
Zbiór wszystkich liczb wielopodzielnych jest więc skończony, a liczy 20 456 osobników.

Przypomniane (po raz ostatni) zadanie należy do rodzinki podobnych ustawianek cyfrowych. Oto dwa inne przykłady – pierwszy bliźniaczy, drugi spokrewniony.

1. Znajdź największą liczbę złożoną z różnych cyfr, która ma następującą własność: suma jej dwu pierwszych cyfr podzielna jest przez 2, trzech pierwszych cyfr – przez 3, czterech pierwszych – przez 4 itd., aż do sumy wszystkich cyfr podzielnych przez ich liczbę.

2. Dziewięć różnych cyfr (oprócz zera) wpisz w kratki

tak, aby suma cyfr w kratkach z cyframi:
– od 1 do 2 wynosiła 12
– od 2 do 3 – 23
– od 3 do 4 – 34
– od 4 do 5 – 45.

A od 5 do 6? Podkreślę na wszelki wypadek, że skrajne cyfry są wliczane do każdej sumy.