Pierwszyzna

8 kwietnia 2024
Marek Penszko

Przypadek to nierzadki, gdy autor zadania (ani nikt inny) nie zna jego rozwiązania. Takie zadania zasługują na miano problemów i kojarzą się z koryfeuszem matematyki Paulem Erdősem, który za rozgryzanie podobnych orzechów zwykł był fundować nagrody od kilku do kilkuset dolarów. Na przykład 500 za uporanie się z pozornie niewyszukanym, iteracyjnym (wciąż nierozgryzionym) problemem Collatza: dowolną liczbę dzielimy przez 2, gdy jest parzysta, albo mnożymy przez 3 i dodajemy 1, jeśli jest nieparzysta; z otrzymanym wynikiem – i z każdym następnym – postępujemy tak samo dotąd, aż pojawi się jedynka; należy udowodnić, że jedynkowej końcówki nie sposób uniknąć.
Nierzadkie są także przypadki, gdy autor zadania zna jedno rozwiązanie, ale nie jest pewien (i nie tylko on), czy nie ma ich więcej. Tu problemy są rzadsze, a za prosty przykład może posłużyć pytanie: czy różnica 10 między potęgami występuje tylko raz między 2197 (13^3) a 2187 (3^7)?
Przykładem, ale nie problemowym, może też być zadanie z marcowego „Świata Nauki”, którego autor znał rozwiązanie, ale okazało się, że nie jest ono jedynym. A zadanie jest takie:
W trzycyfrowej liczbie pierwszej A oraz w trzech liczbach pierwszych X, Y, Z – jedno-, dwu- i trzycyfrowej – występują tylko trzy różne cyfry. A=X+Y+Z. B jest sumą cyfr liczby A. C jest sumą cyfr liczby B. B i C także są liczbami pierwszymi, ale B nie równa się C. Jakie są wartości liczb X, Y, Z?
Autor wciąż nie jest pewien liczby rozwiązań. A więc ile ich jest?

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.