Dwa repdigity
We wrześniowym „Świecie Nauki” było zadanie, zaczynające się od stwierdzenia, że 11 jest jedynym repunitem, którego kwadrat (121) można zapisać jako sumę dwóch repdigitów – i to na cztery sposoby: 22+99, 33+88, 44+77, 55+66. Z liczb i ich określeń łatwo wywnioskować, że repunit jest określeniem liczby złożonej z samych jedynek, a repdigit to uogólnienie repunitu, czyli liczba złożona z jednakowych cyfr; w obu przypadkach (ze względu na cząstkę rep-) chodzi o liczby przynajmniej dwucyfrowe.
Celem zadania było (i jest – dla tych, którzy go nie rozwiązali) znalezienie dwóch innych liczb dwucyfrowych, których kwadraty także można zapisać w postaci sumy dwóch repdigitów. Osiągnięcie celu jest dość żmudne, choć metoda rozwiązywania nie musi ograniczać się do prób i błędów. Natomiast znacznie żmudniej poradzić sobie bez komputerowego wsparcia z dodatkowym problemem, którego w „Świecie Nauki” nie było. Otóż istnieje jeszcze tylko jedna liczba, której kwadrat stanowi sumę dwóch repdigitów i jest ona trzycyfrowa. Jaka to liczba?
Okrężną, ale nieprostą drogą do jej znalezienia jest rozszyfrowanie poniższego mnożenia szkieletowego. Liczba ta ukrywa się bowiem w wyniku, a więc w iloczynie mnożenia – tworzą ją trzy kolejne cyfry pięciocyfrowego wyniku (możliwości są więc trzy). W zapisie działania ujawniono trzy cyfry, a ponadto wiadomo, że w zapisie tym nie ma zera i dziewiątki.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Programem poszło bardzo szybko:
12^2 = 144 = 111 + 33
38^2 = 1444 = 1111 + 333
211^2 = 44521 = 77 + 44444
To na dobry początek rozwiązanie zadania ze Świata Nauki:
Chodzi o kwadraty liczb 12 i 38.
Szukaną liczbą jest 211.
Natomiast w zapisie szkieletowym mnożenia, z pewnych powodów, brakuje mi w drugim czynniku, na pozycji jedności ósemki.
Nie jest konieczna do tego, aby w iloczynie pojawiła się szukana liczba (są trzy rozwiązania, ale tylko jedno zawiera w iloczynie szukaną liczbę).
mp
Odnośnie samego mnożenia, rozwiązanie zawierające liczbę 211 to
673 x 18 = 12114.
Tylko że nie jest to jedyne rozwiązanie, może być to jeszcze 777 x 15 lub 877 x 15, a one już liczby 211 w iloczynie nie zawierają.
Właśnie, taka zmyłka (szukana liczba jest tylko w jednym iloczynie).
mp
Zastanawiam się, czy Gauss miał więcej frajdy wymyślając metodę mnożenia, czy ja przypominając ją sobie.
211 = (44444 + 77) ^ 0.5
6 7 3
1 8
5 3 8 4
6 7 3
1 2 1 1 4
Mnożenia jeszcze nie zrobiłam, łatwiej o mały szybki programik:
12^2 = 144 = 111 + 33
38^2 = 1444 = 1111 + 333
211^2 = 44521 = 44444 + 77
Zadanie główne:
211^2 = 44521 = 44444 + 77
Zadanie pomocnicze:
673 * 18 = 12114
Liczba trzycyfrowa = 211 (673×18=12114)
211^2=44521=44444+77
„[…] i jest ona trzycyfrowa.”
Jeżeli suma ma być trzycyfrowa to:
liczba 12 rep1 33 rep2 111 suma/kwadrat 144
Jeżeli jednak liczba początkowa ma być trzycyfrowa to:
liczba 211 rep1 77 rep2 44444 suma/kwadrat 44521
12^2=144=111+33
38^2=1444=1111+333
No tak – zgadza się:
673*18=12114
211*211 = 44521 = 44444 + 77
Chodzi o 77 + 44444 = 211^2.
Działanie w zadaniu to 673*18=5384+673=12114
To było trudne – musiał pomóc komputer.
Możliwości trzy:
777*15=3885+7770=11655
877*15=4385+8770=13155
673*18=5384+6730=12114
Suma dwóch:
114*114=12996=9999+999+999+999
Jest co badać w kosmosie liczb.