Sąsiedztw moc
Tym razem będzie jakby nieco poważniej i chyba nowatorsko, bo z poniższym problemikiem liczbowym jeszcze się nie spotkałem, choć podobne – korzystające ze sprzężenia zwrotnego – bywały. Zacznę niby trywialnie – od kwadracika 2×2 z jedynkami:
Trywialność jest pozorna, bo ów diagram można opisać tak: to jedyny 4-polowy, w którym każda liczba sąsiaduje z tyloma różnymi liczbami, jaka jest jej wartość („sąsiaduje” oznacza stykanie się bokami pola z liczbą z innymi polami).
Aby znaleźć jego jedynego (poza w pełni jedynkowym oraz z dokładnością do obrotów i odbić) 9-polowego kuzyna, trzeba trochę pokombinować. Efekt wygląda tak:
Co dalej, czyli jak będą wyglądać zdefiniowane jak wyżej większe kwadraty (pomijamy jedynkowe) – przynajmniej 4×4 i 5×5? – oto jest pytanie. Ile ich będzie oraz czy i kiedy pojawi się w nich trójka?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
https://images92.fotosik.pl/619/ab2d7e9c7bb2963b.jpg
Udało mi się znaleźć trzy różne kwadraty 4×4, w tym jeden zawierający trójki.
1221
2122
2212
1221
2122
2221
1222
2212
1331
3223
3223
1331
Co do kwadratowych 5×5 nie znalazłem żadnego zawierającego trójkę, a pozostałych znalazłem 8, nie licząc trywialnego. O ile dobrze policzyłem wszystkie obroty i odbicia, co sprawiło mi trochę kłopotów. Nie będę ich wypisywał bo na pewno się pomylę, napiszę tylko że patrząc na wewnętrzny kwadrat 3×3, gdy jest tam jedna 1 to mamy jedna opcję, gdy dwie 1 opcji jest cztery, a przy trzech 1 są trzy opcje.
Kwadrat 4×4 z trójkami to (nie tylko) dla mnie bomba. Wydawał się niemożliwością.
Uwalniam ten komentarz, bo temat jest „rozwojowy”.
Moim zdaniem 5×5 jest 9 (?) – bez trywialnego i całkowicie różnych (pomijając obroty i odbicia).
mp
1331331
3223223
3223223
1331331
3223223
3223223
1331331
”
… bo temat jest „rozwojowy”.
”
Schematyczny trójkowy rozwój dwuwymiarowy 🙂
mp
Znalzłam to samo co BartoszC. Super, nie muszę już tego wpisywać.
Dla 5×5 i 6×6 nie da się wpasować cyfr 1-3. Ale 7×7 pomysłowa ekspansja.
Zauważmy oczywistą oczywistość, że podany tu wzór rozwiązania zadania wymiaru 4×4 z max wartością 3 można powielić otrzymując rozwiązania zadań wymiarów 7×7, 10×10, 13×13 itp.
Ogólnie jest multum rozwiązań z max wartością 2 – na nieskończonej planszy lub na skończonych kwadratach o większych bokach. Mogą one być regularne (wzorek) lub nieregularne.
c.d. W linku przykładowe rozwiązania z max 2-ką: regularny wzór
„taxi” 14×14 oraz nieregularny wzór 15×15. Trzeci rysunek to podane tu rozwiązanie z max 3-ką rozdmuchane do planszy 13×13.
https://1drv.ms/u/s!AnJJ3XTLjrF2mGPS8tQ2B0IcDEuC?e=ih3Xeg
To zadanie (zagadnienie brzegowe dla równania różnicowego) ma tyle cech i rozwiązań, że pewnie można by mu poświęcić dowolnie wiele czasu. Np. wzór regularny będący rozwiązaniem w pewnym wymiarze można rozszerzyć na większy wymiar. Czasem przy tym psują się warunki brzegowe ale na ogół można go poprawić ad hoc do pełnego rozwiązania, jedynie kosztem popsucia wizualnej symetrii wzorku. Myślę że wszystkie nadesłane rozwiązania warto publikować od raz na żywo, bo mogą inspirować innych a i tak nie wyczerpiemy tematu.
Piątki złożone jedynie z 1 i 2:
Z pewną taką enigmatycznością:
Rośnie prawdopodobieństwo, że dla rozmiaru 6×6 jest tego 40 sztuk (+ układ jedynkowy.)
@bubka111 Dzięki za wypisanie i oszczędzenie mi pracy 🙂 Znalazłem te same, ale mam zastrzeżenie- kwadraty 4 i 6 są takie same. Żeby przejść z 4 do 6 należy go najpierw obrócić o 90 stopni przeciwnie do ruchu zegara, a następnie odbić symetrycznie wzdłuż osi pionowej.
Dobry sposób na wykrywanie „dublerów”: obrócić i ewentualnie odbić każdy kwadrat tak, aby cyfry w kolejnych rzędach tworzyły najmniejszą 25-cyfrową liczbę.
mp
@ bubka111 & BartoszC
Potwierdzam, że układy 4 i 6 są takie same.
(Symetria względem przekątnej Turoszów-Suwałki.)
Tak, macie rację, jeszcze 3 i 5 są takie same.
Piątkę obracamy raz o 90% przeciwnie do zegara a potem symetria względem osi pionowej (przechodzącej przez trzecią kolumnę).
Więc wychodzi 7.
@ bubka111
Tak jak w przypadku 4 i 6 jest tu (3 i 5) lustrzane odbicie względem przekątnej Turoszów-Suwałki.