Do kwadratu
Rzymski zapis liczby oznaczającej bieżący rok jest specyficzny – tworzą go trzy pary jednakowych znaków: MMXXII. Załóżmy, że jest to zaszyfrowany zapis arabskiej liczby 6-cyfrowej, czyli pod literami ukrywają się cyfry – takim samym literom odpowiadają jednakowe cyfry, a różnym – różne.
6-cyfrowa liczba mogłaby więc być równa 112233 lub 550066, ale nie może być np. liczbą pierwszą. A czy może być kwadratem?
Okazuje się, że tak i taki kwadrat jest tylko jeden. Można go znaleźć w spisie kwadratów, ale to sposób niegodny matematyka. Warto poszukać sposobu dotarcia do unikalnego kwadratu na logikę.
Za punkt wyjścia można przyjąć znajomość 2-cyfrowych końcówek kwadratów (takie końcówki są 22), z której wynika, że szukany kwadrat musi kończyć się parą 00 lub 44.
Jaki może być dalszy (krótki) ciąg poszukiwań z minimalnym udziałem metody prób i błędów – obejmującej jak najmniej sprawdzeń kwadratowości?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Znalazłam przypadkiem dość szybko, a skoro jest jedno, to sprawdzeń było mało.
Mam równanie (100x+10y+z)^2, gdzie x,y,z to cyfry.
Zaczęłam od z=0, więc y musiało być 2 lub 8, a x stawiałam na 8 lub 9 (żeby wyszła dobra liczba cyfr w kwadracie).
No i bingo, dla z=0, y=8, x=8: mamy 774400=880^2
00 na końcu kwadratu dostaniemy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba podnoszona do kwadratu kończy się na 0. Jeśli więc nasz kwadrat ma wyglądać xxyy00, to liczba xxyy też musi być kwadratem – liczby 10 razy mniejszej od pierwiastka z xxyy00. Stąd yy musi być 44. Na 44 kończy się jak wiadomo kwadrat liczby 12, ale także 62, i wszystkich liczb kończących się na 12 lub 62, np, 112, 262, itd. No ale poczynając od 112, mamy kwadraty pięciocyfrowe, a potrzebujemy czterocyfrowe, postaci xx44. Stąd do sprawdzenia jest tylko 62, co daje 3844, a więc nie spełnia warunku. No ale jeszcze kwadraty liczb kończących się na 8 kończą się na 4, a kończących się na 38 i 88 – na 44. Musimy więc sprawdzić 38 i 88, bo 138 to już za dużo, no i jest – 88*88 = 7744. Stąd 880*880 = 774400.
To właściwie koniec, bo mamy informację w treści zadania, że liczba taka jest tylko jedna. Gdybyśmy jej nie mieli, to należałoby sprawdzić, czy przypadkiem spełniający rozwiązanie kwadrat nie kończy się na 44, bo teoretycznie mógłby. Należałoby więc obliczyć wszystkie sześciocyfrowe kwadraty liczb kończących się na 12, 52, 38 i 88, a więc te z przedziału od 338 do 988, jest ich 27. I tu nie ma rozwiązania, więc zostaje tamto jedno, 880.
Sprawdzamy, jaka liczba aabb00 jest kwadratem. Tę liczbę zapisujemy:
1100( 100a+b)=1100(99a+a+b). Ta liczba jest kwadratem jedynie, gdy a+b =11.
Wtedy mamy 1100(99a+11)=12100(9a+1). Jeszcze badamy dla jakiej wartości a liczba 9a+1 jest kwadratem. Ostatecznie ta liczba 6-cyfrowa to 774400.
Rozwiązanie bez prób i błędów – same obliczenia:
Na początek sprawdzam dwie ostatnie cyfry:
1. Końcówkę 44 otrzymamy po podniesieniu do kwadratu liczb kończących się na: 12, 38, 62, 88. Można to wyznaczyć bez obliczania kwadratów i pierwiastków – jedynie kilka mnożeń i dodawań.
2. Końcówkę 00 po podniesieniu do kwadratu dają liczby kończące się na 0, a dokładniej na: 00, 10, 20, … , 90.
Dwie początkowe cyfry:
3. Liczby sześciocyfrowe otrzymamy po podniesieniu do kwadratu liczb z zakresu 317 do 999. Ale interesują nas tylko te, które dają kwadraty z zakresów:
112233…119988, 221133…229988, …, 991122…998877.
4. Trzeba te zakresy sześciocyfrowe popierwiastkować aby wyliczyć odpowiadające im zakresy liczb trzycyfrowych: 336..346, 471..479, … , 996..999.
5. Wybieramy z otrzymanych zakresów trzycyfrowych te liczby, które mają końcówki z pkt. 1. Dla kwadratu kończącego się na 44 jest tylko jedna: 338, a jej kwadrat to: 114244. Nie spełnia on warunków.
6. Liczby z właściwymi końcówkami dla kwadratu kończącego się na 00 (z pkt. 2) to: 340, 580, 670, 880, 940. Ich kwadraty to: 115600, 336400, 448900, 774400, 883600. Tu jest jedna para liczb spełniająca warunki: 880^2=774400.
Wykonane „kwadratowe” obliczenia to: 18 pierwiastkowań w pkt. 4, oraz sześć podniesień do kwadratu w punktach 5 i 6. Razem 24.
Założyłam, że jeśli na końcu będzie 00, to liczba będzie się dzieliła przez 100, które jest kwadratem, a wówczas należy poszukać 4-cyfrowego kwadratu o końcówce 44. Dalej kalkulatorem na piechotę sprawdzanie: 1144, 2244, …, 7744. I już.
Wariantu 0044 już nie sprawdzałam, bo wierzę Panu, że rozwiązanie jest tylko jedno.
Dziękuję za zaufanie 🙂
mp
Pomocą w poszukiwaniu kwadratowej liczby może być lektura „Umysłu giętkiego” z marca 2019 roku.
Jeśli możną przyjąć za punkt wyjścia znajomość 2-cyfrowych końcówek to można przyjąć i znajomość 6-cyfrowych końcówek. To daje parę liczb 880 i 774400 ale chyba nie o taka metodę chodziło. 🙂
Chyba nie. 6-cyfrowych końcówek jest 78132.
mp