Astronomicum
Dziś tylko jedno krótkie zadanie tekstowe, które narobiło trochę zamieszania w majowym Świecie nauki. Właściwie to zamieszanie jest moją sprawką, alem niewinny, bo nie przypuszczałem, że zadanie okaże się tak zwodnicze, czyli że rezultatem będzie zaskakująco duży rozrzut wartości nadesłanych w rozwiązaniach, czyli po prostu różnych rozwiązań – gdy możliwe jest jedno.
A zadanie brzmi tak:
Dla jakiego największego x liczba 22^x jest dzielnikiem liczby 2022! (2022 silnia)?
Liczby są astronomiczne: 2022! to 5809 cyfr. Kalkulator tego nie łyknie.
Można jednak napisać dość prosty i efektywny wzór na x. Jaki?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Wzór Legendre’a dla p=11 daje x=200:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_formula
Trochę bardziej szczegółowo: rozważamy liczby 1, 2, …, 2022. Wśród nich 183 liczby są podzielne przez 11, 16 liczb jest podzielnych przez 11^2 i jedna jest podzielna przez 11^3. Oznacza to, że w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 2022!, liczba 11 pojawia się 183+16+1=200 razy. Nie może być więc x>200. Z drugiej strony 2^200 oczywiście dzieli 2022!, więc szukaną liczbą jest x=200.
22^x = 2^x * 11^x
Trzeba zrobić rozkład liczby 2022! na czynniki pierwsze i policzyć, ile wynosi wykładnik potęgi liczby 11. Liczb podzielnych przez 11 (czyli 11, 22, …, 2013) jest 183. Większość ma w rozkładzie 11^1. Jedna liczba (1331) ma w rozkładzie 11^3. Ponadto jest 15 takich, które mają w rozkładzie 11^2, są to: 121, 242, …, 1210, 1452, …, 1936.
Zatem 183+15+2=200.
Proszę o informację, czy jest OK.
OK!
mp
Jak to ująć jednym wzorem, pomyślę, gdy się okaże, że wynik jest dobry.
Najmniejszą że tak powiem silnią podzielną przez 22 jest 11!. 22 to jak wiadomo 2*11, dwójka nie jest problemem, ale dopiero dla 11! pojawi się w rozkładzie na czynniki pierwsze pierwsza jedenastka. Dla 22^2 będziemy mieć 22!, dla 22^3 – 33!, itd. Gdy dojdziemy do 121!, to liczba 121=11^2 wniesie aż dwie jedenastki, więc 121! będzie wielokrotnością nie tylko 22^11, ale też 22^12. Kolejna taka sytuacja powtórzy się przy 242!, 363!, 484!, etc – w sumie (wliczając 121) 16 takich liczb aż do 1936, ostatniej mniejszej od 2022. Ale uwaga – jest wśród nich 1331 = 11^3, która wnosi aż 3 jedenastki. Mamy więc 17 dodatkowych jedenastek. Najbliższą 2022 liczbą podzielną przez 11 i mniejszą od niej jest 2013 = 11*183. Odpowiedź brzmi zatem: 183+dodatkowych 17, a więc 200. Właściwie to się nie dziwię, że był rozrzut odpowiedzi, są haczyki, mam nadzieję, że wytropiłem wszystkie.
Wystarczy policzyć, ile jest jedenastek w faktoryzacji 2022!, bo dwójek jest oczywiście więcej.
A jedenastek jest tyle ([a] oznacza część całkowitą z a):
[2022/11]+[2022/11^2]+[2022/11^3]+…
(dalszych wyrazów nie warto uwzględniać, bo 11^4>2022).
Wychodzi x = 183+16+1 = 200.
Wzór działa, bo np. 121, które „dostarcza” dwie jedenastki do faktoryzacji 2022!, wnosi jedynkę do pierwszego i drugiego składnika sumy, a do kolejnych już nie.
Rozkład 2022! na czynniki pierwsze można zapisać jako:
2022! = 22^x*R = 2^x * 11^x * R
gdzie R to jakaś liczba całkowita wynikająca z kontynuacji tego rozkładu dla pozostałych czynników pierwszych.
W rozkładzie jest więcej dwójek, niż jedenastek, więc wystarczy policzyć tylko liczbę wszystkich jedenastek w :
2022! = 2 * 3 * 4 * 5 * … * 2020 * 2021 * 2022
Wśród tych liczb liczby podzielne przez 11 to: 11, 22, 33, …, 2002, 2013. Jest ich Floor(2022/11)=183.
Liczby podzielne przez 11^2 to 121, 242, …, 1936. Jest ich Floor(2022/11^2)=16.
Liczba podzielna przez 11^3 to 1331. Jest tylko jedna Floor(2022/11^3)=1.
Łącznie wszystkich jedenastek jest:
Sum(Floor(2022/11^i))=183+16+1=200.
Ostatecznie x=200 oraz 2022! = 22^200*R .
183 bo 2022/11=183,8181818…
.
Przesadziłem z prostotą wzoru. Trzeba jeszcze uwzględnić wielokrotności 121, których jest 16 oraz 1331. W rezultacie x=200, a cały wzór to:
x = [2022/11] + [2022/121] + [2022/1331] = 183 + 16 + 1 =200
gdzie nawias prostokątny oznacza zaokrąglenie w dół do liczby całkowitej.
Można to łatwo sprawdzić wolframem – działanie 2022!/22^201 daje w rezultacie ułamek o mianowniku 11, czyli 200 jest największą możliwą liczbą.
Tak to chyba można ująć jednym wzorem:
ZAOKR.DÓŁ(2022 : 11) + ZAOKR.DÓŁ(2022 : 11^2) + ZAOKR.DÓŁ(2022 : 11^3) + ZAOKR.DÓŁ(2022 : 11^4) + …
183 + 16 + 1 + 0 + … = 200
To by był niezły numer, gdyby tym wykładnikiem (x) była liczba 2022.
N = 2022! / 22^x
Przykładowy wzór postępowania.
Rozkładamy mianownik na czynniki pierwsze – (2 x 11)^x.
Liczymy ile jest par (2, 11) w rozkładzie licznika na czynniki pierwsze. Dwójek jest więcej niż jedenastek, więc wystarczy policzyć te ostatnie. Jedenastki są w następujących miejscach 11, 22, 33, …, 2013 i w niektórych z nich występują one dwu lub trzykrotnie. Po zsumowaniu otrzymujemy 200 jedenastek.
Stąd x=200.
Czynnik pierwszy 2 w rozkładzie iloczynu 2022! występuje z wielkim wykładnikiem, większym niż E(2022/2) = 1011, więc nie będzie przeszkadzał.
Maksymalna wartość x jest taka jak wykładnik czynnika 11 w rozkładzie 2022! tj.
x = E(2022/11)+ E(2022/11^2)+ E(2022/11^3) = 183+16+1 = 200
To zadanie było świetne, raczej nie mieliśmy ze znajomymi problemu z rozszyfrowaniem treści zadania. Faktycznie moja pierwsza odpowiedź na szybko to było 183, ale spacer z psem oraz rozmowa z koleżanką szybko uświadomiła mi, że prawidłowa (mam nadzieję) odpowiedź to 200, bo:
Jeżeli przez C(x) oznaczę „całkowitą część liczby” (zaokrąglenie w dół), to:
x = c(2022/11) + c(2022/(11*11) + c(2022/(11*11*11).
Uzasadnienie jest następujące: w liczbie 2022 są 183 liczby podzielne przez 11; dodatkowo 16 liczb podzielnych przez 11*11; oraz jedna liczba podzielna przez 11*11*11.
x=200
Na oko 199, ale sprawdzę to jeszcze raz.
Pomyłka, jednak 200.
Ten „wzór” to znalezienie wszystkich wielokrotności liczby 11, które jest liczbą pierwszą. 2 można pominąć, bo dwójek jest dużo więcej w ciągu 1:2022 niż jedenastek.
Ładnie że 22^200 jest dzielnikiem (2022)!
Ładne i zabawne jest to „Ładnie”.
mp
Dla liczby naturalnej x=200.
Użyć wzoru (n x 11)!:22^n i doliczyć przypadki
gdy n=22^2 szesnaście razy
gdy n=22^3 jeden raz
Wtedy x=183+16+1
W tym samym, majowym „Świecie Nauki”, pojawiło się zadanie 4 dotyczące zapisu liczby 2022 w taki sposób, aby spełnione były pewne warunki.
Zaskoczyła mnie odpowiedź do tego zadania. Jakie rozwiązanie jest najlepsze? Tego nie wiem.
Ale zapis
(( 333 + 3 ) x 3! ) + 3! = 2022 ( 11 znaków )
wydaje się lepszy od
6! + 6 + 6 x 6 x 6 x 6 = 2022 ( 12 znaków )
Chyba, że czegoś nie zrozumiałem w treści zadania.
Ja także jestem zaskoczony (bardzo) Pańskim rekordowym zapisem, choć też nie jestem pewien, czy jest on w ogóle najkrótszy – ale na pewno jest najkrótszy ze znanych mi teraz. W lipcowym numerze podałem najkrótszy ze znanych mi wówczas i obecnych w nadesłanych rozwiązaniach.
mp