Sposób na k
Liczbomania lub cyfromania to przypadłość dość typowa i mająca niejedno imię. W matematyce rekreacyjnej obejmuje ciekawostki arytmetyczne powielane od dziesięcioleci w popularnych publikacjach. Postanowiłem dorzucić coś do tego panopticum.
Po podniesieniu liczby naturalnej dodatniej n do kwadratu otrzymujemy liczbę n2=k. Oznaczmy przez Sk sumę cyfr liczby k a przez Ik iloczyn cyfr tej liczby. Pytanie jest następujące: czy Sk lub Ik może być równe n?
Z sumą sprawa jest prosta. Sk=n tylko dla n=1 lub 9, a dla każdego n>17 suma Sk<n, czego nietrudno dowieść.
Problem z iloczynem jest trudniejszy i ciekawszy. W grę wchodzą tylko liczby n złożone oraz tylko takie liczby k= n2, które nie zawierają zera. Prawdopodobnie nie ma takiej liczby n>1, która byłaby równa iloczynowi cyfr jej kwadratu. Czy ktoś potrafi dowieść tej hipotezy (albo znajdzie przykład, który ją obali)?
I jeszcze eksponat do gabinetu osobliwości:
n=861 → n2=k=8612=741321 → Ik=nwspak=168
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Piękne zadanie! Niestety, nie rozwiązałem go. Dziesiątki pomysłów, i kiedy już, już, to jakiś wykryty drobny błąd wszystko obalał… Nie wiem, czy ktoś przesłał poprawne rozwiązanie, mimo to podzielę się uwagami z mojej porażki.
Zadanie można sprowadzić do takiego: Czy istnieje liczba naturalna większa od 1 , która jest kwadratem iloczynu swoich cyfr?
Komputerowo sprawdziłem do K=10^18. Tam jej nie ma. Na papierze zaś, doszedłem tylko do podstawowych wniosków:
– czynniki pierwsze liczby N, to wyłącznie 2, 3 i 7
– ostatnia cyfra N to 4 lub 6.
Z pośrednich, poprawnych wyników widzę, że nie ma przeszkód, aby N istniała. Jednak obecność 7 w czynnikach pierwszych (to wredna liczba) i jednocześnie „kwadratowa” natura zadania uniemożliwiają zastosowanie algebraicznych metod do jej obliczenia lub choćby wykazania, że istnieje lub nie.
Takie numerologiczne zadania dzielę na trzy kategorie:
1. nie mają rozwiązania.
2. mają rozwiązanie, ale trzeba wpaść na prosty, jednak kompletnie odjechany logicznie „haczyk”. Kiedy ten haczyk już poznamy, rozwiązanie staje się takie oczywiste…
3. mają rozwiązanie, ale trzeba być Eulerem, aby je ogarnąć, połączyć wiedzę i rozumienie szczegółów z różnych gałęzi matematyki. Genialnym, a zarazem dość łatwym do zrozumienia, jest dowód twierdzenia o granicy sumy ciągu ułamków 1/n^2, do którego Euler wykorzystał jeden z wyrazów rozwinięcia funkcji sin(x)/x w szereg. Obłęd…
Panie Marku, czy określenie „hipoteza” jest prawdziwe, czy to tylko podpucha dla nas? Chyba jeszcze nigdy nie dał Pan zadania, którego rozwiązania nie znał. Tak, czy siak, jeśli inni czytelnicy nie podadzą prawidłowego rozwiązania, to oczekuję wyczerpującego komentarza. Dziękuję za wiele właściwie spędzonych godzin nad tym problemem i pozdrawiam.
„Czy istnieje liczba naturalna większa od 1 , która jest kwadratem iloczynu swoich cyfr?” – to jakby nieco inne zadanie.
Chodzi raczej o:
Czy istnieje liczba naturalna większa od 1 , która jest iloczynem cyfr jej kwadratu?
Blisko celu jest 19, bo:
19^2=361, a 3*6*1=18
mp
PS Wyjątkowo, niestety, nie znam rozwiązania tego problemu. Nawet nie wiem czy był on gdzieś postawiony (wpadłem nań przy okazji studiowania innego zagadnienia). Zatem dla mnie hipoteza pozostaje hipotezą.
mp
@mp ” to jakby nieco inne zadanie”
To samo, tylko dla K:
K=(∏k_i)²=∏(k_i²);
Jedna liczba i jej cyfry, N nie jest potrzebne.
Miało być:
K=(∏k_i)²=∏(k_i²)
Zgoda. Dlatego napisałem „nieco”.
Teraz podany przeze mnie „bliski celu” przykład dla 19 zacznie się od 361:
361=(3*6*1+1)²
mp
Sprawdziłem komputerowo wszystkie liczby postaci n=(2^a)*(3^b)*(7^c), dla a,b,c <= 100 i nie znalazłem żadnej, która spełniałaby warunek z zadania.
Podejrzewam że taka liczba nie istnieje, ale może być dość trudno to udowodnić. Niemniej spróbuję jeszcze w wolnym czasie przyjrzeć się temu problemowi, jest naprawdę ciekawy 🙂
Dzięki 🙂
mp
Mam dwie wiadomości. Zacznę od dobrej: udowodniłem Pańską hipotezę. Zła wiadomość jest taka, że zrobiłem to w systemach liczbowych o podstawach 3 i 4. Podejrzewam, że takie „rozwiązanie” nie satysfakcjonuje Pana. Mimo to przytaczam dowód dla systemu trójkowego:
Twierdzenie: W systemie liczbowym o podstawie 3 nie istnieje liczba naturalna K większa od 1, będąca kwadratem iloczynu swoich cyfr.
Dowód:
1. Jeżeli K zawiera cyfrę 0 wtedy K=0 – sprzeczność.
2. Jeżeli K składa się wyłącznie z cyfr 1 wtedy K=1 – sprzeczność.
3. Jeżeli K nie zawiera cyfry 0 i zawiera dokładnie jedną cyfrę 2, wtedy K=2^2=11{3} nie zawiera cyfry 2 – sprzeczność.
4. Jeżeli K nie zawiera cyfry 0 i zawiera d>1 cyfr 2, wtedy:
K=(2*…*2*2*2)^2
2...222{3} x 2...222{3} -------- 12...221{3} 12...221{3} 12...221{3} ... 12...221{3} --------------- 21 ... 001{3}więc iloczyn kwadratów musi zawierać co najmniej jedną cyfrę 0 na pozycji 1 (licząc pozycje cyfr od prawej strony od 0) – sprzeczność.
We wszystkich możliwych przypadkach K nie może być kwadratem iloczynu swoich cyfr, cnu.
Satysfakcja połowiczna, ale jest. Zera iloczyn wykluczają, a jedynki go nie zmieniają, więc pozostają dwójki, co upraszcza dowód. Gdy różnych cyfr przybywa pojawiają się schody.
mp
Niestety, po czasie, ale jednak nie…
Po pierwsze w dowodzie, który wysłałem użyłem tagów i znaczników HTML. Chyba trochę przedobrzyłem, bo w punkcie 4. zniknęło 11 formuł 🙁 (to, co widać, to tylko resztki).
Po drugie, zanim dowód wysłałem, sprawdził go znajomy matematyk i zaklepał, jako poprawny. Jednak dzisiaj napisał, że znalazł „drobną nieścisłość”. Kiedy próbowaliśmy ją usunąć, urosła ona do „poważnej luki”, która przed chwilą przerodziła się w nieusuwalny błąd.
Z przykrością zawiadamiam, że przesłany i tylko częściowo widoczny dowód jest błędny.
Mam też nowinkę. W systemie dziesiętnym, z dwóch niezależnych wyników, więc raczej pewnych, otrzymano, że nie ma rozwiązania aż do 10^100. Ale to i tak nic nie znaczy…
W to zadanie wkręciło się już parę osób. Jest kompletnie zakręcone i wciąga, jak wir. Nie wiem, czy coś osiągniemy, ale zabawa jest prima sort.