Skąd błąd?
W roku 1738 Euler wykazał, że istnieje tylko jedna para kolejnych liczb naturalnych dodatnich takich, że jedna z nich jest kwadratem, a druga sześcianem. Inaczej mówiąc, udowodnił, że równanie
y2 = x3 ± 1
będące szczególnym przypadkiem późniejszej hipotezy Catalana (od roku 2002 twierdzenia Mihăilescu) dla liczb całkowitych x>0 i y>0 ma tylko jedno rozwiązanie.
Właściwie dowody były dwa – każdy dotyczył „połowy” powyższego równania. Uporanie się z wariantem y2 = x3 + 1 jest dość proste, choć nieelementarne. Natomiast w przypadku równania y2 = x3 – 1 dowód Eulera był bardziej skomplikowany i nieefektywny, bo prowadził do wniosku: rozwiązania brak (x=1, y=0 pomijamy). W następnych latach, a właściwie wiekach, niektórzy teoretycy liczb uznali, że warto szukać dowodu bardziej eleganckiego, korzystającego z metod matematyki elementarnej. Przed niespełna półwieczem pojawił się zaskakująco prosty i sprytny dowód dotyczący efektywnego wariantu y2 = x3 + 1, ale – jak się poniewczasie okazało – nieco ułomny. Oto on.
Przekształcamy prawą stronę równania:
y2 = x3 + 1 = (x +1)(x2 – x + 1) = (x + 1)2[x – 2 + 3/(x+1)]
Skoro x i y mają być liczbami całkowitymi dodatnimi, to taką liczbą musi być także wyrażenie 3/(x+1), a to jest możliwe tylko dla x=2. Wówczas lewa strona równania będzie równa 9, a więc tyle wynosi y2, czyli y=3.
Wynik (x=2, y=3) jest oczywiście poprawny, ale egzamin polegający na przeprowadzeniu dowodu nie został zaliczony. Wskazanie błędu w dowodzie nie jest łatwe, ale może ktoś z Państwa trafi w sedno.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Jeżeli pomnożymy (x+1)^2 przez wyrażenie w nawiasie kwadratowym, to otrzymamy sumę trzech wyrażeń. Ważne jest ostatnie z nich, bo jest tam (x+1) w mianowniku ale po przemnożeniu przez (x+1)^2 mianownik znika.
Fałszywe jest zdanie „Skoro x i y mają być liczbami całkowitymi dodatnimi, to taką liczbą musi być także wyrażenie 3/(x+1)”. 3/(x+1) jest jedynie częścią całego wyrażenia i nie ma powodu, aby wymagać, żeby było liczbą całkowitą dodatnią. Jedynie całe wyrażenie po prawej musi być kwadratem liczby całkowitej przy całkowitym dodatnim x.
To, że 3/(x+1) jest całkowite tylko dla x=2 to przypadek, który wcale nie zwalnia nas ze sprawdzenia, czy dla innych x całe wyrażenie po prawej nie okaże się kwadratem liczby całkowitej.
Rozwiązanie koleżanki (Eli), bardziej kompletne i eleganckie niż mój pierwotny wpis:
https://drive.google.com/file/d/1OIJHC_xTQ6574ephSzc2nTfcx4CyILkE/view?usp=sharing
lub
https://ifotos.pl/z/qqrrrxx
Pozdrawiam!
Sprytne, ale można się nie dać wkręcić. Liczbą całkowitą nie musi być 3/(x+1), tylko (x+1)^2*3/(x+1), czyli (x+1)*3. No to zawsze będzie. Nie ma powodu, by przekształcenia tylko po jednej stronie równości miały doprowadzić do wiążących wniosków.
Podstawówkę na tyle dawno skończyłem, że nie wszystko pamiętam, ale co tam… W „twierdzeniu” są aż trzy błędy.
Wszędzie poniżej x jest całkowite i dodatnie.
Błąd pierwszy. Skoro x3 + 1 jest całkowite i dodatnie dla każdego x, to wszystkie równoważne formy zapisu tego wyrażenia również są całkowite i dodatnie. Każde inne twierdzenie jest a priori błędne i nie ma co dalej dywagować.
Błąd drugi. Jeśli jednak ktoś nie zauważy błędu pierwszego i wpadnie na pomysł szukania nieprawidłowości dowodzie, to jest nią stwierdzenie, że liczbą całkowitą dodatnią musi być wyrażenie 3/(x+1). Nie musi – może być ułamkiem. Łatwo to sprawdzić wstawiając w (x + 1)2[x – 2 + 3/(x+1)] za x np. 17980098787765 albo 4. Dlaczego tak jest? Ponieważ:
Błąd trzeci. Nie trzeba było opuszczać lekcji matematyki w klasie 4 szkoły podstawowej, tej o skracaniu ułamków: (x+1)*3/(x+1)=3 dla dowolnego x.
https://vod.tvp.pl/video/szkola-z-tvp-klasa-4,matematyka-lekcja-4-02042020,47345756
P.S. Wolę siemię konopne od ogórków.
Wydaje mi się, że z faktu, że x i y mają być liczbami całkowitymi dodatnimi nie wynika, że taką liczbą musi być także wyrażenie 3/(x+1). Tam jest iloczyn, więc to wyrażenie może sobie być ułamkiem pod warunkiem, że drugi czynnik mnożenia skróci się z pierwszym. A skróci się zawsze, bo pierwszy czynnik będzie zawsze kwadratem mianownika ułamka, który powstanie z wyliczenia drugiego czynnika.
Np. dla x = 5:
6^2 * [3 + 3/6] = 6^2 * 21/6 = 6*21
Błędem w dowodzie jest prymitywne zbanalizowanie problemu
do analizy tylko jednego składnika 3/(x+1).
I nie należy się martwić brzydkimi ułamkami dla x >2 (3, 4, 5, …),
Bo całość operacji jest istotna !!!, i daje zawsze liczbę całkowitą !!!.
No bo B*B pomnożone pzez jakikolwiek ułamek A/B ,
daje w wyniku B*A (liczba całkowita) !!!
Np. dla x=6 ten akurat składnik ładny nie jest : 3/7
ale całość operacji jest istotna,
(6+1)*(6+1)*[6-2 + 3/(6+1)] = 49 * (4+3/7) = 49 * 31/7 = 7 * 31 = 217
To zupełny przypadek, że akurat w tym przekształceniu trafia się na jedyne rozwiązanie równania. Równie dobrze z formy: y^2=x^2[x+(1/x^2)] można by stwierdzać brak rozwiązywalności (skoro dla jedynego możliwego x=1 nie dostaje się po prawej stronie liczby kwadratowej.
Oba rozumowania bazują na błędnym założeniu, iż wyrażenie w nawiasie kwadratowym musi być liczbą naturalną.