Pudełeczko
Tytułowe pudełeczko jest na etapie projektowania. Powinien się w nim zmieścić komplet pentomina, czyli tuzin płytek o różnym kształcie, z których każdą tworzy pięć kwadratów:
Płytki można odwracać na drugą stronę, co w układance jest istotne w przypadku figur bez symetrii osiowej (żółtawych).
Tradycyjne pudełko ma wymiary 6×10 i można je wypełnić płytkami na 2339 sposobów. Płytki leżą w nim wówczas oczywiście ciasno obok siebie, czyli żadna nie zachodzi na inną. Gdyby je jednak kłaść jedna na drugiej, wówczas pudełko mogłoby być znacznie mniejsze, choć nieco wyższe, bo trzeba by uwzględnić grubość płytek.
Żadna płytka nie ma wymiaru większego niż 5, a największy prostokąt, zapełniany przez niektóre z nich, jest kwadratem 3×3. Zatem w czterokrotnie mniejszym od tradycyjnego pudełku 3×5 (schemat pod rysunkiem kompletu) zmieściłby się kompletny płytkowy stosik.
Zadanie projektantów polega na zmniejszeniu podstawy pudełka, czyli usunięciu jak największej liczby kwadratów oznaczonych literami na schemacie pod kompletem – tak, aby wpasowanie w podstawę każdej z 12 płytek nadal było możliwe. Przy najmniejszej powierzchni podstawy pudełka (to priorytet) pożądane jest, by:
– pudełko było jak najmniej kanciaste, a właściwie „kąciaste”, czyli aby jego podstawa była wielokątem (nie koniecznie prostokątem) z minimalną liczbą kątów (to pierwszy po względem ważności warunek);
– żadna płytka nie miała stopni swobody, czyli nie „telepała się” przy potrząsaniu pudełeczkiem wypełnionym wszystkimi płytkami (to dodatkowy warunek).
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Położenie trzech kamieni ( o kształcie (abcde), (kfabc) i (afghl) ) zajmuje co najmniej 9 płytek. Są tylko dwie istotnie różne 9-płytkowe podstawy w które można wpasować wszystkie kamienie pentomina:
– 10 kątowa (np: cdefghijł ) w której niestety „telepie się” kamień o kształcie (abcdi)
– 12 kątowa (np: bcdfghijl ) w której można znaleźć takie położenie każdego z kamieni, aby żaden się nie przesuwał.
12 kwadratów i 8 kątów.
https://ifotos.pl/z/qqpesas
Kątów istotnie mało, ale priorytetem jest najmniejsze pole (liczba kwadratów).
mp
Zakładam, że komplet pentonimo składa się z sześcianików 1x1x1;
Wówczas taki komplet można wpakować do prostopadłościanu 2x3x10 .
Podstawa 2×3 jest prawdopodobnie najmniejsza z możliwych. O „kąciastości”
i „telepaniu” się elementów nie ma co mówić, bo są ściśle ułożone.
Przykładowy sposób ułożenia (prostopadłościan ustawiony jest na podstawie 2×3):
Kolejne poziomy
1.Płasko położone E (5); część X (1)
2.V położone pionowo (3);część X(3)
3.V(1); Z pionowo (2); X(1);N(1);W(1)
4.V(1);Z(1);N(2);W(2)
5.Z(2);W(2);N(1);w rogu pionowo I (1)
6.F(1);L(2);I(1);N(1);pionowo Y(1)
7.F(3);I(1);L(1);Y(1)
8.T(1);I(1);F(1);L(1);Y(2)
9.T(3);I(1);L(1);Y(1)
10.T(1);płasko P(5)
Nie wiem czy jest to czytelne, ale się starałem.
Jednak mój poprzedni komentarz zawiera błąd. Najmniejsza podstawa ma powierzchnię 5 kwadracików i wygląda jak P pentomino. Wysokość tej bryły
wynosi 12. Wszystkie elementy pentomina można w to coś wpakować tylko
1 sposobem (drugi powstaje po obróceniu bryły).
Poziomy (w nawiasach – ilość sześcianików danego pentomina)
1. V(3); Y(1);I(1)
2. V(1);F(1);I(1);Y(2)
3. V(1);F(2);I(1);Y(1)
4. F(2);I(1);Z(1);Y(1)
5. Z(3);I(1);N(1)
6. W(2);Z(1);N(2)
7. W(2);N(1);P(2)
8. W(1);X(1);N(1);P(2)
9. X(3); L(1);P(1)
10.E(2);X(1);L(1);T(1)
11.T(3);L(1);E(1)
12.L(2);E(2);T(1)
11 kwadratów i 8 kątów: https://ifotos.pl/z/qqpeqwh
Wystarczy 9 kwadratów w układzie:
_XXX
XXXXX
_X
Płytę P należy włożyć do tego pudełka tak, by była właśnie w pozycji, przypominającej literę P, bo inaczej będzie się telepała. Płytkę Y należy włożyć tak, by wystający element był na dole. Płytki F, L i N można włożyć na kilka „nieprzesuwnych” sposobów, a miejsce pozostałych wyznaczone jest jednoznacznie.
9 kwadratów, 12 kątów
https://ifotos.pl/z/qqpwshp
Płytki nazywam od liter, do których są podobne: F, I, L, P, N, T, U, V, W, X, Y, Z. Jeśli weźmiemy 10 kwadratów, jak na rysunku fghij oraz np. cde i mn, to mamy 8 kątów. Płytka Y (cfghi) może być razem z U (dejmn), L (fghim) z V (cdejn), a P (eijmn) z N (fghcd). Pozostała szóstka będzie musiała być pojedynczo, każdą płytkę da się tak ułożyć, by się nie telepała, np. T nie na ghdim, a cdeim.
9 kwadratów i 12 kątów,
wychodzi mi, że są cztery takie rozwiązania
np. kwadraty: b, c, d, f, g, h, i, j, l (pole „l” unieruchamia 9 z 12 płytek)
Oznaczenia literowe z wikipedii (pentomino).
1)
Balkon utwierdzony do kolumny w pudle prostopadłościennym 3x3x5.
Podstawa pudełka 3×3 (np. a,b,c,f,g,h,k,l,ł), wysokość 5 (5 kondygnacji = 5 jednostek). Płytki o grubości 1/4 jednostki.
Cztery podłużne, najdłuższe, I, L, Y, N składają się na kolumnę, której trzon zajmuje przestrzeń np. nad polem k.
Całą wysokość zajmuje I. Dotykają podstawy I, Y i N (podłoga parteru), I i Y stoją na k, N boczną nogą stoi na, np. l (el), ich wystające części stanowią występ na którym spoczywa balkon – poziom podłogi trzeciej kondygnacji. Do góry nogami L, swoim hakiem dotyka stropu piątej kondygnacji a podbicie jego stopy jest górną szczęką trzymająca balkon. L nie dotyka podstawy pudła.
Pozostałe osiem W, U, V, X, T, Z, F, P stanowią pakiet-wafel, 8-warstwową płytę o powierzchni 3×3 i grubości 0,25*8=2 (dwie kondygnacje). Wafel złożony w taki sposób aby jeden narożnik (k) był pusty, jest to miejsce na kolumnę. Balkon zajmuje trzecią i czwartą kondygnację. Odwrócenie pudła da balkon na drugiej i trzeciej kondygnacji. Dopóki pudło jest zamknięte, całość trzyma się wzajemnie w ryzach i nie rozsypuje się.
2)
Balkon utwierdzony do dwóch kolumn w pudle prostopadłościennym 3x3x5.
Podstawa pudełka 3×3 (np. a,b,c,f,g,h,k,l,ł), wysokość 5 (5 kondygnacji = 5 jednostek). Płytki o grubości 1/3 jednostki.
Pierwsza kolumna I, N, V, której trzon zajmuje przestrzeń np. nad polem k. Druga kolumna X,L,Y w polu np. h. Całą wysokość zajmuje I. Dotykają podstawy (podłoga parteru): I na polu k, N-na polu f lub l(el), X i Y-na polu h. Górne zamknięcie płyty balkonowej realizują V i L, które dotykają stropu piątej kondygnacji. Pakiet-wafel-płyta balkonowa tworzą W, P, T, U, Z, F, ułożone tak, aby pola k i h były puste, miejsca przeznaczone na kolumny. Balkon o powierzchni 3×3 zajmuje trzecią i czwartą kondygnację. Grubość balkonu 1/3*6=2 (dwie jednostki=dwie kondygnacje).
10 kwadratów i 10 kątów.