S… S… C…
W książkach poświęconych matematyce rekreacyjnej przytaczana bywa anegdota, dotycząca genialnego hinduskiego matematyka samouka Srinivasy Ramanujana, który podczas pobytu w Anglii w latach 1914-19 często chorował. Jego przyjaciel i protektor angielski matematyk Godfrey Hardy odwiedzał go w szpitalu i podczas jednej z wizyt napomknął, że przyjechał taksówką o numerze bocznym 1729. Dodał też półżartem, że to raczej nieciekawy numer i ma nadzieję, że nie jest to zły omen. Ramanujan zaprotestował, uznając tę liczbę za bardzo interesującą, ponieważ jest najmniejszą naturalną, którą można przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na dwa sposoby: 1729=1^3+12^3=9^3+10^3.
Uwaga Ramanujana mogłaby też brzmieć inaczej albo można by ją uzupełnić drugą, następującą ciekawą własnością 1729:
to największa liczba równa s… s… c… pomnożonej przez s… s… c… zapisaną w….
Proszę spróbować uzupełnić ostatnie zdanie siedmioma wyrazami, z których pozostały tylko pierwsze litery.
Komentarze
19*91=1729
1729 to największa liczba równa sumie swoich cyfr pomnożonej przez sumę swoich cyfr zapisaną wspak.
To największa liczba równa sumie swoich cyfr pomnożonej przez sumę swoich cyfr zapisaną wstecz.
19*91=1792
// nie sprawdziłem czy to na pewno prawdziwe zdanie 😀
Pozdrawiam
Gdyby nie „ą” w słowie „zapisaną” to ująłbym to tak:
1729 to największa liczba równa sumie swoich cyfr pomnożonej przez swoje skrajne cyfry zapisane wspak.
Chodzi o liczbę 91 utworzoną z tych cyfr.
Nie patrząc na liczbę:
SSC to zapewne „sumie swoich cyfr”, natomiast tajemnicze „W” to pewnie od słowa „wykładniczo”.
Matematycy zajmują się właściwościami liczb uwzględniając typowe ich cechy, jak sumy cyfr, kwadraty, sześciany, czynniki pierwsze itp. W poprzedniej wiadomości, trochę na serio, trochę na przekór temu głównemu nurtowi napisałem, że:
wł. 1.
1729 jest największą liczbą równą iloczynowi sumy swoich cyfr i liczby utworzonej ze skrajnych cyfr czytanych wspak (19*91). Jest jeszcze jedna taka liczba: 1458.
Tymczasem to nie koniec jej „cyfrowych” sztuczek:
wł. 2.
1729 jest również liczbą będącą iloczynem liczb utworzonych ze swoich skrajnych cyfr czytanych wprost i wspak (19*91). Można powiedzieć – to oczywiste, przecież 19 jest również sumą cyfr…
Tylko, że to znowu jest *największa* taka liczba! Są tylko dwie inne: 1207 i 1458. Magia?
Dowody „największości” 1729 zarówno w zadaniu Gospodarza, jak i w powyższych właściwościach nie są zbyt trudne i bardzo podobne do siebie. Może ktoś się pokusi w majowy długi weekend…
I jeszcze ciekawostka: 1458 jest we wszystkich trzech przypadkach „wicenajwiększą”.
1729 to największa liczba równa sumie swych cyfr (19) pomnożonej przez sumę swych cyfr zapisaną… wodwrotnysposób (91).
Sprawdziłem, zgadza się.
Zaskoczyło mnie, że takich liczb jest niewiele 🙁
1,81,1458 i 1729
Postawię też tezę, że 5721616 jest największą liczbą równą i…k…s…s…c… oraz s…s…c…z…w…
Found ILO: 1 81 1458 1729
Found SUM: 18 99
Found SUM2: 50 162
Found ILO2: 1 100 2401 234256 5271616
Chyba łatwa ta zgadywanka: 1729=19*91.
Trudniej udowodnić, że 1729 to rzeczywiście największa taka liczba…
to największa liczba równa sumie swoich cyfr pomnożonej przez sumę swoich cyfr zapisaną wspak (1729 = 19 * 91)
@Markoniusz
Trudniej nie znaczy trudno. Wystarczy sprawdzić, że wśród liczb 4-cyfrowych żadna większa niż 1729 nie ma ww. własności, właściwie wystarczy sprawdzić zakres od 1730 do 1999. Dla liczb co najmniej 5-cyfrowych jest oczywiste że każda taka liczba jest dużo większa niż jej wartość „S..S..C..S..S..C..W..”.
___________________________________________________________
Dla amatorów. Jak powiedział kiedyś pewien profesor matematyki – Jeśli coś jest trywialne lub oczywiste, to W SZCZEGÓLNOŚCI powinno dać się udowodnić.
Spróbuję to zrobić ale będę potrzebował kilku oznaczeń.
x, y – dowolne liczby naturalne
#(x) – liczba cyfr (rozwinięcia dziesiętnego) x, która ma oczywiste własności:
x ≤ y => #(x) ≤ #(y)
#(x)=n => 10^(n-1) ≤ x < 10^n ; bo 10^(n-1) to najmniejsza liczba n-cyfrowa
#(x*y) ≤ #(x) + #(y)
S(x) – suma cyfr liczby x
W(y) – liczba powstała przez zapis liczby y wspak, która ma oczywistą własność
#(W(y)) ≤ #(y)
F(x) = S(x)*W(S(x))) – funkcja „SSCSSCW”
Szukamy największego z punktów stałych funkcji SSCSSCW tj. takich że F(x) = x.
Po pierwsze: F nie ma punktów stałych wśród liczb co najmniej pięciocyfrowych.
Jeśli 4 < #(x) to #(F(x)) < #(x) skąd w szczególności F(x) #(S(x)) ≤ #(9n) ≤ #(n)+1
#(W(S(x))) ≤ #(S(x)) ≤ #(n)+1
Skąd wobec definicji F = S() *W(S()) mamy
#(F(x)) ≤ #(S(x)) + #(W(S(x))) ≤ 2#(n)+2
Pozostaje wykazać, że 4<n pociąga 2#(n)+2 < n (bo n=#(x)) .
Oznaczmy liczbę cyfr n przez k: k=#(n).
Jeśli k=1, to 2k+2 = 4 < n (założenie 41 zachodzi ogólna nierówność 2k+2 < 10^(k-1). Oczywiście 10^(k-1) ≤ n.
Po drugie: x* = 1729 jest największym 4-cyfrowym punktem stałym F (second best = 1458).
Jeśli n=4 to ogólnie S(x) ≤ 9*4=36 oraz W(S(x)) ≤ 92. Zatem na pewno F(x) ≤ 36*92, ale te ekstrema S i WS są osiągane dla różnych x i łatwo poprawić to oszacowanie: F(x) ≤ 29*92 = 2668. Pozostaje sprawdzić wartości z przedziału 1730 ≤ x ≤ 2668. Jednak dla liczb z tego przedziału S(x) ≤ S(1999) = 28 oraz F(x) ≤ 28*82 = 2296. Wystarczy sprawdzić, że w przedziale 1730 ≤ x ≤ 2296 brak punktów stałych F a właściwie wystarczy stwierdzić, że x=1999 nie jest punktem stałym – por. fragment wykresu funkcji F.
https://pokazywarka.pl/wayoi9/
Dla precyzji i zwięzłości potrzebuję kilku oznaczeń.
x, y – dowolne liczby naturalne
#(x) – liczba cyfr (rozwinięcia dziesiętnego) x, która ma oczywiste własności: x ≤ y => #(x) ≤ #(y) #(x)=n => 10^(n-1) ≤ x < 10^n ; bo 10^(n-1) to najmniejsza liczba n-cyfrowa #(x*y) ≤ #(x) + #(y)
S(x) – suma cyfr liczby x
W(y) – liczba powstała przez zapis liczby y wspak, która ma oczywistą własność
#(W(y)) ≤ #(y)
F(x) = S(x)*W(S(x))) – funkcja „SSCSSCW”
Szukamy największego z punktów stałych funkcji SSCSSCW tj. takich że F(x) = x. Po pierwsze: F nie ma punktów stałych wśród liczb co najmniej pięciocyfrowych, bo:
Pokażemy, że 4<#(x) pociąga #(F(x)) < #(x) skąd w szczególności F(x) < x.
Oznaczając n=#(x) mamy zależności
S(x) ≤ 9n => #(S(x)) ≤ #(9n) ≤ #(n)+1
#(W(S(x))) ≤ #(S(x)) ≤ #(n)+1
Skąd wobec definicji F = S() *W(S()) mamy
#(F(x)) ≤ #(S(x)) + #(W(S(x))) ≤ 2#(n)+2
Pozostaje wykazać, że 4<n pociąga 2#(n)+2 < n (bo n=#(x)) .
Oznaczmy liczbę cyfr n przez k: k=#(n).
Jeśli k=1, to 2k+2 = 4 < n (założenie 4<n jest więc konieczne).
Dla k>1 zachodzi ogólna nierówność 2k+2 < 10^(k-1). Oczywiście 10^(k-1) ≤ n.
Po drugie: x* = 1729 jest największym 4-cyfrowym punktem stałym F (second best = 1458).
Jeśli n=4 to ogólnie S(x) ≤ 9*4=36 oraz W(S(x)) ≤ 92. Zatem na pewno F(x) ≤ 36*92, ale te ekstrema S i WS są osiągane dla różnych x i łatwo poprawić to oszacowanie: F(x) ≤ 29*92 = 2668. Pozostaje sprawdzić wartości z przedziału 1730 ≤ x ≤ 2668. Jednak dla liczb z tego przedziału S(x) ≤ S(1999) = 28 oraz F(x) ≤ 28*82 = 2296. Wystarczy sprawdzić, że w przedziale 1730 ≤ x ≤ 2296 brak punktów stałych F a właściwie wystarczy stwierdzić, że x=1999 nie jest punktem stałym – por. fragment wykresu funkcji F.
https://pokazywarka.pl/wayoi9/
To największa liczba równa sumie swoich cyfr, pomnożonej przez sumę swoich cyfr, zapisaną wspak.
19×91=1729.
to największa liczba równa sumie swoich cyfr pomnożonej przez sumę swoich cyfr zapisaną wspak